6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼

多自由度系統(tǒng)振動

主講：殷玉楓教授太原科技大學機械電子工程學院2007-9-96多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼教學內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的自由振動頻率方程的零根和重根情形多自由度系統(tǒng)的受迫振動有阻尼的多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼頻率方程的零根和重根情形回顧：（1）兩個例子系統(tǒng)存在剛體運動，此時柔度矩陣F

不存在，剛度矩陣奇異。（2）多自由度系統(tǒng)的自由振動剛度矩陣半正定，，系統(tǒng)為半正定系統(tǒng)，此時存在f(

t)=at+b的剛體模態(tài)。即本節(jié)將討論的零固有頻率的情形m1m2k1k2m3多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼對于n

自由度系統(tǒng)：廣義特征值問題：有非零解的充要條件：若必有：K

為奇異矩陣是零固有頻率存在的充要條件，滿足此條件時系統(tǒng)的剛度矩陣K

是半正定的。結(jié)論：說明當半正定系統(tǒng)按剛體振型運動時，不發(fā)生彈性變形，因此不產(chǎn)生彈性恢復力。多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼假定系統(tǒng)中相應的主坐標方程：積分，得：a、b由初始條件決定表明此主振動為隨時間勻速增大的剛體位移系統(tǒng)的剛體自由度可以利用模態(tài)的正交性條件消除多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼設為零固有頻率對應的剛體位移模態(tài)正交性條件要求：其中，為系統(tǒng)的除剛體位移之外的其它模態(tài)設為與所對應的主坐標令：系統(tǒng)消除剛體位移后的自由振動可得約束條件：利用此約束條件可消去系統(tǒng)的一個自由度，得到不含剛體位移的縮減系統(tǒng)，縮減系統(tǒng)的剛度矩陣是非奇異的。右乘：多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼例：教材P100習題4.14（不考慮階梯力的作用）初始條件：求系統(tǒng)響應mmkkmkm多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形解：方法一動力方程:固有頻率:奇異矩陣6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼模態(tài)矩陣：正則模態(tài)：令：得：初始條件：多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形展開，得：6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼在正則坐標中分兩種情況求解（1）時運動方程：解：初始條件：得：所以：（2）時代入初始條件，可求得：多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼在正則模態(tài)中的響應：寫成矩陣：原物理空間的自由振動響應：多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼解：方法二：利用約束條件代入約束條件：代入方程，并整理：mmkkmkm多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形非奇異矩陣奇異矩陣6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼求得固有頻率：方法一：方法一：正則模態(tài)：多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼模態(tài)空間響應：初始條件：物理空間響應：第一個質(zhì)量塊的響應：多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼寫成矩陣形式：方法一結(jié)果：消除了剛體位移多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼頻率方程的重根情形在前面引入振型矩陣（或模態(tài)矩陣）的概念時，曾假設所有的特征值都是特征方程的單根。復雜的系統(tǒng)中會出現(xiàn)某些特征根彼此很接近甚至相等的情況例如，柔性航天結(jié)構(gòu)下面討論如何求出系統(tǒng)固有頻率出現(xiàn)重根時的相互正交的主振型問題多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼假使是r

重根即有：

其余的都是單根將代入特征值問題表達式：

特征矩陣的秩：即：n

個方程中只有n-r

個是獨立的例如當是單根時，r=1n

個方程中只有n–1個是獨立的多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形即

r=2為簡單計，令：則計算對應的模態(tài)時，中有2個是不獨立的方程將的最后兩個元素的有關(guān)項移至等號右端：6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼任意給定兩組線性獨立的值和例如：可解出其余n–2個（i=1~n-2，j=1,2）的兩組解多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼第1、第2階模態(tài)：（不是唯一的）為保證它們之間滿足正交性條件（不正交）令：也是如下方程的解：多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼要正交，需滿足：即：解得待定系數(shù)c

