2023屆廣東省揭陽市華僑高級中學數學高二第二學期期末質量檢測試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，若，則（）A．0 B．3 C．6 D．92．下列命題中：①“x>y”是“x②已知隨機變量X服從正態(tài)分布N3，??③線性回歸直線方程y=bx+④命題“?x∈R，x2+x+1>0其中正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如圖所示是的圖象的一段，它的一個解析式是（）A． B．C． D．4．設隨機變量服從二項分布，則函數存在零點的概率是（）A． B． C． D．5．設函數在上存在導函數，對于任意的實數，都有，當時，，若，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．在復平面內與復數所對應的點關于虛軸對稱的點為，則對應的復數為（）A． B． C． D．7．已知函數的圖像關于直線對稱，且對任意有，則使得成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知定義在上的函數的導函數為，且，若存在實數，使不等式對于任意恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．9．為了考察兩個變量x和y之間的線性相關性，甲、乙兩個同學各自獨立做了15次和20次試驗，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線為l1和l2，已知在兩人的試驗中發(fā)現對變量x的觀測數據的平均值恰好相等，都為s，對變量y的觀測數據的平均值也恰好相等，都為t，那么下列說法正確的是()A．直線l1和直線l2有交點(s，t) B．直線l1和直線l2相交，但交點未必是點(s，t)C．直線l1和直線l2必定重合 D．直線l1和直線l2由于斜率相等，所以必定平行10．函數的定義域是R，，對任意的，都有成立，則不等式的解集為()A． B． C． D．11．己知一組樣本數據恰好構成公差為5的等差數列，則這組數據的方差為A．25 B．50 C．125 D．25012．廣告投入對商品的銷售額有較大影響，某電商對連續(xù)5個年度的廣告費和銷售額進行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數據如下表（單位：萬元）廣告費23456銷售額2941505971由上表可得回歸方程為，據此模型，預測廣告費為10萬元時銷售額約為（）A．118.2萬元 B．111.2萬元 C．108.8萬元 D．101.2萬元二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數是虛數，則復數的模等于__________.14．在側棱長為的正三棱錐中，，若過點的截面，交于，交于，則截面周長的最小值是______15．已知函數，若對任意，恒成立，則實數的取值范圍是_____16．乒乓球賽規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換，每次發(fā)球，勝方得1分，負方得0分．設在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，甲發(fā)球得1分的概率為，乙發(fā)球得1分的概率為，各次發(fā)球的勝負結果相互獨立，甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.則開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2的概率為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，．（1）當時，求的極值；（2）若且對任意的，恒成立，求的最大值．18．（12分）已知橢圓：的離心率為，直線被圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于，兩點，在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標和的值；若不存在，請說明理由.19．（12分）如圖，正四棱柱的底面邊長，若與底面所成的角的正切值為．（1）求正四棱柱的體積；（2）求異面直線與所成的角的大?。?0．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，點是的中點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）如圖，是通過某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道，連結M，N兩地之間的鐵路線是圓心在上的一段圓弧，若點M在點O正北方向3公里；點N到的距離分別為4公里和5公里.（1）建立適當的坐標系，求鐵路線所在圓弧的方程；（2）若該城市的某中學擬在點O的正東方向選址建分校，考慮環(huán)境問題，要求校址到點O的距離大于4公里，并且鐵路上任意一點到校址的距離不能小于公里，求該校址距點O的最短距離（注：校址視為一個點）22．（10分）已知函數(是自然對數的底數).(1)若函數在上單調遞減，求的取值范圍；(2)當時，記，其中為的導函數.證明：對任意，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

分別討論當和時帶入即可得出，從而得出【詳解】當時（舍棄）．當時，所以，所以選擇C【點睛】本題主要考查了分段函數求值的問題，分段函數問題需根據函數分段情況進行討論，屬于基礎題．2、B【解析】

①充要條件即等價條件，不等價則不充要；②根據正態(tài)分布的特征，且μ=3，得到P(X≤0)=P(X≥6)=1-P(X≤6)，判斷其正確；③根據回歸直線的特征，得出其正確；④寫出命題p的否定?p，判定其錯誤；最后得出結果.【詳解】對于①，由x>y≥0，可以推出x2>y2，充分性成立，x2對于②，根據題意得P(X≤0)=P(X≥6)=1-P(X≤6)=1-0.72=0.28，所以②正確；對于③，根據回歸直線一定會過樣本中心點，所以③正確；對于④，命題“?x∈R，x2所以正確命題有兩個，故選B.【點睛】該題考查的是有關判斷命題的正誤的問題，涉及到的知識點有充要條件，正態(tài)分布，含有一個量詞的命題的否定，回歸直線方程的特征，屬于簡單題目.3、D【解析】

