定積分概念與性質(zhì)

定積分概念與性質(zhì)第1頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一0定積分概念與性質(zhì)第2頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一分割第3頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一取近似第4頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一求和取極限2.變速直線運動的路程第5頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（1）分割

第6頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（2）取近似第7頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一共同特性分割，取近似，求和，取極限(3)求和（4）取極限第8頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一二.定積分的定義1.定義第9頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第10頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第11頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一曲邊梯形的面積變速運動的路程定理1.設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且有有限個第一類間斷點,則f(x)在[a,b]上可積.注(1)定積分是一個數(shù)值與被積函數(shù)有關(guān)。(2)定積分的值與區(qū)間的分法無關(guān),2.定積分存在的充分條件(3)定積分的值只與區(qū)間長度有關(guān)，與的取法無關(guān)第12頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一3.定積分的幾何意義第13頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例1利用定積分的定義計算第14頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第15頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一三.定積分的性質(zhì)第16頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一對于c在區(qū)間[a,b]之內(nèi)或之外,結(jié)論同樣成立第17頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第18頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一幾何解釋：在[a,b]上至少存在一點,使曲邊梯形的面積等于以為高的一個矩形面積第19頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第20頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一定積分與原函數(shù)的關(guān)系一.變上限的定積分及其導(dǎo)數(shù)第21頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第22頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第23頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一定理表明:(1)連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)(2)把定積分與原函數(shù)之間建立起聯(lián)系二.牛頓-----萊布尼茲公式第24頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第25頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第26頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第四節(jié)定積分的換元積分法與分布積分法一.定積分的換元積分法注意:換元的同時一定要換限第27頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第28頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第29頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第30頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第31頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第32頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第33頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第34頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第35頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第36頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一二.定積分的分布積分法第37頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第38頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第39頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第40頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第41頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一定積分應(yīng)用定積分的微元分析法用定積分表示的量U必須具備三個特征:一.能用定積分表示的量所必須具備的特征(3)部分量的近似值可表示為二.微元分析法則U相應(yīng)地分成許多部分量;用定積分表示量U的基本步驟:(1)U是與一個變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量;(2)U對于區(qū)間[a,b]具有可加性.即如果把區(qū)[a,b]分成許多部分區(qū)間,第42頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)問題的具體情況,選取一個變量(2)在區(qū)間[a,b]內(nèi)任取一個小區(qū)間,求出相應(yīng)于這個小區(qū)間的部分量的近似值.在處的值與的乘積,就把稱為量U的微元且記作,即如果能近似地表示為[a,b]上的一個連續(xù)函數(shù)例如x為積分變量,并確定其變化區(qū)間[a,b];第43頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一(3)以所求量U的微元為被積表達(dá)式,在區(qū)間[a,b]上作定積分,得平面圖形的面積一直角坐標(biāo)情形1.曲邊梯形當(dāng)f(x)在[a,b]上連續(xù)時,由曲線y=f(x)和x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形面積就是第44頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一2.一般圖形以及兩條直線x=a,x=b之間的圖形的面積微元為如果函數(shù)在[a,b]上連續(xù),且則介于兩條曲線第45頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一注意:根據(jù)具體的圖形特點,也可以選擇作為積分變量或者利用圖形的對稱性簡化計算.例1求橢圓的面積(如圖).解由對稱性,橢圓的面積其中為橢圓在第一象限部分.xyoyxaboxx+dx則圖形的面積為第46頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一則例2求由所圍圖形面積.解兩拋物線的交點為(0,0)及(1,1).取x為積分變量,其變化區(qū)間為[0,1].由前面討論可知:(1,1)oyx第47頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例3求由所圍圖形面積.