地球橢球與橢球計(jì)算理論

地球橢球與橢球計(jì)算理論第1頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一本章提要

本章講述地球橢球與參考橢球的概念，進(jìn)而介紹橢球的基本幾何參數(shù)，基本坐標(biāo)系及其相互關(guān)系。同時(shí)，講述橢球面同地面之間的關(guān)系，如何將地面觀測元素（水平方向及斜距等）歸算至橢球面上。在對(duì)本章的學(xué)習(xí)中，要建立起空間的概念，只有建立了地球橢球的這些基本空間概念后，才能更好地學(xué)習(xí)控制測量的內(nèi)業(yè)數(shù)據(jù)處理等相關(guān)知識(shí)。

第2頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一1．地球橢球的定義及其幾何意義；2．常用測量坐標(biāo)系統(tǒng)的建立及其在控制測量中的應(yīng)用；3．各種測量坐標(biāo)系統(tǒng)之間的相互轉(zhuǎn)換；4．橢球面上幾種曲率、弧長、大地線的計(jì)算；5．地面測量值（水平方向和邊長）歸算到橢球面的方法。[知識(shí)點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求][難點(diǎn)]在對(duì)本章的學(xué)習(xí)中，有大量的公式推導(dǎo)與應(yīng)用。各種常用測量坐標(biāo)系統(tǒng)的建立與相互轉(zhuǎn)換；幾種常用的橢球計(jì)算公式；地面觀測值歸算到橢球面的方法與計(jì)算。

返回本章首頁第3頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一6.1地球橢球的基本幾何參數(shù)及其相互關(guān)系1.地球橢球的基本幾何參數(shù)地球橢球：在控制測量中，用來代表地球的橢球，它是地球的數(shù)學(xué)模型。參考橢球：具有一定幾何參數(shù)、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準(zhǔn)面的地球橢球。地面上一切觀測元素都應(yīng)歸算到參考橢球面上，并在這個(gè)面上進(jìn)行計(jì)算。參考橢球面是大地測量計(jì)算的基準(zhǔn)面，同時(shí)又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。地球橢球的幾何定義：O是橢球中心，ＮＳ為旋轉(zhuǎn)軸，a為長半軸，b為短半軸。子午圈：包含旋轉(zhuǎn)軸的平面與橢球面相截所得的橢圓。赤道：通過橢球中心的平行圈地球橢球第4頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一地球橢球的五個(gè)基本幾何參數(shù)：橢圓的長半軸橢圓的短半軸b橢圓的扁率

橢圓的第一偏心率橢圓的第二偏心率

其中、b稱為長度元素；扁率反映了橢球體的扁平程度。偏心率和是子午橢圓的焦點(diǎn)離開中心的距離與橢圓半徑之比，它們也反映橢球體的扁平程度，偏心率愈大，橢球愈扁。兩個(gè)常用的輔助函數(shù)，

第一基本緯度函數(shù)，

第二基本緯度函數(shù)：第5頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一我國建立1954年北京坐標(biāo)系應(yīng)用的是克拉索夫斯基橢球；建立1980年國家大地坐標(biāo)系應(yīng)用的是1975年國際橢球；而全球定位系統(tǒng)(GPS)應(yīng)用的是WGS-84系橢球參數(shù)。2008年7月1日啟用2000國家大地坐標(biāo)系。幾種常見的橢球體參數(shù)值克拉索夫斯基橢球體1975年國際橢球體WGS-84橢球體6378245.0000000000(m)6356863.0187730473(m)6399698.9017827110(m)1／298.30.0066934216229660.0067385254146836378140.000000000（m）6356755.288157528（m）6399596.6519880105（m）1／298.2570.0066943849995880.0067395018194736378137.0000000000(m)6356752.3142（m）6399593.6258（m）1/298.2572235630.00669437990130.00673949674227第6頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一原點(diǎn)：包括海洋和大氣的整個(gè)地球的質(zhì)量中心；

定向：初始定向由1984.0時(shí)BIH（國際時(shí)間局）定向給定；是右手地固直角坐標(biāo)系。原點(diǎn)在地心；Z軸為國際地球旋轉(zhuǎn)局（IERS）參考極（IRP）方向，X軸為IERS的參考子午面（IRM）與垂直于Z軸的赤道面的交線，

