巨正則分布的熱力學(xué)熱力學(xué)

巨正則分布的熱力學(xué)熱力學(xué)第1頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一知識(shí)回顧C(jī)hap.7玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)粒子的配分函數(shù)Z1基本熱力學(xué)函數(shù)、內(nèi)能、物態(tài)方程、熵、自由能系統(tǒng)的全部平衡性質(zhì)第2頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一知識(shí)回顧滿足經(jīng)典極限條件的玻色和費(fèi)米系統(tǒng)第3頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一知識(shí)回顧C(jī)hap.8玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)§8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式拋棄粒子軌道的概念（1）微觀粒子的能量和動(dòng)量是不連續(xù)的（2）微觀全同粒子不可分辨（3）微觀粒子的行為要滿足不確定關(guān)系（4）費(fèi)米子受泡利不相容原理的限制第4頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一知識(shí)回顧：玻色和費(fèi)米系統(tǒng)的巨配分函數(shù)和熱力學(xué)公式Bose系統(tǒng)Fermi系統(tǒng)第5頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一知識(shí)回顧：§8.2弱簡(jiǎn)并理想玻色和費(fèi)米氣體Chap.8玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)Chap.7中的經(jīng)典極限條件（非簡(jiǎn)并條件）：所謂“弱簡(jiǎn)并條件”即氣體的很大很小，但不可忽略！第6頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一知識(shí)回顧：§8.2弱簡(jiǎn)并理想玻色和費(fèi)米氣體Bose氣體Fermi氣體Boltzmann氣體弱簡(jiǎn)并條件下的系統(tǒng)內(nèi)能的差異（1）第一項(xiàng)是根據(jù)Boltzmann分布得到的內(nèi)能（2）第二項(xiàng)是量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)所導(dǎo)致的附加內(nèi)能，

弱簡(jiǎn)并的情況下附加內(nèi)能很??；Fermi氣體附加內(nèi)能為正—等效的排斥作用Bose氣體附加內(nèi)能為負(fù)---等效的吸引作用第7頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一知識(shí)回顧：§8.3Bose–Einstein凝聚1.理想Bose氣體的化學(xué)勢(shì)2.臨界溫度（凝聚溫度）：T<Tc時(shí)，就有宏觀量級(jí)的粒子在能級(jí)ε=0凝聚，這一現(xiàn)象稱為Bose-Einstein凝聚，簡(jiǎn)稱Bose凝聚。5.Bose-Einstein凝聚的條件：4.Bose-Einstein凝聚Bose凝聚體的E=0;P動(dòng)量=0;S=0;P壓強(qiáng)=0

3.T<Tc時(shí)：第8頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一知識(shí)回顧：§8.4光子氣體低頻極限：瑞利(1900)-金斯(1905)公式高頻極限：維恩(1896)公式普朗克公式第9頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一知識(shí)回顧：§8.4光子氣體空窖輻射的內(nèi)能斯特藩-玻耳茲曼定律ω

m與溫度T成正比---維恩位移定律(1893)第10頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一光子氣體的熱力學(xué)函數(shù)知識(shí)回顧：§8.4光子氣體第11頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一知識(shí)回顧：§8.5金屬中的自由電子氣體討論強(qiáng)簡(jiǎn)并的Fermi氣體的特性低溫極限（T＝0K）時(shí)自由電子的性質(zhì)Fermi分布T>0K時(shí)自由電子的性質(zhì)第12頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一知識(shí)回顧：§8.5金屬中的自由電子氣體

T=0K下自由電子的性質(zhì)Fermi能級(jí)0K時(shí)電子氣體的壓強(qiáng)為3.8×1010帕。這是一個(gè)極大的數(shù)值．它是泡利不相容原理和電子氣體具有高密度的結(jié)果．常稱為電子氣體的簡(jiǎn)并壓.第13頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一知識(shí)回顧：§8.5金屬中的自由電子氣體T>0K時(shí)電子氣體熱容量的估計(jì)（能量均分定理，N有效）T>0K時(shí)金屬中自由電子的性質(zhì)金屬中自由電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)約為：第14頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一知識(shí)回顧：§8.5金屬中的自由電子氣體3.

