2016年高考文科數(shù)學真題答案全國卷1

2016年高考文科數(shù)學真題及答案全國卷1注意事項：i卷（選擇題）和第ni卷i至3頁，第n卷3至5頁..答題前,考生務必將自己的、準考證號填寫在本試題相應的位置..全部答案在答題卡上完成,答在本試題上無效..考試結束后,將本試題和答題卡一并交回.第i卷一.選擇題：本大題共12小題,每題5分,在每題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.〔1〕設集合A={l,3,5,7},B={x|2<x則Ap|B=〔A〕{1,3} 〔B〕{3,5} 〔C〕{5,7} 〔D〕{1,7}【答案】B考點：集合的交集運算【名師點睛】集合是每年高考中的必考題,一般以基礎題形式出現(xiàn),屬得分題.解決此類問題一般要把參與運算的集合化為最簡形式再進行運算,如果是不等式解集、函數(shù)定義域及值域有關數(shù)集之間的運算,常借助數(shù)軸進行運算.⑵設（1+2i）Q+i）的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a=〔A〕－3 〔B〕－2 〔C〕2 〔D〕3【答案】A【解析】試題分析：（1+2i）（a+i）=a—2+（1+2a）i，由已知，得a—2=1+2a，解得a=-3，故選a.考點：復數(shù)的概念及復數(shù)的乘法運算【名師點睛】復數(shù)題也是每年高考必考內容,一般以客觀題形式出現(xiàn),屬得分題.高考中復數(shù)考查頻率較高的內容有：復數(shù)相等,復數(shù)的幾何意義,共軛復數(shù),復數(shù)的模及復數(shù)的乘除運算,這類問題一般難度不大，但容易出現(xiàn)運算錯誤,特別是i2=-1中的負號易忽略，所以做復數(shù)題要注意運算的準確性.〔3〕為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是〔A〕5〔A〕〔D〕—6【答案】A考點：古典概型【名師點睛】作為客觀題形式出現(xiàn)的古典概型試題,一般難度不大,解答常見錯誤是在用列舉法計數(shù)時出現(xiàn)重復或遺漏,防止此類錯誤發(fā)生的有效方法是按照一定的標準進行列舉..? ■— ^2〔4〕^ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、仁已知a=",c=2,cosA=3，則b=〔A〕\'2 〔B〕＜3 〔C〕2 〔D〕3【答案】D【解析】21試題分析：由余弦定理得5=b2+4—2XbX2X3，解得b=3〔b=-3舍去〕，故選D.考點：余弦定理【名師點睛】此題屬于基礎題,考查內容單一，根據(jù)余弦定理整理出關于b的一元二次方程，再通過解方程求b.運算失誤是基礎題失分的主要原因，請考生切記！〔5〕直線i經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，假設橢圓中心到i的距離為其短軸長的4,則該橢圓的離心率為1 1 23〔a〕3 〔b〕2 〔c〕3 〔d〕4【答案】B【解析】11試題分析：如圖，由題意得在橢圓中,OF=c,OB=b,OD=-x2b=-b在RtAOFB中」OFIxIOBI=|BFIxIODI,且a2=b2+c2,代入解得a2=4c2,所以橢圓得離心率得e=1，故選b.

x考點：橢圓的幾何性質x考點：橢圓的幾何性質【名師點睛】求橢圓或雙曲線離心率是高考常考問題,求解此類問題的一般步驟是先列出等式,再轉化為關于a,c的齊次方程，方程兩邊同時除以a的最高次冪，轉化為關于e的方程，解方程求〔6〕假設將函數(shù)片2sin(2乂+看的圖像向右平移1個周期后，所得圖像對應的函數(shù)為/、一.，一n/八__n/_、 _.n/_、一.，一n〔A〕y=2sin(2x+4)〔B〕y=2sin(2x+3)〔C〕y=2sin(2x-4)〔D〕y=2sin(2x-3)【答案】D考點：三角函數(shù)圖像的平移【名師點睛】函數(shù)圖像的平移問題易錯點有兩個,一是平移方向,注意“左加右減“,二是平移多少個單位是對x而言的，不用忘記乘以系數(shù).28n目,則它的外表積是〔A〕17n〔〔A〕17n〔B〕18n〔C〕20n〔D〕28n【答案】A【解析】考點：三視圖及球的外表積與體積【名師點睛】由于三視圖能有效的考查學生的空間想象能力,所以以三視圖為載體的立體幾何題基本上是高考每年必考內容,高考試題中三視圖一般常與幾何體的外表積與體積交匯.由三視圖復原出原幾何體,是解決此類問題的關鍵.〔8〕假設〃>b>O,O<c<l,貝IJ〔A〕Iogoc<l0g6c〔B〕logc(7<logcd。ac<bc〔D〕Ca>Cb【答案】B【解析】試題分析：由。可知y=log%是減函數(shù)，又〃>b>。,所以log<a<logb.故選b.c c c此題也可以用特殊值代入驗證.考點：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質【名師點睛】比較幕或對數(shù)值的大小，假設幕的底數(shù)相同或對數(shù)的底數(shù)相同，通常利用指數(shù)函數(shù)或對數(shù)單調性進行比較，假設底數(shù)不同，可考慮利用中間量進行比較.