Y軸與Z軸和X軸構(gòu)成右手正交坐標(biāo)系。

參考橢球：采用2000參考橢球，其定義常數(shù)是：

長半軸：a

=

6378137ｍ

扁率：f＝1/298.257222101地球（包括大氣）引力常數(shù)：GM

=

3.986004418×1014m3s-2

地球動(dòng)力形狀因子：J2

=

0.001082629832258

地球旋轉(zhuǎn)速度：ω

=

7.292115×10-5rads-1

正常橢球與參考橢球一致。

2000中國大地坐標(biāo)系（China

Geodetic

Coordinate

System

2000，簡稱CGCS2000）。參考?xì)v元為2000.0，其定義為：第7頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一2.地球橢球參數(shù)間的相互關(guān)系其他元素之間的關(guān)系式如下：式中，c極曲率半徑，W第一基本緯度函數(shù)，V第二基本緯度函數(shù)。返回本章首頁第8頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一6.2橢球面上的常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系1.大地坐標(biāo)系p點(diǎn)的子午面NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角L，叫做p點(diǎn)的大地經(jīng)度，由起始子午面起算，向東為正，叫東經(jīng)（0°～180°），向西為負(fù)，叫西經(jīng)（0°～180°）。P

點(diǎn)的法線與赤道面的夾角B，叫做P點(diǎn)的大地緯度。由赤道面起算，向北為正，叫北緯（0°～90°）；向南為負(fù)，叫南緯(0°～90°)。第9頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一大地坐標(biāo)系是用大地經(jīng)度L、大地緯度B和大地高H表示地面點(diǎn)位的。過地面點(diǎn)P的子午面與起始子午面間的夾角叫P點(diǎn)的大地經(jīng)度。由起始子午面起算，向東為正，叫東經(jīng)（0°-180°），向西為負(fù)，叫西經(jīng)（0°-180°）。過P點(diǎn)的橢球法線與赤道面的夾角叫P點(diǎn)的大地緯度。由赤道面起算，向北為正，叫北緯（0-90°），向南為負(fù)，叫南緯（0°-90°）。從地面點(diǎn)P沿橢球法線到橢球面的距離叫大地高。大地坐標(biāo)坐標(biāo)系中，點(diǎn)的位置用,表示。如果點(diǎn)不在橢球面上，表示點(diǎn)的位置除,外，還要附加另一參數(shù)——大地高，它同正常高及正高有如下關(guān)系第10頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一2.空間直角坐標(biāo)系以橢球體中心O

為原點(diǎn)，起始子午面與赤道面交線x為軸，在赤道面上與X

軸正交的方向?yàn)閅軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，構(gòu)成右手坐標(biāo)系O—XYZ，在該坐標(biāo)系中，p點(diǎn)的位置用X,Y,Z表示。地球空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于地球質(zhì)心（地心坐標(biāo)系）或參考橢球中心（參心坐標(biāo)系），Z

軸指向地球北極，x

軸指向起始子午面與地球赤道的交點(diǎn)，y

軸垂直于XOZ

面并構(gòu)成右手坐標(biāo)系。第11頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一3.子午面直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)p的大地經(jīng)度L為，在過p點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立x,y平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，p點(diǎn)的位置用L,x,y

表示。

4

.大地極坐標(biāo)系

M為橢球體面上任意一點(diǎn)，MN為過M點(diǎn)的子午線，S

為連結(jié)的大地線長，A

為大地線在M

點(diǎn)的方位角。以M

為極點(diǎn)，MN

為極軸，S為極半徑，A為極角，這樣就構(gòu)成大地極坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中p

點(diǎn)的位置用S,A

表示。橢球面上點(diǎn)的極坐標(biāo)（S,A）與大地坐標(biāo)(L,B）可以互相換算，這種換算叫做大地主題解算。第12頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一5.