T>0K時(shí)自由電子氣體熱容量的定量計(jì)算內(nèi)能U在體積V內(nèi)，在ε-ε+dε能量范圍內(nèi)的電子數(shù)為：電子數(shù)N將Fermi積分求出后得：進(jìn)一步化簡(jiǎn)得：第15頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一知識(shí)回顧：§8.5金屬中的自由電子氣體T>0K時(shí)，自由電子氣體熱容量與估算的結(jié)果僅有系數(shù)的差異根據(jù)系綜理論足夠低的溫度下電子熱容量將大于離子振動(dòng)的熱容量而成為對(duì)金屬熱容量的主要貢獻(xiàn)。電子離子振動(dòng)第16頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理Chap.9系綜理論回顧：近獨(dú)立粒子平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的普遍理論—系綜理論應(yīng)用系綜理論可以研究互作用粒子組成的系統(tǒng)．§9.1相空間劉維爾定理如何描述系統(tǒng)的微觀（力學(xué)）運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？第17頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理一、相空間如果系統(tǒng)包含多種粒子，第i種粒子的自由度為ri

，粒子數(shù)為Ni

，則系統(tǒng)的自由度為：說(shuō)明：a）當(dāng)粒子間的相互作用不能忽略時(shí)，應(yīng)把系統(tǒng)當(dāng)作一個(gè)整體考慮;

b）本節(jié)主要討論經(jīng)典描述如何描述系統(tǒng)的微觀（力學(xué)）運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？假設(shè)系統(tǒng)由N個(gè)全同粒子組成，粒子的自由度為r則：系統(tǒng)的自由度為f=Nr第18頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理（1）相空間（Γ

空間）系統(tǒng)在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：f個(gè)廣義坐標(biāo)系統(tǒng)在任一時(shí)刻的的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：以共2f個(gè)變量為直角坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)2f維空間,稱為相空間(?？臻g)f個(gè)廣義動(dòng)量可用相空間中的一點(diǎn)表示，稱為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)。第19頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理（2）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間的演化系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間而變，遵從哈密頓正則方程（9.1.1）保守力系第20頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理若H不顯含t，則H＝h（積分常數(shù)）穩(wěn)定約束的情況下：第21頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理孤立系統(tǒng):哈密頓量就是它的能量，包括1)粒子的動(dòng)能;2)粒子相互作用的勢(shì)能;3)粒子在保守力場(chǎng)中的勢(shì)能它是的函數(shù),存在外場(chǎng)時(shí)還是外場(chǎng)參量的函數(shù),不是時(shí)間t的顯函數(shù)。第22頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理系統(tǒng)在相空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間變化時(shí)，代表點(diǎn)相應(yīng)地在相空間中移動(dòng)，其軌道由式(9.1.1)確定．軌道的運(yùn)動(dòng)方向完全由(qi和pi)決定哈密頓量和它的微商是單值函數(shù)經(jīng)過(guò)相空間任何一點(diǎn)軌跡只能有一條系統(tǒng)從某一初態(tài)出發(fā)，代表點(diǎn)在相空間的軌道或者是一條封閉曲線，或者是一條自身永不相交的曲線。當(dāng)系統(tǒng)從不同的初態(tài)出發(fā)，代表點(diǎn)沿相空間中不同的軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，不同的軌道也互不相交。（9.1.1）第23頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理能量曲面:由于孤立系統(tǒng)的能量E不隨時(shí)間改變，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和動(dòng)量必然滿足條件：構(gòu)成相空間中的一個(gè)曲面，稱為能量曲面。孤立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)位于能量曲面之上.第24頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理二、劉維爾定理(Liouville’stheorem)1、設(shè)想大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，各自從其初態(tài)