為：c

得到后，即可得到相互正交的多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形第1、第2階模態(tài)：（不是唯一的）為保證它們之間滿足正交性條件（不正交）令：6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼相互正交又分別與相互正交？模態(tài)矩陣：可使質(zhì)量矩陣及剛度矩陣同時對角化即：多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼例：四自由度系統(tǒng)求：系統(tǒng)模態(tài)矩陣x1mmmmkkkkkkkkkx2x3x4多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼解：系統(tǒng)運動微分方程：對應于的主振型：由由x1mmmmkkkkkkkkkx2x3x4多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼對于

得到：代入第3個方程顯然不獨立，第四個方程可由第一個方程乘以2再減去第二個方程得到，故也不獨立劃去后兩個方程，將前兩個方程寫為：解得：則有：多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼對應的主振型不難驗證都關(guān)于M和K相互正交但、之間不正交為從得到相互正交的選取并令左乘解得：于是，有：（注：）多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼模態(tài)矩陣：可以驗證，有：

多自由度系統(tǒng)振動/頻率方程的零根和重根情形6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼教學內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的自由振動頻率方程的零根和重根情形多自由度系統(tǒng)的受迫振動有阻尼的多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼多自由度系統(tǒng)的受迫振動

系統(tǒng)對簡諧力激勵的響應動力吸振器模態(tài)疊加法系統(tǒng)對任意激勵力的響應多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼回顧：單自由度系統(tǒng)的受迫振動

系統(tǒng)對簡諧力激勵的響應x為復數(shù)變量，分別與和相對應

設：復頻響應函數(shù)引入：系統(tǒng)響應：多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼

系統(tǒng)對簡諧力激勵的響應多自由度系統(tǒng)受到外力激勵所產(chǎn)生的運動為受迫運動

設n

自由度系統(tǒng)沿各個廣義坐標均受到頻率和相位相同的廣義簡諧力的激勵系統(tǒng)受迫振動方程：實部和虛部分別為余弦或正旋激勵的響應為激勵頻率為廣義激勵力的幅值列陣X為復數(shù)列陣多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼系統(tǒng)受迫振動方程：穩(wěn)態(tài)解：振幅列向量簡諧激勵下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應也為簡諧響應，并且振動頻率為外部激勵的頻率，但是各個自由度上的振幅各不相同。代入，得：記多自由度系統(tǒng)的幅頻響應矩陣則有：因此：工程中：阻抗矩陣導納矩陣多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼H

的物理意義：

沿i

坐標的投影式：因此：因此的物理意義為僅沿j坐標作用頻率為的單位幅度簡諧力時，沿i坐標所引起的受迫振動的復振幅。多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動由于H含有系統(tǒng)的特征方程因此，當外部激勵頻率接近系統(tǒng)的任意一個固有頻率時，都會使受迫振動的振幅無限增大的引起共振。6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼

動力吸振器許多機器或部件由于旋轉(zhuǎn)部分的質(zhì)量偏心而產(chǎn)生強迫振動，為減小這種振動有時可以采用動力吸振器。有阻尼動力吸振器系統(tǒng)彈簧k2m1、

k1：主系統(tǒng)的質(zhì)量和彈簧剛度阻尼動力吸振器：m1上作用有簡諧激振力質(zhì)量

m2阻尼cx1x2m2k1m1k2c多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼系統(tǒng)的強迫振動方程：先考慮無阻尼動力吸振器利用直接法得到穩(wěn)態(tài)響應振幅：x1x2m2k1m1k2c多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼主系統(tǒng)不再振動：系統(tǒng)的特征多項式當時反共振此時吸振器振幅主系統(tǒng)上受到的激振力恰好被來自吸振器的彈性恢復力平衡x1x2m2k1m1k2多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼無阻尼動力吸振器左圖：第一階模態(tài)響應中間：動力吸振器右圖：第二階模態(tài)響應多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼吸振器參數(shù)k2、m2

一般選為：當時反共振記：使吸振器的固有頻率和主系統(tǒng)的固有頻率相等則可寫為：多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動x1x2m2k1m1k26多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼設是由吸振器和主系統(tǒng)組成的兩自由度系統(tǒng)的固有頻率則由當時反共振多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動x1x2m2k1m1k2并記：6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼當時反共振代入并設得：多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動x1x2m2k1m1k26多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼當時反共振反共振點0123-6-4-2024共振點共振點x1x2m2k1m1k2多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動雖然出現(xiàn)反共振，但是在反共振的兩旁存在兩個共振點。6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼反共振點0123-6-4-2024共振點共振點為了允許激勵頻率在附近有一定范圍的變化s1、s2

