一題多解探尋解析幾何壓軸破解之策與算法優(yōu)化：非對(duì)稱韋達(dá)問題講義

非對(duì)稱韋達(dá)問題一題多解【方法概述】非對(duì)稱韋達(dá)問題:在一些定點(diǎn)、定值、定線問題中，常出現(xiàn)需要證明類似"土生kX\X?+6x2為定值的情形，但此時(shí)式子并不能完全整理為韋達(dá)定理的形式，這種式子一般稱為“非對(duì)稱韋達(dá)式對(duì)策：和積互換；先猜后證等【典例精析】已知橢圓氏=十二二1伍〉6〉0)過點(diǎn)4(-2,0),4(2,0),點(diǎn)8為￡的上頂點(diǎn)，且a-b直線A】B與直線2x+&=0互相垂直.(1)求E的方程；(2)若不垂直于x軸的直線/過石的右焦點(diǎn)名，與￡交于C,。兩點(diǎn)(C在X軸上方),直線4c,4。分別與＞軸交于邑7零點(diǎn)，。為原點(diǎn)，求證：啜為定值.2 2【答案】(1)土+匕=14 3【解析】(1)a=2,B(0,b),于是2?(-二一1,解得人=行,2 22 2從土+匕=1得4 3(2)【法一】和積互換設(shè)。區(qū)/)。區(qū)/2),直線/：X=〃2P+1(加W0)，代入(4+3m 2故￡:―+—=1； 3)y2+6my-9=0,則%+%=—J：,,必％=— :… 2故￡:―+—=1； 3直線AyC:y————(x+2),令x=0得汽==———$+2 ^ ^+2myx+3直線A2D:y= —(%-2),令x=0得力=:乂-—生_x2-2 x2-2my2-1_%_my^2-yi— — 9力〃少必+3%而而3, 、士3。3|而〃小%=5（乂+%），故而q而3, 而3, 、士3。3|而〃小%=5（乂+%），故而q3, 、%=5(%+%)-"=弘+3%=1T(22)+3:3-2-3【法二】先猜后證2 2設(shè)。（西,必）,。區(qū)/2），直線/：X=〃2y+l，代入￡：3+?=1得(4+3m(4+3m2)y2+6my-9=0,則%+%=一(4+3m2)y(4+3m2)y2+6my-9=0,則%+%=一6m = 7，4+3m212 4+3m2直線4c:尸」Mx+2),令X=O得％=^^二91-$+2 $+2myx+3直線4。：歹=」^(x—2),令x=0得%,=二^=三二,x2-2 %-2 叼2一1則31=_三1。為力3 3 3 3當(dāng)機(jī)=0時(shí)，直線/:x=l與E交于C（l,—,此時(shí)必—|OS|_一般地，要證嗎一般地，要證嗎一般地，要證嗎\OT\只要證-三=,即證3匕,+4=0一般地，要證嗎\OT\3 r3八力而3%+%=力^一二^=皿52-6(必+%)=o,便外+3my2-1{myx+3)(mj2-1)【法三】巧用三點(diǎn)共線, , y2設(shè)。(西,必),￡>(123%)，直線/.x=my+\,代入￡:―+(4+3m(4+3m2)j2+6my-9=0,則M+%=—(4+3m2)j(4+3m2)j2+6my-9=0,則M+%=—6m = r，4+3m212 4+3m2直線4C:y= —(x+2),令x=0得％=2M$+2 Xj+2直線A2D:y=%(%-2),令x=0得%.=2y2,%2—2 x?-2則IOS|二打二天必一2%'|OT|yTx,y2+2y2由G廠,。三點(diǎn)共線可得上」=」」，即%必-%跖=必-為…①X]-1x2-1—24/7?乂々%+西%=2加%%+（凹+%）=r，貝U工2,+X%=4（弘+%）???②4+加一由①②得、出="22/必="區(qū),\OT\\OT\\OT\yT匹％+2%3乂+983故l°SI二%二/%—2\OT\yT匹％+2%3乂+983【法四】一點(diǎn)控局：以動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)作為雙參數(shù)控制動(dòng)態(tài)過程設(shè)C（x。,％）,直線—1）,代入￡得%—1(15—6xq—8jVg2x+4y0?—12(x0—I)2=0,2Xq2Xq—52Xq—5貝心。+/=/4解得%=段迎，于是力=15-6x0 5-2x0直線=^Mx+2),2Xq—5x0+2 x0+2又降;等r普'則直線a。：”V。Xq+2(x-2),令x=0得a=―,'x0+22打于是?°SI__Is_二0+2^\OT\~yT~6y0Xq+2【變式演練】2 2已知橢圓E：A+A=1(q>6>0)過點(diǎn)4(-2,0)，4(2,0)，點(diǎn)3為￡的上頂點(diǎn)，且ab直線A、B與直線2x+43y=0互相垂直.(1)求￡的方程；(2)若不垂直于％軸的直線/過￡的右焦點(diǎn)石，與E交于C,。兩點(diǎn)(。在1軸上方),求證：標(biāo)■為定值.k&DTTTT【答案】(1)—+ =1(2)-4 3 3【解析】當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，此時(shí)〃N1,——【解析】當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，此時(shí)〃N1,——，或"1,--I2jI2；(3、NL-I2j因此y,2I或一1-I，此時(shí)均有針?為定值;當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)直線/：y= 1),設(shè)〃(不必)，N(X2，%)，因此左=，k?=%玉+幺 I2一幺k、%(x2-2) k(xx-l)(x2-2)x1x2-2xl-x2+2^2 %(』+2) k(x2-l)(Xj+2)xxx2-X]+2x2-2聯(lián)立亍+?=\消歹得(3+4/)％2_8入+4(r—3)=0,y=k(X-\)聯(lián)立易知△〉（），則8k2X]+々= 73+4/4（/_3）淮二 13+4左2【方法一】和積轉(zhuǎn)換6X]+X2= Y+2:;4% ,因止匕X1工2=3（X]+々）_4,X.X2= 7+13+4425 1 3_（X[+ ）—4—2X]―工2+2 —X]H—%2—2—（X|+/）-4-X]+2/-2|M+12.6r為定值,得正【方法二】配湊半代換所以 *々-2區(qū)+/2）+12+2公玉x2-（X]+工2）+3x2-2即2=

^24（二_3） 16k2 。- 9+X7+23+4左2 3+4攵之4（左2—3） 8左2 9 2 T+3工2-2 /72+3、233+4左2 3+4左2 3+4左9為定值’得證.【方法三】先猜后