出發(fā)獨(dú)立地沿著正則方程(9.1.1)所規(guī)定的軌道運(yùn)動(dòng).（9.1.1）這些系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)將在相空間中形成一個(gè)分布．相空間中的一個(gè)體積元時(shí)刻t，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在dΩ內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)：第25頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理所設(shè)想的系統(tǒng)的總數(shù)N2、劉維爾定理及其證明1)劉維爾定理如果一個(gè)代表點(diǎn)沿著正則方程所確定的軌道在相空間中運(yùn)動(dòng)，其鄰域的代表點(diǎn)密度是不隨時(shí)間改變的常數(shù)。2)劉維爾定理的證明第26頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理[證明]現(xiàn)在考慮代表點(diǎn)密度ρ

隨時(shí)間t

的變化．當(dāng)時(shí)間由t

變到t+dt時(shí)，在處的代表點(diǎn)將運(yùn)動(dòng)到這里現(xiàn)在要證明全微分第27頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理1)考慮相空間中一個(gè)固定的體積元邊界是2f對(duì)平面時(shí)刻t,dΩ內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)時(shí)刻t+dt,dΩ內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)經(jīng)dt時(shí)間后，dΩ內(nèi)代表點(diǎn)數(shù)的增加第28頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理代表點(diǎn)需要通過(guò)2f對(duì)邊界平面才能進(jìn)入或走出體積元dΩ2)現(xiàn)在計(jì)算通過(guò)平面qi進(jìn)入dΩ的代表點(diǎn)數(shù)dΩ在平面qi上的邊界面積在dt時(shí)間內(nèi)通過(guò)dA進(jìn)入dΩ的代表點(diǎn)必須位于以dA為底、以

為高的柱體內(nèi)．柱體內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)是在dt時(shí)間內(nèi)通過(guò)平面qi+dqi走出dΩ的代表點(diǎn)數(shù)第29頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理2)通過(guò)這對(duì)平面凈進(jìn)入dΩ的代表點(diǎn)數(shù)是：走進(jìn)走出類似的討論可得，在dt時(shí)間內(nèi)通過(guò)一對(duì)平面pi和pi+dpi凈進(jìn)入dΩ的代表點(diǎn)數(shù)為第30頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理在dt時(shí)間內(nèi)通過(guò)dΩ邊界進(jìn)入dΩ內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)為第31頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理……劉維爾定理Liouville’stheorem第32頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理劉維爾定理的另一形式第33頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1相空間劉維爾定理說(shuō)明:1）對(duì)于t→-t保持不變……劉維爾定理是可逆的2)劉維爾定理完全是力學(xué)規(guī)律的結(jié)果，其中未引入任何統(tǒng)計(jì)的概念；3)根據(jù)量子力學(xué)也可以證明劉維爾定理。第34頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一、相空間若系統(tǒng)包含多種粒子，第i種粒子的自由度為ri

，粒子數(shù)為Ni

，則系統(tǒng)的自由度為：§9.1小結(jié)§9.1相空間劉維爾定理小結(jié)以共2f個(gè)變量為坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)2f維空間,稱為相空間(?？臻g)系統(tǒng)在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：可用相空間中的一點(diǎn)表示，稱為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)。（2）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間的演化

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間而變，遵從哈密頓正則方程（9.1.1）（1）相空間（Γ

空間）當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間變化時(shí)，代表點(diǎn)相應(yīng)地在相空間中移動(dòng)，其軌道由式(9.1.1)確定．第35頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一劉維爾定理(Liouville’stheorem)

設(shè)想大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)獨(dú)立地沿著正則方程(9.1.1)所規(guī)定的軌道運(yùn)動(dòng).（9.1.1）這些系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)將在相空間中形成一個(gè)分布．§9.1小結(jié)2、劉維爾定理如果一個(gè)代表點(diǎn)沿著正則方程所確定的軌道在相空間中運(yùn)動(dòng)，其鄰域的代表點(diǎn)密度是不隨時(shí)間改變的常數(shù)。ρdΩ表示時(shí)刻t，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在dΩ內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)第36頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.2微正則分布§9.2微正則分布宏觀系統(tǒng)，表面分子數(shù)遠(yuǎn)小于總分子數(shù)，系統(tǒng)與外界的相互作用很弱。統(tǒng)計(jì)物理學(xué):研究系統(tǒng)在給定宏觀條件下的宏觀性質(zhì)。例如:如果研究的是一個(gè)孤立系統(tǒng)，給定的宏觀條件就是具有確定的粒子數(shù)N、體積V和能量E。1統(tǒng)計(jì)系綜1)關(guān)于孤立系統(tǒng)能量的討論：實(shí)際上系統(tǒng)通過(guò)其表面分子不可避免地與外界發(fā)生作用，使孤立系統(tǒng)的能量不具有確定的數(shù)值E而是在E附近的一個(gè)狹窄的范圍內(nèi)，或者說(shuō)在E到E+ΔE之間．ΔE/E<<1第37頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一這微弱的相互作用ΔE

