2023屆湖南省長(zhǎng)沙同升湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則（）A． B． C． D．2．已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A． B． C．1 D．e3．命題：在三角形中，頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)連線所得三線段交于一點(diǎn)，且分線段長(zhǎng)度比為，類比可得在四面體中，頂點(diǎn)與所對(duì)面重心的連線所得四線段交于一點(diǎn)，且分線段比為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若的兩個(gè)極值點(diǎn)的等差中項(xiàng)在區(qū)間上，則整數(shù)（）A．1或2 B．2 C．1 D．0或15．為了測(cè)算如圖所示的陰影部分的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn)已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此，可估計(jì)陰影部分的面積是A．4 B．3 C．2 D．16．已知數(shù)列滿足，，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)之和，則（）A． B． C． D．7．從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個(gè)班擔(dān)任班主任（每班1位班主任），要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有（）A．210種 B．420種 C．630種 D．840種8．用反證法證明命題“平面四邊形四個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于時(shí)”，應(yīng)假設(shè)（）A．四個(gè)內(nèi)角都大于 B．四個(gè)內(nèi)角都不大于C．四個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于 D．四個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于9．已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為A．5 B．2 C．3 D．210．函數(shù)f(x)=13ax3A．0<a<1 B．1<a<2 C．0<a<2 D．a(chǎn)>211．已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示：123450.10.20.20.1則的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．412．將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，若位于函數(shù)的圖象上，則（）A．，的最小值為 B．，的最小值為C．，的最小值為 D．，的最小值為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．除以9的余數(shù)為_______；14．關(guān)于的方程的解為________15．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為__________．16．三棱錐中，平面，，則三棱錐外接球的體積為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，且與平面所成的角為，求二面角的平面角的余弦值．18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)在上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值.19．（12分）己知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，滿足與在點(diǎn)處的切線垂直，求面積的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。20．（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，試用所學(xué)知識(shí)說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（μ，），則P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，，．21．（12分）在國(guó)家積極推動(dòng)美麗鄉(xiāng)村建設(shè)的政策背景下，各地根據(jù)當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)資源打造了眾多特色紛呈的鄉(xiāng)村旅游勝地.某人意圖將自己位于鄉(xiāng)村旅游勝地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季隨機(jī)選取100天，對(duì)當(dāng)?shù)匾延械牧g不同價(jià)位的民宿進(jìn)行跟蹤，統(tǒng)計(jì)其出租率（），設(shè)民宿租金為（單位：元/日），得到如圖所示的數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖.（1）若用“出租率”近似估計(jì)旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金為388元的那間民宿在淡季內(nèi)的三天中至少有2天閑置的概率.（2）①根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪個(gè)更適合于此模型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）？根據(jù)判斷結(jié)果求回歸方程；②若該地一年中旅游淡季約為280天，在此期間無(wú)論民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，則每天需要再付出的日常支出成本.試用①中模型進(jìn)行分析，旅游淡季民宿租金約定為多少元時(shí)，該民宿在這280天的收益達(dá)到最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；.參考數(shù)據(jù)：記，，，，，，，，，.22．（10分）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，單局比賽甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為.本場(chǎng)比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束.設(shè)各局比賽相互間沒(méi)有影響且無(wú)平局.求：（1）前三局比賽甲隊(duì)領(lǐng)先的概率；（2）設(shè)本場(chǎng)比賽的局?jǐn)?shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.(用分?jǐn)?shù)表示)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由二項(xiàng)分布與次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的模型得：，，則，得解．【詳解】因?yàn)榉亩?xiàng)分布，，，所以，，即，，則，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布與次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的模型，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

根據(jù)函數(shù)取極值點(diǎn)時(shí)導(dǎo)函數(shù)為0可求得a的值．【詳解】函數(shù)的極值點(diǎn)，所以；因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，則；所以；解得；則實(shí)數(shù)a的值為；故選：B．【點(diǎn)睛】考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題.3、C【解析】

如圖，在中，可證明，且與交于O，同理可證其余頂點(diǎn)與對(duì)面重心的連線交于O，即得解.【詳解】如圖在四面體中，設(shè)是的重心，連接并延長(zhǎng)交CD于E，連接，則經(jīng)過(guò)，在中，，且與交于O，同理，其余頂點(diǎn)與對(duì)面重心的連線交于O，也滿足比例關(guān)系.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了三角形和四面體性質(zhì)的類比推理，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.4、B【解析】

