契貝曉夫不等式及其應(yīng)用

#/8契貝曉夫不等式及其應(yīng)用通過(guò)學(xué)習(xí)概率論，我們知道一些事件發(fā)生的概率不能通過(guò)常規(guī)方法解決或者用常規(guī)方法解決起來(lái)很繁瑣，更有一些定理的證明需要另辟捷徑.下面我們就來(lái)研究一下利用契貝曉夫不等式來(lái)簡(jiǎn)潔快速地給出某些特殊事件發(fā)生的概率..相關(guān)定義我們要研究契貝曉夫不等式，首先要了解概率論中的幾個(gè)相關(guān)定義.下面先來(lái)看一下這幾個(gè)定義.定義1:定義在樣本空間Q上，取值于實(shí)數(shù)域，且只取有限個(gè)或可列個(gè)值的變量￡=￡（3）,稱作是一維（實(shí)值）離散型隨機(jī)變量，簡(jiǎn)稱離散型隨機(jī)變量.定義2:若￡（3）是隨機(jī)變量，F(xiàn)（x）是它的分布函數(shù)，如果存在函數(shù)P（x），使對(duì)任意的x，有F（x）=?蘩p（y）dy，則稱￡（3）為連續(xù)型隨機(jī)變量.定義3:若離散型隨機(jī)變量￡可能取值為a，（i=1,2…），其分布列為p，（i=i,2…），則當(dāng)|a|pV8時(shí)，稱￡存在數(shù)學(xué)期望,并且數(shù)學(xué)期望E￡=ap，如果|a|p=8則稱￡的數(shù)學(xué)期望不存在.說(shuō)明:在概率論中頻率可以逼近概率，即p=，再根據(jù)上述定義，可知數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)中的平均值.定義4:設(shè)N是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為p(x),當(dāng)?蘩岡p(x)dxV8時(shí)，稱a的數(shù)學(xué)期望存在且E￡=?蘩xp(x)dx.說(shuō)明:連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望在本質(zhì)上和離散型隨機(jī)變量是一樣的.定義5:設(shè)g是一個(gè)隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望E￡存在，如果E|"￡￡|存在，則稱E|g-Eg|為隨機(jī)變量g的方差.說(shuō)明:方差在本質(zhì)上反映了隨機(jī)變量偏離數(shù)學(xué)期望的平均值.為了研究隨機(jī)變量偏離數(shù)學(xué)期望小于任意正常數(shù)s的概率，我們給出了下面的定義.定義6:大數(shù)定律：若g，g，…g，…是隨機(jī)變量序列，如果存在常數(shù)列a,a,…使對(duì)任意的實(shí)數(shù)s>0,有p(|-a|Vs)=1成立，則稱隨機(jī)變量序列｛g｝服從大數(shù)定律.如果隨機(jī)變量g的數(shù)學(xué)期望Eg存在，方差為Dg,對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)s,我們有這樣的感覺(jué)，方差Dg與p(|g-Eg|>s)存在著某種關(guān)系，即p(|g-Eg|>s)隨著Dg的增大而增大，我們把這個(gè)感覺(jué)嚴(yán)格化就得到下面的契貝曉夫不等式..契貝曉夫不等式對(duì)任意的隨機(jī)變量g,若Eg=a，又Dg存在，則對(duì)任意的正數(shù)s,有P(|g-a|2s)W.證明：(1)設(shè)g是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為p(x),P(|"a|》s)=?蘩p(x)dxW?蘩p(x)dxW?蘩(x-a)p(x)dx(2)設(shè)￡是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，￡的分布列為p,則有P(|￡-a|2s)=p(x)Wp(x)W(￡-a)p(x)證畢契貝曉夫不等式的另一種形式：對(duì)任意的隨機(jī)變量￡,若E￡=a,又D￡存在，則對(duì)任意的正數(shù)￡，有P(|￡-a|<s)=1-P(|￡-a|2s)>1-.證明：1=P(Q)=P(|￡-a|2s)+P(|￡-a|<s)P(|￡-a|*U|￡-a|<s)所以P(|￡-a|<s)=1-P(|￡-a|2s)>1-證畢說(shuō)明：契貝曉夫不等式的轉(zhuǎn)化形式在應(yīng)用中比較靈活，有時(shí)比契貝曉夫不等式用起來(lái)更加方便..契貝曉夫不等式的應(yīng)用(1)契貝曉夫不等式在概率估計(jì)中的應(yīng)用.契貝曉夫不等式在概率估計(jì)中的應(yīng)用主要包括兩類：一是用于用常規(guī)方法不可以求出其準(zhǔn)確概率的情況；二是用于雖然可以求出其準(zhǔn)確概率，但我們只需要它的大致范圍即可的情況.