對(duì)系統(tǒng)微觀狀態(tài)的變化卻產(chǎn)生巨大的影響：在給定的宏觀條件下，宏觀量是相應(yīng)微觀量在一切可能的滿足給定宏觀條件的微觀狀態(tài)上的平均值。系統(tǒng)從某一初態(tài)出發(fā)沿正則方程確定的軌道運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間后，外界的作用使系統(tǒng)躍遷到E到E＋ΔE內(nèi)的另一狀態(tài)而沿正則方程確定的另一軌道運(yùn)動(dòng)。這樣的過(guò)程不斷發(fā)生，使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)發(fā)生極其復(fù)雜的變化。2)宏觀量與微觀量的關(guān)系§9.2微正則分布第38頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一表示(一個(gè)系統(tǒng))微觀狀態(tài)處在相空間各區(qū)域的概率總和為1。經(jīng)典理論中，取相空間中體積元將簡(jiǎn)記為：t

時(shí)刻系統(tǒng)微觀狀態(tài)處在dΩ內(nèi)的概率為……分布函數(shù)已經(jīng)歸一化！根據(jù)統(tǒng)計(jì)物理的觀點(diǎn)，與微觀量B(q,p)相應(yīng)的宏觀物理量§9.2微正則分布第39頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Gibbs提出：“原來(lái)我們討論的只是一個(gè)系統(tǒng)隨時(shí)間

的演化過(guò)程，現(xiàn)在我們改為同時(shí)討論大量的結(jié)構(gòu)

相同的N

個(gè)系統(tǒng)，這N個(gè)系統(tǒng)雖然相似，但卻處

在各個(gè)不同的微觀狀態(tài)之中，我們把這N個(gè)系統(tǒng)

的集合叫作統(tǒng)計(jì)系綜”。3)統(tǒng)計(jì)系綜[定義]統(tǒng)計(jì)系綜是指與原來(lái)的系統(tǒng)處在完全相同宏觀條件下的，想象的大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)的集合．這些系統(tǒng)具有完全相同的哈密頓，但處在各自不同的微觀狀態(tài)之中。上式中，追蹤一個(gè)系統(tǒng)從時(shí)間上求平均十分困難。§9.2微正則分布第40頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.2微正則分布吉布斯(JosiahWillardGibbs，1839-1903)，美國(guó)物理學(xué)家。1858年畢業(yè)于耶魯大學(xué)，接著攻讀該大學(xué)的研究生課程。1863年取得美國(guó)首批博士學(xué)位，留校講授拉丁文和自然哲學(xué)。1866年至1869年去歐洲進(jìn)修，回國(guó)后一直在耶魯(Yale)

