單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)

單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一以上介紹的假設(shè)檢驗(yàn)，歸納起來為下面兩種形式：

(1)原假設(shè)H0：=0，備擇假設(shè)H1：≠0，其中0為某一常數(shù)；

(2)原假設(shè)H0：1=2，備擇假設(shè)H1：1≠2，其中1，2分別為兩相互獨(dú)立的總體X與Y的參數(shù)。這類假設(shè)的共同特點(diǎn)是，將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值與臨界值比較，無論是偏大還是偏小，都應(yīng)否定H0，接受H1。因此，通常也稱為雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)。但在某些實(shí)際問題中，例如，對于設(shè)備、元件的壽命來說，壽命越長越好，而產(chǎn)品的廢品率當(dāng)然越低越好，同時(shí)均方差越小也是我們所希望的。一、單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的概念第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一

(3)原假設(shè)H0：≥0(或≤0)，備擇假設(shè)H1：＜0(或＞0)。其中為總體X的未知參數(shù)，0為一常數(shù)；

(4)原假設(shè)H0：1≥2(或1≤2)，備擇假設(shè)H1：1＜2(或1＞2)。其中1，2為相互獨(dú)立的總體X與Y的未知參數(shù)。

(3)(4)兩種統(tǒng)計(jì)假設(shè)，常稱之為單側(cè)假設(shè)，相應(yīng)的假設(shè)檢驗(yàn)稱為單側(cè)（左、右）假設(shè)檢驗(yàn)。

因此，在實(shí)際應(yīng)用中，除了上述的雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)之外，還有許多其它形式的假設(shè)檢驗(yàn)問題：

第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例1

某廠生產(chǎn)的電子元件的壽命(單位：h)X～N(，2)，其中未知。但據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，電子元件的壽命一直穩(wěn)定在=200小時(shí)，現(xiàn)該廠對生產(chǎn)工藝作了某些改進(jìn)，為了了解技術(shù)革新的效果，從剛生產(chǎn)的電子元件中任意抽取16只，測得壽命如下：199，280，191，232，224，279，179，254，222，192，168，250，189，260，285，170。試問：工藝改進(jìn)后，在檢驗(yàn)水平=0.05下是否可以認(rèn)為元件的平均壽命有了顯著的提高？

解顯然，該問題是要判斷新產(chǎn)品的壽命是否服從＞200小時(shí)的正態(tài)分布？由此，建立假設(shè)原假設(shè)H0：≤0=200，備擇假設(shè)H1：＞200。

二、例第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一分兩種情況討論：1)當(dāng)=0時(shí)，由于2未知，取統(tǒng)計(jì)量

因此，對給定的小正數(shù)，由P{T≥t(n-1)}得臨界值t(n-1)。顯然，是概率為的小概率事件或t≥t(n-1)是H0的拒絕域。

第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一2)當(dāng)<0時(shí)，應(yīng)當(dāng)考察

但由于未知，故仍取統(tǒng)計(jì)量

作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一更是小概率事件。因此如果統(tǒng)計(jì)量T的觀察值

則應(yīng)拒絕H0，接受H1；如果t＜t(n-1)，則只能接受H0。

綜合上述兩種情況，對于假設(shè)檢驗(yàn)問題H0：≤0，H1：

>0，只要由樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的觀察值t≥t(n-1)，就應(yīng)當(dāng)拒絕H0，接受H1；否則就接受H0。第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一由樣本觀察值具體計(jì)算得

由=0.05查t分布表得臨界值所以，應(yīng)拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為經(jīng)過工藝改進(jìn)后，元件的平均壽命有了顯著的提高。其它類似的情況見書P178頁表8-1?，F(xiàn)在我們來解決例1。第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例2某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進(jìn)器的燃料率服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，μ=40cm/s，σ=2cm/s?，F(xiàn)在用新方法生產(chǎn)了一批推進(jìn)器,從中隨機(jī)地取n=25只,測得燃燒率的樣本均值為=41.25cm/s.設(shè)在新方法下總體均方差仍為2cm/s,這批推進(jìn)器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的推進(jìn)器的燃燒率有顯著的提高？取顯著性水平α=0.05。H1:μ>μ0（即假設(shè)新方法提高了燃燒率）解按題意需檢驗(yàn)假設(shè)

H0:μ=μ0=40（即假設(shè)新方法沒有提高燃燒率）第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一而現(xiàn)在，z的值落在拒絕域中。所以我們在顯著性水平α=0.05下，拒絕H0。即認(rèn)為這批推進(jìn)器的燃料率較以往生產(chǎn)的有顯著地提高。

這是右邊檢驗(yàn)問題，其拒絕域如下式所示，即為z=≥z0.05=1.645第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一這批燈泡是否合格？是否有顯著差異？這批燈泡的壽命與下考察下列問題試在顯著性水平樣本方差測得只現(xiàn)隨機(jī)抽取樣本未知小時(shí)單位設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡壽命例)2(1000)1(05.0.120946,16.,1000),(~):(322202====asmsmsxNX由題設(shè)可知：（1）是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)；（2）是一個(gè)左側(cè)檢驗(yàn)！第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例3

用機(jī)器包裝食鹽，假設(shè)每袋鹽的凈重X(單位：g)服從正態(tài)分布N(，2)，規(guī)定每袋標(biāo)準(zhǔn)重量500g，標(biāo)準(zhǔn)差不能超過10g。某天開工后，為檢驗(yàn)其機(jī)器工作是否正常，從裝好的食鹽中隨機(jī)抽取9袋，測得其凈重為497，507，510，475，488，524，491，515，484。試問這天包裝機(jī)工作是否正常()？解依題設(shè)，需檢驗(yàn)假設(shè)H0：，H1：