解兩曲線的交點為(2,-2)及(8,4).根據(jù)此圖形特點,可以選擇y作為積分變量,其變化區(qū)間為[-2,4].yx(2,-2)(8,4)圖形的面積微元為:從而可得圖形面積第48頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一二.極坐標(biāo)情形1.曲邊扇形其中r()在[,]上連續(xù),且r()0.相應(yīng)于[,+d]的面積微元為則圖形面積為or=r()設(shè)圖形由曲線r=r()及射線=,=所圍成.取為積分變量,其變化區(qū)間為[,],第49頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一2.一般圖形及射線=,=所圍圖形的面積微元為則面積為o相應(yīng)于從0到2的一段弧與極軸所圍圖形的面積.解如圖,可視為=0,=2及r=a圍成的曲邊扇形.則其面積為o由曲線例4求阿基米德螺線r=a(a>0)上第50頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一NoM例5求r=1與r=1+cos所圍公共面積.解如圖,曲線交點為由對稱性則而第51頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一三.參數(shù)方程情形當(dāng)曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方x=(t),y=(t),且()=a,()=b,在[,]上(t)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),(t)連續(xù),則曲邊梯形面積面積為在例1中,若采用橢圓的參數(shù)方程則第52頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一立體的體積一.平行截面面積已知的立體體積點x且垂直于x軸的截面面積.如圖,體積微元為dV=A(x)dx,則體積為例1如圖,從圓柱體上截下一塊楔形體,abx求其體積.取x為積分變量,其變化范圍為[a,b].設(shè)立體介于x=a,x=b之間,A(x)表示過第53頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一則邊長分別為y和ytan.因此如圖,過x的截面是直角三角形,解-RRyxoxy第54頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一xyoRh高為h的正劈錐體的體積.底邊長為2y,高為h.因此則過x的截面是等腰三角形,解如圖,例2求以圓為底,平行且等于底圓直徑的線段為頂,第55頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一稱為旋轉(zhuǎn)體.則如前所述,可求得截面面積二.旋轉(zhuǎn)體的體積則平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體設(shè)旋轉(zhuǎn)體由圖1的曲邊梯形繞x軸形成.yxaby=f(x)ox圖1第56頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一同理,如旋轉(zhuǎn)體由圖2的曲邊梯形繞y軸形成.ycoxdx=(y)例3求如圖直角三角形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的圓錐體的體積.解可求得過點O及P(h,r)的直線方程為由公式得yoxP(h,r)則體積為圖2圖3第57頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例4求星形線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積解由對稱性及公式aaxy第58頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例5求圓心在(b,0),半徑為a(b>a)的圓繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)狀體的體積.yxoba解圓的方程為,則所求體積可視為曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積之差.分別與直線y=-a,y=a及y軸所圍成的則第59頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例證明：由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為柱殼法——就是把旋轉(zhuǎn)體看成是以y軸為中心軸的一系列圓柱形薄殼組成的，即為圓柱薄殼當(dāng)dx很小時，此小柱體的高看作f（x），以此柱殼的體積作為體積元素，第60頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一在區(qū)間上柱殼體的體積元素為平面曲線的弧長光滑曲線可應(yīng)用定積分求弧長.若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則稱曲線y=f(x)為區(qū)間[a,b]上的光滑曲線,第61頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一一.直角坐標(biāo)情形設(shè)光滑曲線方程:可用相應(yīng)的切線段近似代替.即則弧長微元(弧微分)故弧長為oyxdyabdxy=f(x)取x為積分變量,變化區(qū)間為[a,b].[a,b]內(nèi)任意小區(qū)間[x,x+dx]的一段弧長第62頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例1求曲線相應(yīng)于x從a到b的一段弧長.解第63頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例2求的全弧長.解y=y(x)的定義域為,故弧長為:二.參數(shù)方程情形設(shè)光滑曲線方程:弧長微元則如前所述,第64頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例4求星形線的弧長.解由對稱性及公式第65頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例4求阿基米德螺線r=a(a>0)上相應(yīng)于從0到2的一段弧長.解三.極坐標(biāo)情形設(shè)曲線方程:r=r()().化為參數(shù)方程:則第66頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一定積分的物理應(yīng)用一.變力沿直線作功若物體在常力F作用下沿F方向移動s距離,.由x=a移到x=b,可用微元法解決做功問題.dW=F(x)dx則F(x)abxx+dx則W=Fs若物體在變力F(x)作用下沿力的方向取x為積分變量,變化區(qū)間為[a,b].相應(yīng)于任意小區(qū)間[x,x+dx]的功的微元第67頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一例1設(shè)9.8牛頓的力能使彈簧伸長1厘米,解從而由公式(焦耳)例2形如圓錐臺的水桶內(nèi)盛滿了水(如圖),解設(shè)想將水分成許多薄層,問將全部水吸出需作多少功?(水比重為9800牛頓/立方米)0yx13(3,2)xx+dx求伸長10厘米需作多少功?所以k=980.F=9.8牛頓,而x=0.01米時,已知F=kx,F=980x.吸出各層水所作的功的總和即為所求.第68頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一取x為積分變量,變化區(qū)間為則例3一桶水重10kg,由一條線密度0.1kg/m的0yx13(3,2)xx+dx因此功的微元吸出這層水的位移近似于x.的薄層水近似于圓柱,[0,2].相應(yīng)于任意小區(qū)間[x,x+dx]繩子系著,將它從20m深的井里提上來需作多少功?第69頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一解將水桶從井里提上來所作的功為將繩子從井里提上來所作的功,則所作的總功為xo20xx+dx即變力沿直線作的功為第70頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一二.靜液壓力設(shè)有一面積為A的平板,水平放置在液體下深度h處,則平板一側(cè)所受壓力為N=hA.(為液體比重)則平板一側(cè)所受壓力須用微元法解決.取x為積分變量,變化區(qū)間為[a,b].oxyabxx+dxy=f(x)近似于水深x處水平放置的長方形窄條所受的壓力.相應(yīng)于[x,x+dx]的窄條所受到的壓力如果平板垂直放置在液體下,以如圖曲邊梯形為例:第71頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一則壓力微元為dN=xydx=xf(x)dx因此整個平板所受壓力為例4一個橫放的半徑為R的圓柱形油桶內(nèi)有半桶油(比重)