另外還有一點(diǎn)需要注意的是，在我們利用契貝曉夫不等式估計(jì)概率時(shí)，它所在的區(qū)間必須是對(duì)稱區(qū)間.例1:設(shè)隨機(jī)變量x的方差為2,估計(jì)P（|x-Ex|22）的概率.解：利用常規(guī)方法我們無(wú)法求出P（|x-Ex|22）的概率.所以我們只有應(yīng)用契貝曉夫不等式，即P（|x-Ex|22）W=.在契貝曉夫不等式給出的估計(jì)式中我們只需要知道方差D￡及數(shù)學(xué)期望E￡兩個(gè)數(shù)字特征就夠了，因而使用起來(lái)是比較方便的，但是也正因?yàn)樗鼪](méi)有完整地用到隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律——分布函數(shù)或密度函數(shù)，所以一般說(shuō)來(lái)它給出的估計(jì)是比較粗糙的且存在較大的誤差.下面我們給出一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題.例2:若a是服從N[a，o]分布的隨機(jī)變量，求P（|"a|23o）.解：利用契貝曉夫不等式得P（|￡-a|23o）W=^0.11然而它的準(zhǔn)確解為P（|￡-a|23o）=1-p（|￡-a|W3o）=1-?蘩dx-1-0.997-0.003.比較這兩者的結(jié)果，我們不難知道契貝曉夫不等式給出的估計(jì)的確粗糙一些.（2）契貝曉夫不等式在定理證明中的應(yīng)用，特別是在大數(shù)定律證明中的應(yīng)用.例3:利用契貝曉夫不等式可以證明：隨機(jī)變量區(qū)的方差D￡二0的充分必要條件是區(qū)取某個(gè)常數(shù)值的概率為1,即p（區(qū)=a）=1.證明：充分性，顯然.必要性，設(shè)D￡=0，則E￡存在，于是有0Wp（|￡-E￡|>0）=p｛（|￡-E￡|2）｝Wp（|￡-EW|2）W=0由此可知p（|￡-E￡|>0）=0從而p（|￡-E￡|=0）=1故結(jié)論成立.在貝努里試驗(yàn)中，當(dāng)n很大時(shí)，頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定到概率.這里的逐漸穩(wěn)定不同于我們數(shù)學(xué)分析中的逐漸穩(wěn)定——極限，所以在概率論中二p是不成立的.這就要求我們采用其他形式來(lái)求出這個(gè)概率.我們知道當(dāng)n很大時(shí)，（|-p|2s）發(fā)生的可能性趨向于零（在這里我們還是取8是大于零的任意實(shí)數(shù)).我們把上面的感覺(jué)給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，就是下面的貝努里大數(shù)定律.例4:(貝努里大數(shù)定律)設(shè)u是n重貝努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p(0VpV1),則對(duì)任意的8>0,有p(|-p|<8)=1.證明：令￡=1,在第i次試驗(yàn)中A出現(xiàn)(IWiWn)￡=0,在第i次試驗(yàn)中A不出現(xiàn)(IWiWn)則￡,好…是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且E￡=p,D￡=p(1-p)=pq(1WWn)而u百于是-p==由契貝曉夫不等式有p(|-p|28)=p(|￡-E(￡)12n8)W又由獨(dú)立性可知D(￡)二D￡二npq從而有p(|-p|2￡)W=-0即p(|-p|<8)=1.貝努里大數(shù)定律所要求的條件比較嚴(yán)格，需要明確地知道n,p,q.下面我們給出條件較為寬松的契貝曉夫不等式，它不需要知道方差的準(zhǔn)確值，只需知道方差有界即可.例5:(契貝曉夫大數(shù)定律)設(shè)￡,丁是一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量，又設(shè)它們的方差有界，即存在常數(shù)c>0,使D￡Wc,i=1,2…，則對(duì)任意的￡>0,有p(|-|<8)=1.證明:根據(jù)契貝曉夫不等式，有p(|-|2￡)W因?yàn)殛?yáng)兩兩不相關(guān)，且由它們的方差有界即可得到D(￡)=D￡Wnc從而有p(|-|2s)W—0(n-8)從而有p(|-|<s)=1通過(guò)定義我們雖然可以判斷一個(gè)隨機(jī)變量序列是否服從大數(shù)定律，但是應(yīng)用起來(lái)很不方便.我們不禁要問(wèn)：有沒(méi)有一個(gè)定理可以直接判斷一個(gè)隨機(jī)變量序列是否服從大數(shù)定律呢？回答是肯定的，那就是馬爾可夫大數(shù)定律.例6：(馬爾可夫大數(shù)定律)設(shè)&&…是隨機(jī)變量序列，若有—0,