應當相距遠些x1x2m2k1m1k2多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼反共振點0123-6-4-2024共振點共振點00.10.20.30.40.50.60.70.80.40.60.811.21.41.61.822.22.4隨變化曲線當值較大時，s1、s2相距較遠k2、m2

變大動力吸振器變得笨拙措施：采用阻尼動力吸振器多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼系統(tǒng)的強迫振動方程：有阻尼動力吸振器采用直接法：穩(wěn)態(tài)響應振幅（復振幅）：x1x2m2k1m1k2c多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼穩(wěn)態(tài)響應振幅（復振幅）：主系統(tǒng)復振幅：多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼主系統(tǒng)復振幅：取模，得實振幅：引入下列符號：得無量綱表達：多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼0.60.70.80.911.11.21.30246810121416多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動?。?多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼0.60.70.80.911.11.21.30246810121416分析：當時，系統(tǒng)中無阻尼，兩個共振頻率點s=0.895，1.12。當s=1

時，反共振，主系統(tǒng)振幅為零。多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼0.60.70.80.911.11.21.30246810121416當時，系統(tǒng)變成單自由度系統(tǒng)，共振點s=0.976。多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼0.60.70.80.911.11.21.30246810121416當和時，可見當s＝1時，主系統(tǒng)振幅并不為零，但是和無阻尼系統(tǒng)的兩個共振振幅相比，共振振幅明顯下降。多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼無論阻尼取多少，所有曲線都過S、T兩點。0.60.70.80.911.11.21.30246810121416實際設計有阻尼動力吸振器時，一般選取適當?shù)膍2

與k2，使曲線在S和T點有相同的幅值，并且適當選取阻尼，使曲線在S、T兩點具有水平切線。ST多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼

模態(tài)疊加法模態(tài)疊加法也可用于分析多自由度系統(tǒng)的受迫振動前面討論的外部激勵為簡諧激勵，因此可采用直接法進行求解當外部激勵不是簡諧激勵時，則不能用直接法，此時可采用模態(tài)疊加法。下面先用模態(tài)疊加法對簡諧激勵的多自由度系統(tǒng)的受迫振動進行求解，以進一步闡述多自由度系統(tǒng)的共振特性。然后采用模態(tài)疊加法對任意外部激勵時系統(tǒng)的響應進行求解多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼考慮簡諧激勵時的情況n自由度系統(tǒng)的動力方程：利用：展開：多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動解釋如下6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼考慮簡諧激勵時的情況n自由度系統(tǒng)的動力方程：利用：展開：模態(tài)坐標解：激勵頻率與第階固有頻率之比各坐標的受迫振動規(guī)律完全類似于單自由度系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律利用，得：多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼n自由度系統(tǒng)的動力方程：穩(wěn)態(tài)解：可看出：第j

階主坐標的受迫振動幅度將急劇增大，導致第j

階頻率的共振。當時系統(tǒng)具有n

個不相等的固有頻率時，可以出現(xiàn)n

種不同頻率的共振。多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼例：三自由度系統(tǒng)求：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應2kmmmk2kkx1x2x3P1(t)多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動解：作用力方程：正則振型矩陣：正則坐標下的激振力：第一個正則方程：同理可解出：6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼外部激勵正則振型矩陣：激振頻率接近第二階固有頻率，在穩(wěn)態(tài)響應中第二階振型占主要成分。2kmmmk2kkx1x2x3P0(t)多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼考慮任意外部激勵時的情況

n

自由度系統(tǒng)：做變換:可寫為：正則坐標初始條件：

：正則模態(tài)矩陣得:解為：在得到后，利用得出原系統(tǒng)的解。模態(tài)廣義力多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼利用主模態(tài)坐標求解做變換:可寫為：模態(tài)坐標初始條件：