大學(xué)任教。1871年被任命為數(shù)理教授。第41頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.2微正則分布1902年吉布斯發(fā)表了巨著《統(tǒng)計(jì)力學(xué)的基本原理》，創(chuàng)立了統(tǒng)計(jì)系綜的方法，建立起經(jīng)典平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的系統(tǒng)理論，對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)給出了適用任何宏觀物體的最徹底、最完整的形式。吉布斯在光學(xué)和電磁理論的研究上也有建樹(shù)，并為此建立了矢量分析的方法。吉布斯被美國(guó)科學(xué)院以及歐洲14個(gè)科學(xué)機(jī)構(gòu)選為院士或通訊院士，并接受過(guò)一些名譽(yù)學(xué)銜和獎(jiǎng)賞。1880年他榮獲美國(guó)最高科學(xué)獎(jiǎng)--冉福特獎(jiǎng)(RumfordPrize)。Gibbs'scientificcareercanbedividedintofourphases.Upuntil1879,heworkedonthetheoryofthermodynamics.From1880to1884,heworkedonthefieldofvectoranalysis.From1882to1889,heworkedonOpticsandthetheoryoflight.After1889,heworkedontextbooksonstatisticalmechanics.第42頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.2微正則分布統(tǒng)計(jì)系綜所包含的大量的系統(tǒng)中，在時(shí)刻t運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處在dΩ范圍內(nèi)的系統(tǒng)數(shù)將與成正比。如果在時(shí)刻t，從統(tǒng)計(jì)系綜中任意選取一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)處在dΩ范圍的概率為的系綜理解：微觀量B在統(tǒng)計(jì)系綜上的平均值---系綜平均值。相應(yīng)地，對(duì)于量子系統(tǒng)，有：第43頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.2微正則分布系綜平均值B(t)根本問(wèn)題是確定系綜分布函數(shù)ρ第44頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.2微正則分布二、統(tǒng)計(jì)系綜研究孤立系統(tǒng)的討論1研究對(duì)象:孤立系統(tǒng)(N,V,E)為參量的系統(tǒng)。2系綜的分布函數(shù)ρ平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的宏觀量不隨時(shí)間改變?chǔ)驯夭伙@含時(shí)間第45頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.2微正則分布劉維爾定理系統(tǒng)從初態(tài)出發(fā)沿正則方程確定的軌道運(yùn)動(dòng)，概率密度是不隨時(shí)間改變的常數(shù)．受外界作用發(fā)生躍遷后,系統(tǒng)沿E到E+ΔE內(nèi)的另一軌道運(yùn)動(dòng)，概率密度仍然是不隨時(shí)間改變的常數(shù)．不同軌道的常數(shù)概率密度是否相同?-----劉維爾定理不能回答!第46頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.2微正則分布3微正則分布

假設(shè)E

到E+ΔE

內(nèi)一切軌道的常數(shù)概率密度都相等，則在E到E+ΔE能量范圍的所有可能的微觀狀態(tài)上概率密度就都相等，是不隨時(shí)間改變的常數(shù)。這就是等概率原理，也稱為微正則分布。等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基本假設(shè)經(jīng)典表達(dá)式量子表達(dá)式第47頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.2微正則分布三、微正則分布的微觀態(tài)數(shù)1把經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理解為量子統(tǒng)計(jì)的經(jīng)典極限,那么對(duì)于N

個(gè)自由度為r的全同粒子組成的系統(tǒng)，在能量范圍E~E+ΔE范圍內(nèi)的系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)2

對(duì)于多種粒子的系統(tǒng)i種粒子:自由度為ri;粒子數(shù)Ni第48頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.2微正則分布3系綜理論的宏觀量計(jì)算與以前方法的區(qū)別以前方法：

最概然分布下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果系綜理論：

所有可能的微觀狀態(tài)上的平均值說(shuō)明：二者差別很小!當(dāng)相對(duì)漲落很小時(shí)，即概率分布必然是具有非常陡的極大值的分布函數(shù)，微觀量的最概然值和平均值是相等的。第49頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1&§9.2小結(jié)§9.1相空間劉維爾定理§9.2微正則分布小結(jié)Chap.9系綜理論研究互作用粒子組成的系統(tǒng)．統(tǒng)計(jì)系綜:是指與原來(lái)的系統(tǒng)處在完全相同宏觀條件下的，想象的大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)的集合．這些系統(tǒng)具有完全相同的哈密頓，但處在各自不同的微觀狀態(tài)之中。第50頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一劉維爾定理(Liouville’stheorem)