各坐標(biāo)系間的關(guān)系

橢球面上的點(diǎn)位可在各種坐標(biāo)系中表示，由于所用坐標(biāo)系不同，表現(xiàn)出來的坐標(biāo)值也不同。1）子午面直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系過p點(diǎn)作法線，它與x軸之夾角為B，過點(diǎn)作子午圈的切線TP，它與x

軸的夾角為（90°+B）。子午面直角坐標(biāo)x,y同大地緯度B

的關(guān)系式如下：第13頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一2）空間直角坐標(biāo)系同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系空間直角坐標(biāo)系中的相當(dāng)于子午平面直角坐標(biāo)系中的y，前者的相當(dāng)于后者的，并且二者的經(jīng)度L相同。第14頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一3）空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系同一地面點(diǎn)在地球空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和在大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可用如下兩組公式轉(zhuǎn)換式中：e——子午橢圓第一偏心率，可由長短半徑按式算得。N——法線長度，可由式算得。返回本章首頁第15頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一6.3幾種主要的橢球公式過橢球面上任意一點(diǎn)可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫做法截面，法截面同橢球面交線叫法截線（或法截?。?。包含橢球面一點(diǎn)的法線，可作無數(shù)多個(gè)法截面，相應(yīng)有無數(shù)多個(gè)法截線。橢球面上的法截線曲率半徑不同于球面上的法截線曲率半徑都等于圓球的半徑，而是不同方向的法截弧的曲率半徑都不相同。1.子午圈曲率半徑子午橢圓的一部分上取一微分弧長，相應(yīng)地有坐標(biāo)增量，點(diǎn)n是微分弧的曲率中心，于是線段及便是子午圈曲率半徑M。第16頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一任意平面曲線的曲率半徑的定義公式為：子午圈曲率半徑公式為：或與緯度有關(guān)．它隨的增大而增大，變化規(guī)律如下表所示：說明

在赤道上，小于赤道半徑此間隨緯度的增大而增大在極點(diǎn)上,等于極點(diǎn)曲率半徑

第17頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一2.卯酉圈曲率半徑過橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無限個(gè)法截面，其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。在圖中即為過Ｐ點(diǎn)的卯酉圈。卯酉圈的曲率半徑用Ｎ表示。為了推導(dǎo)Ｎ的表達(dá)計(jì)算式，過Ｐ點(diǎn)作以為中心的平行圈ＰＨＫ的切線ＰＴ，該切線位于垂直于子午面的平行圈平面內(nèi)。因卯酉圈也垂直于子午面，故ＰＴ也是卯酉圈在Ｐ點(diǎn)處的切線。即ＰＴ垂直于。所以ＰＴ是平行圈ＰＨＫ及卯酉圈在Ｐ點(diǎn)處的公切線。卯酉圈曲率半徑可用下列兩式表示：第18頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一3.

任意法截弧的曲率半徑子午法截弧是南北方向，其方位角為0°或180°。卯酉法截弧是東西方向，其方位角為90°或270°?，F(xiàn)在來討論方位角為Ａ的任意法截弧的曲率半徑的計(jì)算公式。任意方向Ａ的法截弧的曲率半徑的計(jì)算公式如下：4.

平均曲率半徑在實(shí)際際工程應(yīng)用中，根據(jù)測量工作的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當(dāng)成具有適當(dāng)半徑的球面。取過地面某點(diǎn)的所有方向的平均值來作為這個(gè)球體的半徑是合適的。這個(gè)球面的半徑——平均曲率半徑R：或因此，橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑Ｒ等于該點(diǎn)子午圈曲率半徑Ｍ和卯酉圈曲率半徑Ｎ的幾何平均值。第19頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一5.子午線弧長計(jì)算公式子午橢圓的一半，它的端點(diǎn)與極點(diǎn)相重合；而赤道又把子午線分成對(duì)稱的兩部分。如下圖所示，取子午線上某微分弧，令Ｐ點(diǎn)緯度為Ｂ，點(diǎn)緯度為，Ｐ點(diǎn)的子午圈曲率半徑為Ｍ，于是有：從赤道開始到任意緯度Ｂ的平行圈之間的弧長可由下列積分求出：式中M可用下式表達(dá)：第20頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一其中：經(jīng)積分，進(jìn)行整理后得子午線弧長計(jì)算式：為求子午線上兩個(gè)緯度及間的弧長，只需按上式分別算出相應(yīng)的及，而后取差：，該即為所求的弧長。第21頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一克拉索夫斯基橢球子午線弧長計(jì)算公式：1975年國際橢球子午線弧長計(jì)算公式：第22頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一6.