⑼函數(shù)y=2%2—eU在1—2,2］的圖像大致為〔C〕 〔D〕【答案】D考點：函數(shù)圖像與性質【名師點睛】函數(shù)中的識圖題多次出現(xiàn)在高考試題中,也可以說是高考的熱點問題，這類題目一般比較靈活，對解題能力要求較高,故也是高考中的難點，解決這類問題的方法一般是利用間接法，即由函數(shù)性質排除不符合條件的選項.〔10〕執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的％=0,y=1,n=1,則輸出羽y的值滿足〔A〕y=2% 〔b〕y=3% 〔C〕y=4% 〔D〕y=5%【答案】C【解析】試題分析：第一次循環(huán)：X=0,j=1,n=2,1第一次循環(huán)：X——,y—2,n—3,33第三次循環(huán)：X—-,y—6,n—3，此時滿足條件x2+y2>36，循環(huán)結束,x—-,y—6,滿足y—4%.故選c考點：程序框圖與算法案例【名師點睛】程序框圖基本是高考每年必考知識點,一般以客觀題形式出現(xiàn),難度不大,求解此類問題一般是把人看作電腦,按照程序逐步列出運行結果.〔11〕平面a過正文體ABCD—A1B1C1D1的頂點Aa〃平面CB1D1,an平面ABCD—m,ap平面ABB^A1—n，則m,n所成角的正弦值為<3 22 <3 1〔A〕~T 〔B〕~2~ 〔C〕~3~ 〔D〕3【答案】A考點：平面的截面問題,面面平行的性質定理,異面直線所成的角.

【名師點睛】求解此題的關鍵是作出異面直線所成角，求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形，解形求角、得鈍求補.〔12〕假設函數(shù)f(x)=x-3sin2x+asinx在(一*”)單調遞增，則a的取值范圍是〔a〕〔a〕[—1,1]?t；。i13,3,、11〔d〕-1,-3【答案】c考點：三角變換及導數(shù)的應用【名師點睛】此題把導數(shù)與三角函數(shù)結合在一起進行考查，有所創(chuàng)新，求解關鍵是把函數(shù)單調性轉化為不等式恒成立，再進一步轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,注意與三角函數(shù)值域或最值有關的問題，要注意弦函數(shù)的有界性.第ii卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題~第(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答.第(22)題~第(24)題為選考題,考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共3小題，每題5分〔13〕設向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a±，則x=.

2【答案】一弓【解析】■c ?八c 2試題分析：由題意，ab=0,x+2(x+1)=0,ax=--考點：向量的數(shù)量積及坐標運算【名師點睛】全國卷中向量大多以客觀題形式出現(xiàn)，屬于基礎題.解決此類問題既要準確記憶公a=(xy)、b=\xy)式，又要注意運算的準確性.此題所用到的主要公式是：假設 1,1, 2,匕，則a-b=xy+xy11 22.〔14〕已知力是第四象限角，且sin(%4)=3，則tan(耳:)=.4【答案】-3【解析】試題分析:由題意sin0+試題分析:由題意sin0+4=sin0--=cosTOC\o"1-5"\h\z因為2kk+—<0<2k兀+2兀(keZ)，所以2kk+—<0--<2kk+—(keZ),^2 ^4 ^4 ^4從而sin[0-從而sin[0-K1 4_±，因此tan0--=--.故填-不.5 1 4) 3 3考點：三角變換【名師點睛】三角函數(shù)求值，假設涉及到開方運算,要注意根式前正負號的取舍，同時要注意角的靈活變換.〔15〕設直線y=x+2a與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于AB兩點，假設1，; ,則圓C的面積為【答案】4兀考點：直線與圓【名師點睛】注意在求圓心坐標、半徑、弦長時常用圓的幾何性質，如圓的半徑r、弦長1、圓,(l￥r2=d2+kl心到弦的距離d之間的關系： 121在求圓的方程時常常用到.〔16〕某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時,生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元.【答案】216000【解析】試題分析：設生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B分別為x、y件，利潤之和為z元，那么’1.5x+0.5X150,x+0.3X9。，<5x+3y<600, ①目標函數(shù)z=2100x+900y.,得M的坐標(60,100).’10x,得M的坐標(60,100).5x+3y=600所以當x=60,y=100時,z=2100x60+900x100=216000.max故生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為216000元.考點：線性規(guī)劃的應用【名師點睛】線性規(guī)劃也是高考中?？