設(shè)想大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)獨(dú)立地沿著正則方程(9.1.1)所規(guī)定的軌道運(yùn)動(dòng).（9.1.1）這些系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)將在相空間中形成一個(gè)分布．§9.1&§9.2小結(jié)2、劉維爾定理如果一個(gè)代表點(diǎn)沿著正則方程所確定的軌道在相空間中運(yùn)動(dòng)，其鄰域的代表點(diǎn)密度是不隨時(shí)間改變的常數(shù)。ρdΩ表示時(shí)刻t，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在dΩ內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù)第51頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.1&§9.2小結(jié)微正則分布處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，假設(shè)E到E+ΔE內(nèi)一切軌道的常數(shù)概率密度都相等，則在E到E+ΔE能量范圍的所有可能的微觀狀態(tài)上概率密度就都相等，是不隨時(shí)間改變的常數(shù)。這就是等概率原理，也稱為微正則分布。等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基本假設(shè)經(jīng)典表達(dá)式量子表達(dá)式基本假設(shè)！第52頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式一、微觀態(tài)數(shù)與熱力學(xué)幾率A(2)的微觀狀態(tài)數(shù)：Ω2(N2,E2,V2)1.微觀態(tài)數(shù)考慮一個(gè)孤立系統(tǒng)A(0)：它由微弱相互作用的兩個(gè)系統(tǒng)A(1)和A(2)組成。A(1)的微觀狀態(tài)數(shù)：Ω1(N1,E1,V1)系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù)：Ω(0)=Ω1(E1)Ω2(E2)第53頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式Ω(0)(E1,E2)＝Ω1(E1)Ω2(E2)Ω(0)(E1,E(0)-E1)＝Ω1(E1)Ω2(E(0)-E1)令(N1,V1)和(N2,V2)保持不變，(E1,E2)可以改變，但E1+E2=E(0)Ω(0)取決于E(0)在A(1)和A(2)之間的分配討論：最概然能量與熱平衡時(shí)的能量假設(shè)，當(dāng)時(shí)Ω(0)具有極大值：這意味著A(1)

具有能量，A(2)具有能量是一種最概然的能量分布;可以認(rèn)為

就是A(1)和A(2)達(dá)到熱平衡時(shí)分別具有的內(nèi)能。第54頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式2.的獲得系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù)Ω(0)=Ω1(E1)Ω2(E2)上式確定熱平衡時(shí)的。第55頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式3玻耳茲曼關(guān)系令對(duì)照熱力學(xué)公式這里的討論未涉及系統(tǒng)的具體性質(zhì)，適用于有相互作用的粒子組成的系統(tǒng)。第56頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式4平衡條件1)類似玻耳茲曼關(guān)系的推導(dǎo)，可有：定義：第57頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式2)α和γ的物理意義開(kāi)系第58頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式熱動(dòng)平衡條件：第59頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式5.k的確定將理論用到經(jīng)典理想氣體：上式的理解：★在經(jīng)典理想氣體中，分子的位置是互不相關(guān)的,一個(gè)分子出現(xiàn)在空間某一位置的概率與其它分子的位置無(wú)關(guān)；★一個(gè)分子處在體積為V的容器中，可能的微觀狀態(tài)數(shù)與V成正比;★N個(gè)分子處在體積為V的容器中，可能的微觀狀態(tài)數(shù)將與VN

成正比．第60頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式對(duì)比理想氣體狀態(tài)方程可知：k等于玻耳茲曼常數(shù)!第61頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式二、利用微正則分布求解孤立系統(tǒng)基本問(wèn)題的方法和步驟內(nèi)能、熵、物態(tài)方程都表為T(mén)、V、N的函數(shù)。第62頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式三、應(yīng)用：利用微正則分布處理單原子分子理想氣體以單原子經(jīng)典理想氣體為例：設(shè)氣體含有N個(gè)單原子分子首先計(jì)算能量不大于某一數(shù)值E的微觀狀態(tài)數(shù)第63頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式等于3N