底點(diǎn)緯度計(jì)算在高斯投影反算時(shí)，已知高斯平面直角坐標(biāo)（X，Y）反求其大地坐標(biāo)（L，B）。首先X當(dāng)作中央子午線上弧長，反求其緯度，此時(shí)的緯度稱為底點(diǎn)緯度或垂直緯度。計(jì)算底點(diǎn)緯度的公式可以采用迭代解法和直接解法。（1）迭代法在克拉索夫斯基橢球上計(jì)算時(shí)，迭代開始時(shí)設(shè)以后每次迭代按下式計(jì)算：重復(fù)迭代直至為止。在1975年國際橢球上計(jì)算時(shí)，也有類似公式。第23頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一（2）直接解法1975年國際橢球：克拉索夫斯基橢球：第24頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一7.

大地線橢球面上兩點(diǎn)間的最短程曲線叫做大地線。在微分幾何中，大地線（又稱測地線）另有這樣的定義：“大地線上每點(diǎn)的密切面（無限接近的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的平面）都包含該點(diǎn)的曲面法線”，亦即“大地線上各點(diǎn)的主法線與該點(diǎn)的曲面法線重合”。因曲面法線互不相交，故大地線是一條空間曲面曲線。假如在橢球模型表面Ａ,Ｂ兩點(diǎn)之間，畫出相對(duì)法截線如圖所示，然后在Ａ,Ｂ兩點(diǎn)上各插定一個(gè)大頭針，并緊貼著橢球面在大頭針中間拉緊一條細(xì)橡皮筋，并設(shè)橡皮筋和橢球面之間沒有摩擦力，則橡皮筋形成一條曲線，恰好位于相對(duì)法截線之間，這就是一條大地線。由于橡皮筋處于拉力之下，所以它實(shí)際上是兩點(diǎn)間的最短線。在橢球面上進(jìn)行測量計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)以兩點(diǎn)間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，應(yīng)當(dāng)歸算成相應(yīng)大地線的方向、距離。返回本章首頁第25頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一6.4將地面觀測值歸算至橢球面1.概述參考橢球面是測量計(jì)算的基準(zhǔn)面。在野外的各種測量都是在地面上進(jìn)行，觀測的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線存在著垂線偏差。因此不能直接在地面上處理觀測成果，而應(yīng)將地面觀測元素（包括方向和距離等）歸算至橢球面。在歸算中有兩條基本要求：以橢球面的法線為基準(zhǔn)；將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。第26頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一2.將地面觀測的水平方向歸算至橢球面（三差改正）1)垂線偏差改正地面上所有水平方向的觀測都是以垂線為根據(jù)的，而在橢球面上則要求以該點(diǎn)的法線為依據(jù)。把以垂線為依據(jù)的地面觀測的水平方向值歸算到以法線為依據(jù)的方向值而應(yīng)加的改正定義為垂線偏差改正，以表示。如下圖所示，以測站Ａ為中心作出單位半徑的輔助球，是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以表示，M是地面觀測目標(biāo)m在球面上的投影。第27頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一垂線偏差改正的計(jì)算公式是：式中：為測站點(diǎn)上的垂線偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它們可在測區(qū)的垂線偏差分量圖中內(nèi)插取得；為測站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角；為照準(zhǔn)點(diǎn)的天頂距；為照準(zhǔn)點(diǎn)的垂直角。垂線偏差改正的數(shù)值主要與測站點(diǎn)的垂線偏差和觀測方向的天頂距（或垂直角）有關(guān)。