嫉闹R點,一般以客觀題形式出現(xiàn),基此題型是給出約束條件求目標函數(shù)的最值,常見的結合方式有：縱截距、斜率、兩點間的距離、點到直線的距離,解決此類問題常利用數(shù)形結合.此題運算量較大,失分的一個主要原因是運算失誤.三.解答題：解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.〔17〕.〔此題總分值12分〕已知｛a｝是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列布卜滿足nnb=1b=-,ab+b=nb3,.nn+1 n+1 n〔I〕求｛a｝的通項公式；n〔II〕求｛b｝的前n項和.n31【答案】〔I〕a=3n一1〔II〕--7；—：—.n 22x3n-1〔II〕由〔I〕和ab+b=nb ，得b =m，因此｛b｝是首項為1,公比為：｛b｝的前n項nn+1 n+1n n+1 3 n 3n1-(3)n_3 1 : =—― 1 1 2 2X3n-11——3考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列【名師點睛】等差、等比數(shù)列各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉化解關于基本量的方程〔組〕,因此可以說數(shù)列中的絕大部分運算題可看作方程應用題,所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.〔18〕.〔此題總分值12分〕如圖，在已知正三棱錐P-ABC的側面是直角三角形,PA=6,頂點P在平面ABC內的正投影為點E,連接PE并延長交AB于點G.〔I〕證明G是AB的中點；〔II〕在答題卡第〔18〕題圖中作出點E在平面PAC內的正投影F〔說明作法及理由〕，并求四面體PDEF的體積.4【答案】⑴見解析〔II〕作圖見解析,體積為3試題解析：⑴因為P在平面ABC內的正投影為。，所以AB1PD.尸因為D在平面PAB內的正投影為石，所以AB1DE.所以AB1平面PED,故AB1PG.又由已知可得,PA=PB從而G是AB的中點.〔II〕在平面PAB內，過點E作PB的平行線交PA于點F,F即為E在平面PAC內的正投影.理由如下：由已知可得PB1PA,PB1PC又EF//PB，所以EF1PC,因此EF1平面PAC，即點F為E在平面PAC內的正投影.連接CG,因為P在平面ABC內的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心.2―由〔I〕知,G是AB的中點，所以D在CG上，故CD=3CG.2一1一由題設可得PC1平面PAB,DE1平面PAB，所以DE//PC因此PE=-PG,DE=-PC., 3 3由已知，正三棱錐的側面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2<2.在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2.11--4所以四面體PDEF的體積V=3X2X22222二3.考點：線面位置關系及幾何體體積的計算【名師點睛】文科立體幾何解答題主要考查線面位置關系的證明及幾何體體積的計算,空間中線面位置關系的證明主要包括線線、線面、面面三者的平行與垂直關系,其中推理論證的關鍵是結合空間想象能力進行推理,要防止步驟不完整或考慮不全致推理片面，該類題目難度不大，以中檔題為主.〔19〕〔本小題總分值12分〕某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

記X表示1臺機器在三年使用期內需更換的易損零件數(shù),y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用〔單位：元〕，n表示購機的同時購買的易損零件數(shù).⑴假設n=19，求y與x的函數(shù)解析式；〔II〕假設要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值；〔III〕假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？【答案】⑴J二3800,【答案】⑴J二3800,x<19,500x—5700,x>19,(xeN)〔II〕19〔iii〕19〔II〕由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的概率為0.46,不大于19的概率為0.7，故n的最小值為19.〔山〕假設每臺機器在購機同時都購買19個易損零件，則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3800,20臺的費用為4300,10臺的費用為4800,因此這100臺機器在購買易損1零件上所需費用的平均數(shù)為而(4000*90+450。x10)=4050.比較兩個平均數(shù)可知,購買1臺機器的同時應購買19個易損零件.考點：函數(shù)解析式、概率與統(tǒng)計【名師點睛】此題把統(tǒng)計與函數(shù)結合在一起進行考查,有綜合性但難度不大,求解關鍵是讀懂題意,所以提醒考生要重視數(shù)學中的閱讀理解問題.〔20〕〔本小題總分值12分〕在直角坐標系xOy中，直線l:y=t(t00)交y軸于點M，交拋物線C：y2=2px(p>0)于點P,M關于點P的對稱點為M連結ON并延長交C于點H.