：主模態(tài)矩陣得:解為：在得到后，利用得出原系統(tǒng)的解。模態(tài)廣義力多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動

n

自由度系統(tǒng)：6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼例：教材P100在第一個和第四個質(zhì)量上作用有階梯力F零初始條件求：系統(tǒng)響應kmmmmkkF(t)F(t)多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動動力方程：解：6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼動力方程：正則模態(tài)矩陣：利用:得:展開，得：模態(tài)力多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼當i=1當解為：矩陣形式：多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼原系統(tǒng)響應：多自由度系統(tǒng)振動/多自由度系統(tǒng)的受迫振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼教學內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的自由振動頻率方程的零根和重根情形多自由度系統(tǒng)的受迫振動有阻尼的多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼有阻尼的多自由度系統(tǒng)

多自由度系統(tǒng)的阻尼一般粘性阻尼系統(tǒng)的響應多自由度系統(tǒng)振動/有阻尼的多自由度系統(tǒng)6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼

多自由度系統(tǒng)的阻尼

任何實際的機械系統(tǒng)都不可避免的存在著阻尼因素材料的結(jié)構(gòu)阻尼，介質(zhì)的粘性阻尼等

由于各種阻尼力機理復雜，難以給出恰當?shù)臄?shù)學表達。

在阻尼力較小時，或激勵遠離系統(tǒng)的固有頻率時，可以忽略阻尼力的存在，近似地當作無阻尼系統(tǒng)。

當激勵的頻率接近系統(tǒng)的固有頻率，激勵時間又不是很短暫的情況下，阻尼的影響是不能忽略的。

一般情況下，可將各種類型的阻尼化作等效粘性阻尼。多自由度系統(tǒng)振動/有阻尼的多自由度系統(tǒng)6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼有阻尼的n

自由度系統(tǒng)的強迫振動方程為：阻尼矩陣元素

cij

阻尼影響系數(shù)物理意義：是使系統(tǒng)僅在第j

個廣義坐標上產(chǎn)生單位速度而相應于第i

個坐標上所需施加的力阻尼力為廣義速度的線性函數(shù)表示為：阻尼矩陣一般是正定或半正定的對稱矩陣多自由度系統(tǒng)振動/有阻尼的多自由度系統(tǒng)6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼有阻尼的n

自由度系統(tǒng)的強迫振動方程為：假定已經(jīng)得到無阻尼系統(tǒng)下的模態(tài)矩陣及譜矩陣做坐標變換：有：即：其中：模態(tài)阻尼矩陣雖然主質(zhì)量矩陣與主剛度矩陣是對角陣，但阻尼矩陣一般非對角陣，因而主坐標Y下的強迫振動方程仍然存在耦合。多自由度系統(tǒng)振動/有阻尼的多自由度系統(tǒng)6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼

非對角

例如：三自由度系統(tǒng)c2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)振動/有阻尼的多自由度系統(tǒng)6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼若非對角，則前面在無阻尼系統(tǒng)中介紹的主坐標方法或正則坐標方法都不再適用，振動分析將變得十分復雜。為了能沿用無阻尼系統(tǒng)中的分析方法，工程中常采用下列近似處理方法。(1)忽略矩陣中的全部非對角元素第i

階主振型的阻尼系數(shù)第i

階振型阻尼或模態(tài)阻尼做變換：n

自由度系統(tǒng)：令：第i

階振型阻尼比或模態(tài)阻尼比多自由度系統(tǒng)振動/有阻尼的多自由度系統(tǒng)6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼（2）將矩陣C

假設為比例阻尼假定C

有下列形式：a,b：為常數(shù)代入中對角陣相對阻尼系數(shù)：（3）由實驗測定n階振型阻尼系數(shù)多自由度系統(tǒng)振動/有阻尼的多自由度系統(tǒng)6多自由度系統(tǒng)振動之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動之五有阻尼

一般粘性阻尼系統(tǒng)的響應

當阻尼矩陣C

不允許忽略非對角元素，以上近似方法不成立

須用復模態(tài)進行求解n

自由度系統(tǒng)：設有特解：特征值問題：有非零解的充要條件：一般粘性阻尼系統(tǒng)的特征方程2n個特征值：多自由度系統(tǒng)振動/有阻尼的多自由度系統(tǒng)實數(shù)或復