第28頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一2)標(biāo)高差改正標(biāo)高差改正又稱由照準(zhǔn)點(diǎn)高度而引起的改正。不在同一子午面或同一平行圈上的兩點(diǎn)的法線是不共面的。當(dāng)進(jìn)行水平方向觀測時(shí)，如果照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面某一高度，則照準(zhǔn)面就不能通過照準(zhǔn)點(diǎn)的法線同橢球面的交點(diǎn)，由此引起的方向偏差的改正叫做標(biāo)高差改正，以表示。如右圖所示，A為測站點(diǎn)，如果測站點(diǎn)觀測值已加垂線偏差改正，則可認(rèn)為垂線同法線一致。這時(shí)測站點(diǎn)在橢球面上或者高出橢球面某一高度，對(duì)水平方向是沒有影響的。這是因?yàn)闇y站點(diǎn)法線不變，則通過某一照準(zhǔn)點(diǎn)只能有一個(gè)法截面。第29頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面的高程為和分別為A點(diǎn)及B點(diǎn)的法線，B點(diǎn)法線與橢球面的交點(diǎn)為b。因?yàn)橥ǔ：筒辉谕黄矫鎯?nèi)，所以在A點(diǎn)照準(zhǔn)B點(diǎn)得出的法截線是而不是，因而產(chǎn)生了同方向的差異。按歸算的要求，地面各點(diǎn)都應(yīng)沿自己法線方向投影到橢球面上，即需要的是方向值而不是方向值，因此需加入標(biāo)高差改正數(shù)，以便將方向改到方向。第30頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)高差改正的計(jì)算公式是式中：為照準(zhǔn)點(diǎn)大地緯度；為測站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角；為照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面的高程，它由三部分組成：其中為照準(zhǔn)點(diǎn)標(biāo)石中心的正常高，為高程異常，為照準(zhǔn)點(diǎn)的覘標(biāo)高，，是與照準(zhǔn)點(diǎn)緯度，是相應(yīng)的子午圈曲率半徑。標(biāo)高差改正主要與照準(zhǔn)點(diǎn)的高程有關(guān)。經(jīng)過此項(xiàng)改正后，便將地面觀測的水平方向值歸化為橢球面上相應(yīng)的法截弧方向。第31頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一3）截面差改正在橢球面上，緯度不同的兩點(diǎn)由于其法線不共面，所以在對(duì)向觀測時(shí)相對(duì)法截弧不重合，應(yīng)當(dāng)用兩點(diǎn)間的大地線代替相對(duì)法截弧。這樣將法截弧方向化為大地線方向應(yīng)加的改正叫截面差改正，用表示。如圖所示，是A至B的法截弧，它在A點(diǎn)處的大地方位角為，是AB間的大地線，它在A點(diǎn)的大地方位角是，與之差就是截面差改正。截面差改正的計(jì)算公式為第32頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一式中S為AB間大地線長度，，為測站點(diǎn)緯度相對(duì)應(yīng)的卯酉圈曲率半徑?，F(xiàn)令在一般情況下，一等三角測量應(yīng)加三差改正，二等三角測量應(yīng)加垂線偏差改正和標(biāo)高差改正，而不加截面差改正；三等和四等三角測量可不加三差改正。但當(dāng)時(shí)或者H>2000m時(shí)，則應(yīng)分別考慮加垂線偏差改正和標(biāo)高差改正。在特殊情況下，應(yīng)該根據(jù)測區(qū)的實(shí)際情況作具體分析，然后再做出加還是不加改正的規(guī)定。如下表所示：三差改正主要關(guān)系量是否要加改正一等二等三、四等垂線偏差加加酌情標(biāo)高差截面差不加第33頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一3.