⑴求OH⑴求OHON〔II〕除H以外，直線MH與C是否有其它公共點？說明理由.【答案】〔I〕2〔II〕沒有【解答】t2 p試題分析：先確定N(-,t),ON的方程為J=土％代入y2=2px整理得px2-212x=0,解得pt2t2 2t2 |OH|x=0,x=——,得H(——,2t)，由此可得N為0H的中點,即 =2.〔II〕1 2p p |ON|p把直線MH的方程y-1 X,與y2=2px聯(lián)立得y2-4ty+412=0,解得y=y=21,即TOC\o"1-5"\h\z2t 1 2直線MH與C只有一個公共點,所以除H以外直線MH與C沒有其它公共點.〔II〕直線MH與C除H以外沒有其它公共點.理由如下：\o"CurrentDocument"p 2t\o"CurrentDocument"直線MH的方程為y-1=^~x,即x=—(y-1).代入y2=2px得y2-4ty+412=0,解得2t py=y=21，即直線MH與C只有一個公共點,所以除H以外直線MH與C沒有其它公共12點.考點：直線與拋物線【名師點睛】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關系,直線與圓錐曲線的位置關系是一個很寬泛的考試內容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求參數(shù)取值范圍等幾部分組成；解析幾何中的證明問題通常有以下幾類：證明點共線或直線過定點；證明垂直；證明定值問題.其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類問題要重視方程思想、函數(shù)思想及化歸思想的應用.〔21〕〔本小題總分值12分〕已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(I)討論f(x)的單調性；(II)假設f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.【答案】見解析(II)(0,+8)【解析】試題分析：(I)先求得f'(X)=(x—1)Q+2a).再根據(jù)1,0,2a的大小進行分類確定f(x)的單調性；(II)借助第一問的結論，通過分類討論函數(shù)單調性，確定零點個數(shù)，從而可得a的取值范圍為(0,+s).試題解析：(I)f,(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).⑴設a>0，則當xe(-8,1)時,f'(x)<0；當xe(1,+8)時,f'(x)>0.所以在(-8,1)單調遞減，在(1,+8)單調遞增.(ii)設a<0，由f(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①假設a=-e，則f{x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-8,+8)單調遞增.②假設a>-e，則ln(-2a)<1,故當xe(-8,ln(-2a))U(l,+8)時,f'(x)>0；當xG(ln(-2a),1)時,f(x)<0,所以f(x)在(-8,ln(-2a)),(1,+8)單調遞增，在(ln(-2a),1)單調遞減.③假設a<-e，則In(-2a)>1，故當xe(-8,1)U(in(-2〃),+8)時,f(x)>0,當2xeQln(-2a))時,f'(x)<0,所以f(x)在(-8,1),(ln(-2a),+8)單調遞增，在Qln(-2a))單調遞減.考點：函數(shù)單調性，導數(shù)應用【名師點睛】此題第一問是用導數(shù)研究函數(shù)單調性，對含有參數(shù)的函數(shù)單調性確實定，通常要根據(jù)參數(shù)進行分類討論，要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡；第二問是求參數(shù)取值范圍,由于這類問題常涉及到導數(shù)、函數(shù)、不等式等知識，越來越受到高考命題者的青睞，解決此類問題的思路是構造適當?shù)暮瘮?shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或極值破解.請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號〔22〕〔本小題總分值10分〕選修4-1：幾何證明選講如圖,△OAB是等腰三角形，/AOB=120°.以O為圓心,1OA為半徑作圓.(I)證明：直線AB與。O相切；(II)點C,D在。O上，且A,B,C,D四點共圓,證明：AB//CD.【答案】(I)見解析(II)見解析1在RtAAOE中,OE=-AO,即O到直線AB的距離等于圓O的半徑，所以直線AB與。O相切．〔II〕因為OA=2OD，所以O不是A,B,C,D四點所在圓的圓心，設O'是A,B,C,D四點所在圓的圓心，作直線OO'.由已知得O在線段AB的垂直平分線上，又O'在線段AB的垂直平分線上，所以OO'±AB.同理可證,OO'，CD.所以AB/CD.考點：四點共圓、直線與圓的位置關系及證明【名師點睛】近幾年幾何證明題多以圓為載體命制,在證明時要抓好“長度關系”與“角度關系的轉化”,熟悉相關定理與性質.該部分內容命題點有：平行線分線段成比例定理；三角