根據圖象的最高點和最低點求出A，根據周期T求ω，圖象過（），代入求，即可求函數f（x）的解析式；【詳解】由圖象的最高點，最低點，可得A，周期Tπ，∴．圖象過（），∴，可得：，則解析式為ysin（2）故選D．【點睛】本題主要考查三角函數的圖象和性質，根據圖象求出函數的解析式是解決本題的關鍵．要求熟練掌握函數圖象之間的變化關系．4、C【解析】

因為函數存在零點，所以..【詳解】∵函數存在零點，∴，∴.∵服從，∴.故選【點睛】本題主要考查獨立重復試驗的概率求法以及二項分布，熟記公式是解題的關鍵，屬于簡單題.5、A【解析】

記，由可得，所以為奇函數，又當時，，結合奇函數性質，可得在上單調遞減，處理，得，所以，可得出的范圍.【詳解】解：因為，所以記，則所以為奇函數，且又因為當時，，即所以當時，，單調遞減又因為為奇函數，所以在上單調遞減若則即所以所以故選：A.【點睛】本題考查了函數單調性與奇偶性的綜合運用，利用導數研究函數的單調性，構造函數法解決抽象函數問題，觀察結構特點巧妙構造函數是關鍵.6、D【解析】

根據復數的運算法則求出，即可得到其對應點關于虛軸對稱點的坐標，寫出復數.【詳解】由題，在復平面對應的點為（1,1），關于虛軸對稱點為（-1,1），所以其對應的復數為.故選：D【點睛】此題考查復數的幾何意義，關鍵在于根據復數的乘法除法運算準確求解，熟練掌握復數的幾何意義.7、A【解析】∵函數的圖象關于直線對稱，∴函數的圖象關于直線對稱，∴函數為偶函數．又對任意有，∴函數在上為增函數．又，∴，解得.∴的取值范圍是.選A．8、C【解析】

對函數求導，分別求出和的值，得到，利用導數得函數的最小值為1，把存在實數，使不等式對于任意恒成立的問題轉化為對于任意恒成立，分離參數，分類討論大于零，等于零，小于零的情況，從而得到的取值范圍。【詳解】由題可得，分別把和代入與中得到，解得：；，，即當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；要存在實數，使不等式對于任意恒成立，則不等式對于任意恒成立，即不等式對于任意恒成立；（1）當時，顯然不等式不成立，舍去；（2）當時，不等式對于任意恒成立轉化為對于任意恒成立，即，解得：；（3）當時，不等式對于任意恒成立轉化為對于任意恒成立，即，解得：；綜述所述，實數的取值范圍是故答案選C【點睛】本題考查函數解析式的求法，利用導數求函數最小值，分類參數法，考查學生轉化的思想，分類討論的能力，屬于中檔題。9、A【解析】

根據回歸直線過樣本數據中心點，并結合回歸直線的斜率來進行判斷。【詳解】由于回歸直線必過樣本的數據中心點，則回歸直線和回歸直線都過點，做了兩次試驗，兩條回歸直線的斜率沒有必然的聯系，若斜率不相等，則兩回歸直線必交于點，若斜率相等，則兩回歸直線重合，所以，A選項正確，B、C、D選項錯誤，故選：A.【點睛】本題考查回歸直線的性質，考查“回歸直線過樣本數據的中心點”這個結論，同時也要抓住回歸直線的斜率來理解，考查分析理解能力，屬于基礎題。10、A【解析】

結合已知條件分析,需要構造函數,通過條件可得到,在R上為增函數,利用單調性比較,即可得出答案．【詳解】∵任意的,都有,即,又要解,∴設則∴在R上為增函數,而,即,.故選：A.【點睛】本題考查函數單調性的應用,構造函數是解決本題的關鍵,難度一般.11、B【解析】

先計算數據平均值，再利用方差公式得到答案.【詳解】數據恰好構成公差為5的等差數列故答案選B【點睛】本題考查了數據的方差的計算，將平均值表示為是解題的關鍵，意在考查學生的計算能力.12、B【解析】分析：平均數公式可求出與的值,從而可得樣本中心點的坐標，代入回歸方程求出，再將代入回歸方程得出結論.詳解：由表格中數據可得，，，解得，回歸方程為，當時，，即預測廣告費為10萬元時銷售額約為，故選B.點睛：本題考查了線性回歸方程的性質與數值估計，屬于基礎題.回歸直線過樣本點中心是一條重要性質，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先根據復數除法計算出，然后根據復數模的計算公式計算出的模即可.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查復數的除法計算以及復數模的求解，難度較易.已知復數，所以.14、1【解析】