維空間中半徑為1的球體積(?)第64頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式第65頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式忽略最后一項(xiàng)S是廣延量最后一項(xiàng)除以前幾項(xiàng)，與lnN/N成正比，lnN<<N，當(dāng)N→∞時(shí)可略。能殼寬度△E對(duì)S無(wú)影響△E~0不切實(shí)際,S~-∞第66頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式第67頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式第68頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式第69頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式附：3N維空間中半徑為1的球體積(理想氣體)K=?一種算法：另一種算法：第70頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式N為正整數(shù)時(shí)，有第71頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式附：3N維空間中半徑為1的球體積(理想氣體)一種算法：另一種算法：第72頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式小結(jié)§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式小結(jié)一、微觀態(tài)數(shù)與熱力學(xué)幾率1.微觀態(tài)數(shù)孤立系統(tǒng)A(0)＝A(1)＋A(2)A(1)和A(2)有微弱相互作用A(1)：Ω1(N1,E1,V1)；A(2)：Ω2(N2,E2,V2)系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù)：Ω(0)=Ω1(E1)Ω2(E2)是A(1)和A(2)達(dá)到熱平衡時(shí)分別具有的內(nèi)能，由下式確定：2.確定內(nèi)能的條件第73頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式小結(jié)3玻耳茲曼關(guān)系適用于有相互作用的粒子組成的系統(tǒng)！定義：4平衡條件熱動(dòng)平衡條件：k的確定：將理論用到經(jīng)典理想氣體可知，k等于玻耳茲曼常數(shù)!第74頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式小結(jié)二、利用微正則分布求解孤立系統(tǒng)基本問(wèn)題的方法和步驟內(nèi)能、熵、物態(tài)方程都表為T(mén)、V、N的函數(shù)。第75頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式小結(jié)三、應(yīng)用：利用微正則分布處理單原子分子理想氣體以單原子經(jīng)典理想氣體為例：設(shè)氣體含有N個(gè)單原子分子首先計(jì)算能量不大于某一數(shù)值E的微觀狀態(tài)數(shù)第76頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式小結(jié)第77頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一新課：§9.10巨正則分布§9.10巨正則分布微正則分布:具有確定的粒子數(shù)N、體積V和內(nèi)能E的系統(tǒng)(孤立系N,V,E)的分布函數(shù)正則分布:具有確定的粒子數(shù)N、體積V和溫度T的

系統(tǒng)(閉系N,V,T)的分布函數(shù)巨正則分布：本節(jié)討論具有確定的體積V、溫度T和化學(xué)勢(shì)μ的系統(tǒng)(開(kāi)系V,T,μ)的分布函數(shù)—巨正則分布第78頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.10巨正則分布討論巨正則分布的必要性在有些實(shí)際問(wèn)題中系統(tǒng)的粒子數(shù)N

不具有確定值.例如與熱源和粒子源接觸而達(dá)到平衡的系統(tǒng)，系統(tǒng)與源不僅可以交換能量，而且可以交換粒子，因此在系統(tǒng)的各個(gè)可能的微觀狀態(tài)中，其粒子數(shù)和能量可具有不同的數(shù)值．[注]

源很大,交換能量和粒子不會(huì)改變?cè)吹臏囟群突瘜W(xué)勢(shì),達(dá)到平衡后系統(tǒng)將與源具有相同的溫度和化學(xué)勢(shì).第79頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.10巨正則分布1.研究對(duì)象:巨正則系綜系統(tǒng)A和源A

r合起來(lái)構(gòu)成一個(gè)復(fù)合系統(tǒng)A(0)．復(fù)合系統(tǒng)是孤立系統(tǒng):具有確定的粒子數(shù)N(0)和能量E(0)。2.巨正則系綜的幾率分布函數(shù)和配分函數(shù)E+Er=E(0)N+Nr=N(0)這里E<<E(0)N<<N(0)第80頁(yè)，共97頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§9.10巨正則分布系統(tǒng)處在微觀狀態(tài)s:(N、Es)源可處在(N(0)-N、E(0)-Es)的任何一個(gè)微觀狀態(tài)根據(jù)等幾率原理，系統(tǒng)具有粒子數(shù)N，處在微觀狀態(tài)s的概率ρNs∝Ωr(N(0)-N,E(