及2≤102，：2>102。第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一(1)檢驗(yàn)假設(shè)H0：，H1：由于2未知，應(yīng)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由=0.05，查t分布表得臨界值由樣本觀察值具體計(jì)算，得因?yàn)?，故可以認(rèn)為平均每袋鹽的凈重為500g，即機(jī)器包裝沒有產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一(2)檢驗(yàn)假設(shè)≤102，。這是方差的單側(cè)檢驗(yàn)問題，選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由=0.05

，查2分布表得臨界值故拒絕，接受，即認(rèn)為其方差超過102。即包裝機(jī)工作雖然沒有系統(tǒng)誤差，但是不夠穩(wěn)定。因此，在顯著性水平=0.05下，可以認(rèn)定該天包裝機(jī)工作不夠正常。第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例4

有兩臺車床生產(chǎn)同一種型號的鋼球，根據(jù)已往的經(jīng)驗(yàn)可以認(rèn)為，這兩臺機(jī)床生產(chǎn)的鋼球的直徑均服從正態(tài)分布?，F(xiàn)從這兩臺車床生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出8個(gè)和9個(gè)鋼球，測得鋼球的直徑如下(單位：mm)：甲車床：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8；乙車床：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.9。試問據(jù)此是否可以認(rèn)為乙車床生產(chǎn)的產(chǎn)品的方差比甲車床小(取=0.05)？第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一解提出假設(shè)H0

：σ12≤σ22，H1：σ12>σ22

選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由=0.05

，查F分布表得臨界值由樣本觀察值具體計(jì)算，得，

故應(yīng)拒絕H0，接受H1，即可以認(rèn)為乙車床產(chǎn)品的直徑的方差比甲車床小。第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例5

為了了解某種添加劑對預(yù)制板的承載力有無提高作用?，F(xiàn)用原方法(無添加劑)及新方法(添加該種添加劑)各澆制了10塊預(yù)制板，其承載數(shù)據(jù)(單位：kg/cm2)如下：原方法：78.1，72.4，76.2，74.3，77.4，78.4，76.0，75.5，76.7，77.3；新方法：79.1，81.0，77.3，79.1，80.0，79.1，79.1，77.3，80.2，82.1。設(shè)兩種方法所得的預(yù)制板的承載力均服從正態(tài)分布。試問新方法能否提高預(yù)制板的承載力(取=0.05)？，

解用X，Y分別表示兩種方法下預(yù)制板的承載力。依題設(shè)，，因不知σ12，σ22

，是否相等，故首先應(yīng)檢驗(yàn)假設(shè)第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一H0：σ12=σ22

，H1：σ12≠σ22

由假設(shè)知應(yīng)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：由=0.05

，查F分布表得臨界值由樣本觀察值具體計(jì)算，得因?yàn)?.248＜1.49＜4.03。故應(yīng)接受H0，即認(rèn)為兩種方法的方差無顯著差異，可以認(rèn)為相等，亦即σ12=σ22

第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一其次在σ12=σ22

的前提下，檢驗(yàn)假設(shè)：：1≥

2，：

1＜

2。由于兩總體方差相等，因此可選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由=0.05

，查t分布表得臨界值第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一由于－4.295＜－1.734，所以應(yīng)拒絕，即認(rèn)為加進(jìn)添加劑生產(chǎn)的預(yù)制板承載力有明顯提高。第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例6某種導(dǎo)線，要求其電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過0.005(歐姆)。今在生產(chǎn)一批導(dǎo)線中取樣品9根，測得S=0.007(歐姆)，設(shè)總體為正態(tài)分布.問在水平=0.05下以能否認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大?解：假設(shè)：拒絕H0，即認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大。第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例7按規(guī)定，每100g的罐頭，番茄汁中VC的含量不得少于21mg，現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的一批罐頭中任取17個(gè)，測得VC的含量（單位：mg）為16，22，21，20，23，21，19，15，13，23，17，20，29，18，22，16，25。已知VC的含量服從正態(tài)分布，試以0.025的檢驗(yàn)水平檢驗(yàn)該批罐頭的VC含量是否合格。解：假設(shè)：由樣本觀測算得：故接受原假設(shè)，即可以為該批罐頭的VC含量是合格的。第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例8某治金工作者對錳的溶化點(diǎn)作了4次試驗(yàn)，結(jié)果分別為：1269℃,1271℃,1263℃,1265℃。假定數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，在條件下，試檢驗(yàn)：（1）這些結(jié)果是否符合于公布的平均溫度1260℃；（2）測定值的均方差小于等于2℃解（1）假設(shè)：由于方差2未知，故采用t—檢驗(yàn)法。由樣本值得，

故拒絕原假設(shè)H0，即不能認(rèn)為結(jié)果符合公布的數(shù)字1260℃。

第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一（2）假設(shè)：應(yīng)采用2—檢驗(yàn)法：故拒絕H0，即不能認(rèn)為測定值的均方差小于等于2℃。第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一不顯著地小于原有的水平!

1．某工廠生產(chǎn)一種活塞，其直徑服從正態(tài)分布N(，2)且直徑方差的標(biāo)準(zhǔn)值2=0.0004?，F(xiàn)對生產(chǎn)工藝作了某些改進(jìn)，為考察新工藝的效果，現(xiàn)從新工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取25個(gè)，測得新活塞的方差s2=0.0006336。試問新工藝生產(chǎn)活塞直徑的波動(dòng)性是否顯著地小于原有的水平(取=0.05)？練習(xí)題第26頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一由題設(shè)可知，這是一個(gè)雙邊檢驗(yàn)！