電磁波測距邊長歸算橢球面電磁波測距儀測得的長度是連接地面兩點(diǎn)間的直線斜距，也應(yīng)將它歸算到參考橢球面上。如圖，大地點(diǎn)Q1和Q2的大地高分別為H1和H2。其間用電磁波測距儀測得的斜距為D，現(xiàn)要求大地點(diǎn)在橢球面上沿法線的投影點(diǎn)和間的大地線的長度S。在工程測量中邊長一般都是幾公里，最長也不過十幾公里，因此，所求的大地線的長度可以認(rèn)為是半徑相應(yīng)的圓弧長。電磁波測距邊長歸算橢球面上的計(jì)算公式為：式中第34頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一電磁波測距邊長歸算的幾何意義：（1）計(jì)算公式中右端第二項(xiàng)是由于控制點(diǎn)之高差引起的傾斜改正的主項(xiàng)，經(jīng)過此項(xiàng)改正，測線已變成平距；（2）第三項(xiàng)是由平均測線高出參考橢球面而引起的投影改正，經(jīng)此項(xiàng)改正后，測線已變成弦線；（3）第四項(xiàng)則是由弦長改化為弧長的改正項(xiàng)。顯然第一項(xiàng)即為經(jīng)高差改正后的平距。問題

算例見下表，用上述兩個(gè)公式計(jì)算將電磁波測距邊長歸算至橢球面上。已知返回本章首頁電磁波測距邊長歸算至橢球面上的計(jì)算公式還可用下式表達(dá)：第35頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一習(xí)題1．試寫出橢球的基本元素及其基本關(guān)系式。

2．在控制測量的橢球解算中，常引用下列符號(hào)：、、、，3．我國解放后主要采用哪兩種參考橢球?其主要參數(shù)是什么?4．繪圖并說明表示橢球面上點(diǎn)位的三種常用坐標(biāo)系統(tǒng)。5．在報(bào)紙上經(jīng)?？吹絏X號(hào)輪船在東經(jīng)XXX度，北緯XX度遇險(xiǎn)一6．寫出參考橢球體的五個(gè)基本元素及相互間的關(guān)系。7．什么叫子午圈？什么叫平行圈？8．參考橢球體扁率的變化，橢球體的形狀發(fā)生怎樣的變形？9．簡要說明并圖示地面某一點(diǎn)的大地高、正常高以及大地水準(zhǔn)面

差距的幾何意義。10．什么是大地測量的基本坐標(biāo)系？有何優(yōu)點(diǎn)？11．畫圖表示地心緯度坐標(biāo)系和歸化緯度坐標(biāo)系，這兩種坐標(biāo)系

在大地測量中有何意義？12．用公式表示空間直角坐標(biāo)系和大地坐標(biāo)系之間的關(guān)系。13．何為大地緯度、歸化緯度、地心緯度？三者間有何關(guān)系？試問它們之間函數(shù)關(guān)系的一個(gè)基本共同特點(diǎn)是什么？類的報(bào)導(dǎo)，試問這是指的什么坐標(biāo)系，為什么?第36頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一14．簡要敘述M、N、R

三種曲率半徑之間的關(guān)系。15．大地坐標(biāo)系和天文坐標(biāo)系各以什么作基準(zhǔn)面和基準(zhǔn)線？16．試推證卯酉圈、子午圈曲率半徑的計(jì)算公式。17．B≠00的平行圈是否有可能是法截線？為什么？18．卯酉圈曲率半徑N與子午圈曲率半徑M何時(shí)有最大值？何時(shí)有最小值？19，為什么說任意方向法截線曲率半徑隨A的變化是以900為周期的？這

一結(jié)論對(duì)橢球問題的解算有什么意義？20．什么是法線？什么是法截面？它們對(duì)橢球解算有什么意義？21．當(dāng)橢球元素確定之后，橢球面上任意方向法截線曲率半徑的計(jì)算值取決于哪兩個(gè)變量？為什么？22．已知?dú)W拉公式：23．研究平均曲率半徑R對(duì)橢球解算有何意義？在我國中緯度地區(qū)R與的最大差異是多少？試將它對(duì)距離化算（用R代替）的影響作一定量分析。