沿著側棱把正三棱錐展開在一個平面內，如圖，則即為截面周長的最小值，且．中，由余弦定理可得的值．【詳解】如圖所示：沿著側棱把正三棱錐展開在一個平面內，如圖（2），則即為截面周長的最小值，且．中，由余弦定理可得：.故答案為1．【點睛】本題考查余弦定理的應用、棱錐的結構特征、利用棱錐的側面展開圖研究幾條線段和的最小值問題，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查空間想象能力和運算求解能力．15、【解析】

先將對任意，恒成立，轉化為，利用基本不等式和函數單調性，分別研究對任意恒成立，和對任意恒成立，即可求出結果.【詳解】等價于，即，①先研究對任意恒成立，即對任意恒成立，∵，當且僅當“”時取等號，∴；②再研究對任意恒成立，即對任意恒成立，∵函數在上單調遞增，∴，∴；綜上，實數的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查不等式恒成立求參數的范圍，熟記基本不等式以及函數單調性即可，屬于?？碱}型.16、【解析】

先確定比分為1比2時甲乙在三次發(fā)球比賽中得分情況，再分別求對應概率，最后根據互斥事件概率公式求結果【詳解】比分為1比2時有三種情況：（1）甲第一次發(fā)球得分，甲第二次發(fā)球失分，乙第一次發(fā)球得分（2）甲第一次發(fā)球失分，甲第二次發(fā)球得分，乙第一次發(fā)球得分（3）甲第一次發(fā)球失分，甲第二次發(fā)球失分，乙第一次發(fā)球失分所以概率為【點睛】本題考查根據互斥事件概率公式求概率，考查基本分析求解能力，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極小值為，無極大值；（2）1.【解析】

（1）將代入，求其單調區(qū)間，根據單調區(qū)間即可得到函數的極值.（2）首先將問題轉化為，恒成立，設，求出其單調區(qū)間和最值即可得到的最大值.【詳解】（1）當時，，易知函數在上為單調增函數，及所以當，，為減函數.當，，為增函數.所以在時取最小值，即，無極大值.（2）當時，由，即，得.令，則.設，則，在上為增函數，因為，，所以，且，當時，，，在上單調遞減；當時，，，在上單調遞增．所以，因為，所以，，所以，即的最大值為1．【點睛】本題第一問考查利用導數求函數的極值，第二問考查利用導數解決恒成立問題，屬于中檔題.18、（1）；（2），.【解析】

（1）由橢圓的離心率為，求得,再由圓的性質和圓的弦長公式，求得，進而可求解橢圓的標準方程；（2）設的方程：，聯立方程組，利用根與系數的關系，求得，再利用向量的數量積的運算和代數式的性質，即可得到結論．【詳解】（1）∵橢圓的離心率為，∴,∵圓的圓心到直線的距離為,∴直線被圓截得的弦長為.解得，故，∴橢圓的方程為.（2）設，，，當直線與軸不重合時，設的方程：.由得，，∴，，，當，即時，的值與無關，此時.當直線與軸重合且時，.∴存在點，使得為定值.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關系的應用問題,解答此類題目，通常聯立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應用一元二次方程根與系數的關系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等．19、（1）（2）【解析】

（1）是與底面所成的角,所以,可得,在用柱體體積公式即可求得答案;（2）因為正四棱柱,可得,所以是異面直線與所成的角.【詳解】（1）如圖,連接正四棱柱的底面邊長面是與底面所成的角在中,正四棱柱的體積為:.（2）正四棱柱是異面直線與所成的角在中,異面直線與所成的角為:.【點睛】本題考查了正四棱柱體積和空間異面直線夾角.在求解異面直線所成角的求解,通過平移找到所成角是解這類問題的關鍵.20、(1).(2).【解析】

分析：（1）直接建立空間直角坐標系，求出，D，M四點的坐標寫出對于的向量坐標，然后根據向量的夾角公式求解即可；（2）先根據坐標系求出平面的法向量，然后寫出向量，在根據向量夾角公式即可求解.詳解：在正四棱柱中，以為原點，、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系．因為，，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為．(2)，設平面的一個法向量為．則，得，取，得，，故平面的一個法向量為．于是，所以直線與平面所成角的正弦值為．點睛：考查線線角，線面角對于好建空間坐標系的立體幾何題則首選向量做法，直接根據向量求解解題思路會比較簡單，但要注意坐標的準確性和向量夾角公式的熟悉，屬于基礎題.21、（1）（；（2）.【解