試由橢球基本元素及公式出發(fā)，用兩種方法導(dǎo)出計(jì)算任意方向法截線曲率半徑的公式和平均曲率半徑R的公式。

第37頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一24．在推導(dǎo)計(jì)算子午線弧長公式時(shí)，為什么要從赤道起算？若欲求緯度B1和B2間的子午線弧長(≠0°)，如何計(jì)算？25．當(dāng)子午線弧長不超過45km時(shí)，則可將其視為圓弧，試論證其計(jì)算精度的可靠性。26．何謂橢球面上的相對(duì)法截線和大地線？試鑒別下列各線是否為大地線并簡要說明理由：(1)任意方向法截線，(2)子午圈，(3)卯酉圈，(4)平行圈。27．試證明橢球面上過任一點(diǎn)P(B、L，B≠0)的任一方向的法截線只有子午線是大地線，而平行圈為什么不是大地線？若為球面，情況又如何？28．研究相對(duì)法截線有何意義？畫出某方向在不同象限時(shí)正反法截線的關(guān)系圖。29．什么叫大地線？為什么可以用大地線代替法截線？大地線具有什么性質(zhì)？30．大地線微分方程表達(dá)了什么之間的關(guān)系？有何意義？試述其推導(dǎo)思路。31．怎樣理解克萊洛定理中大地線常數(shù)C的含義？第38頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一32．試述三差改正的幾何意義。為什么有時(shí)在三角測量工作中可以不考慮三差改正？33．三差改正的改正數(shù)大小，各與什么有關(guān)？34．解釋下列名詞：大地水準(zhǔn)面，參考橢球，大地線，法截線，大地經(jīng)緯度35．已知橢球面上一點(diǎn)P的空間直角坐標(biāo)X、Y、Z。試求：(1)該點(diǎn)的大地坐標(biāo)(B、L)；(2)該點(diǎn)的平行圈半徑，主曲率半徑M與N；(3)該點(diǎn)上大地方位角為A的方向上的法截弧曲率半徑。36．在邊長大致相等的三角網(wǎng)中，各方向的方向改正值是否也大致相等？為什么？37．什么是拉普拉斯方程式？在大地測量中有何意義？38．為什么說通過比較一點(diǎn)的天文經(jīng)緯度和大地經(jīng)緯度，可以求出該點(diǎn)的垂線偏差?試?yán)L圖導(dǎo)出垂線偏差的計(jì)算公式?39．圖示垂線偏差對(duì)觀測天頂距的影響。第39頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一40．試定量分析距離改正公式在何種情況下需用下列或更精密的計(jì)算公式：41．將地面實(shí)測長度歸化到國家統(tǒng)一的橢球面上，其改正數(shù)應(yīng)用下式求得：式中H應(yīng)為邊長所在高程面相對(duì)于橢球面的高差，而實(shí)際作業(yè)中通常用什么數(shù)值替代？這對(duì)的計(jì)算精度是否有影響？為什么？42．根據(jù)垂直角將導(dǎo)線測量中的斜距化為平距時(shí)，有化算至測站高程面以及化算至測站點(diǎn)與照準(zhǔn)點(diǎn)平均高程面上兩種公式，兩公式之間有何差異？試導(dǎo)出其差異的來源。43．導(dǎo)出由電磁波測距儀測得的斜距化算為大地線長度的計(jì)算公式。44．什么是球面角超？為什么應(yīng)用球面角超可以檢核方向改正值計(jì)算的正確性？第40頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一45．在北緯22°00′地區(qū)三角網(wǎng)中有一三角形ABC，已知?dú)w化到橢球面上的三個(gè)內(nèi)角為A=56°40′07.50″，B=83°13′49.00″，C=40°06′04.23“。并已知三角形三頂點(diǎn)的近似坐標(biāo)分別為，；，；，。試用兩種不同方法求出該三角形閉合差（在球面上計(jì)算時(shí)略去長度改化；注處）。46．什么叫大地主題解算？為什么要研究大地主題解算？其解析意義是什么？47．在推導(dǎo)正算公式和反算公式過程中主要運(yùn)用的是什么數(shù)學(xué)方法和原理？運(yùn)用的根據(jù)是什么？反算公式中的起什么作用？試根據(jù)正反算公式畫圖說明子午線和平行圈投影至平面后的形狀。第41頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一48．用電磁波測距儀測得地面傾斜距離為D，已知數(shù)據(jù)列于中。試求D

歸化到橢球面上的大地線長度S。符號(hào)已知數(shù)據(jù)符號(hào)計(jì)算數(shù)值(m)B130°16′H2-H1A1280°36′N1H12780.51mRAH22373.43mSD1794.106m第42頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一49．某橢球面三角形ABC，其平均緯度Bm=33°50′，起算邊長AC=b=47652.597m，三角形的三個(gè)內(nèi)角觀測值為=70°46′03.49″=65°05′15.01″=44°08′45.68″試解算橢球面三角形ABC。第43頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一附：1.電磁波測距邊歸化到橢球面上的計(jì)算示例：計(jì)算公式式中D——地面傾斜距離；

S——橢球面大地線長度；

H1，H2——大地高；

RA——沿觀測方向的曲率半徑。第44頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一已知數(shù)值：D=34884.181m，B1=30°33′，A12=129°35′，H1=3930.35m，H2=3879.54m。常數(shù)值：a=6378245me2=0.00669342e′2=0.00673852解：RA=6371440mS=34862.821m第45頁，共53頁，2023年，2月20日，星期一示例：下圖中ABC

為球面三角形，其球面角用，