根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)、極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系可確定的取值范圍，結(jié)合為整數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：.有兩個(gè)極值點(diǎn)，，解得：或.方程的兩根即為的兩個(gè)極值點(diǎn)，，綜上可得：，又是整數(shù)，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是明確極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，從而利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造方程.5、B【解析】

根據(jù)幾何概率的計(jì)算公式可求，向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn)，落在陰影部分的概率，即可得出結(jié)論．【詳解】本題中向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn)，相當(dāng)于600個(gè)點(diǎn)均勻分布在正方形內(nèi)，而有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分，可知陰影部分的面積．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是一個(gè)關(guān)于幾何概型的創(chuàng)新題，屬于基礎(chǔ)題解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題目意思，然后與學(xué)過(guò)的知識(shí)相聯(lián)系轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題．在利用幾何概型的概率公式來(lái)求其概率時(shí)，幾何“測(cè)度”可以是長(zhǎng)度、面積、體積、角度等，其中對(duì)于幾何度量為長(zhǎng)度，面積、體積時(shí)的等可能性主要體現(xiàn)在點(diǎn)落在區(qū)域Ω上任置都是等可能的，而對(duì)于角度而言，則是過(guò)角的頂點(diǎn)的一條射線落在Ω的區(qū)域（事實(shí)也是角）任一位置是等可能的．6、A【解析】

由可知數(shù)列為等差數(shù)列且公差為，然后利用等差數(shù)列求和公式代入計(jì)算即可．【詳解】由可知數(shù)列為等差數(shù)列且公差為，所以故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的概念及求和公式，屬基礎(chǔ)題．7、B【解析】依題意可得，3位實(shí)習(xí)教師中可能是一男兩女或兩男一女．若是一男兩女，則有種選派方案，若是兩男一女，則有種選派方案．所以總共有種不同選派方案，故選B8、A【解析】

對(duì)于“至少一個(gè)不大于”的否定為“全都大于”，由此得到結(jié)果.【詳解】“平面四邊形四個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于”的否定形式為：“平面四邊形四個(gè)內(nèi)角中都大于”，即反證法時(shí)應(yīng)假設(shè)：四個(gè)內(nèi)角都大于本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查反證法的假設(shè)，關(guān)鍵是明確至少問(wèn)題的否定的形式，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

利用點(diǎn)到直線的距離公式求出|PF2|cos∠POF2=ac，由誘導(dǎo)公式得出cos∠POF1=-ac，在【詳解】如下圖所示，雙曲線C的右焦點(diǎn)F2(c,0)，漸近線l1由點(diǎn)到直線的距離公式可得|PF由勾股定理得|OP|=|O在RtΔPOF2中，∠OPF在ΔPOF2中，|OP|=a，|PFcos∠PO由余弦定理得cos∠POF1即c=2a，因此，雙曲線C的離心率為e=c【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，屬于中等題。求離心率是圓錐曲線一類?？碱}，也是一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題，求解橢圓或雙曲線的離心率，一般有以下幾種方法：①直接求出a、c，可計(jì)算出離心率；②構(gòu)造a、c的齊次方程，求出離心率；③利用離心率的定義以及橢圓、雙曲線的定義來(lái)求解。10、D【解析】

函數(shù)f(x)=13ax3-x2+5(a>0)在(0,1)【詳解】f'(x)=ax2-2x，函數(shù)f(x)=13ax3-x2+5(a>0)在(0,1)上不單調(diào)，即故答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.11、A【解析】分析：由分布列的性質(zhì)可得，又由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求得數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而可求得．詳解：由分布列的性質(zhì)可得，解得，又由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可得，隨機(jī)變量的期望為：，所以，故選A．點(diǎn)睛：本題主要考查了隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)即數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，其中熟記隨機(jī)變量的性質(zhì)和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．12、A【解析】由題意得由題意得所以，因此當(dāng)時(shí)，的最小值為，選A.點(diǎn)睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無(wú)論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將變?yōu)?，利用二?xiàng)式定理展開可知余數(shù)因不含因數(shù)的項(xiàng)而產(chǎn)生，從而可知余數(shù)為.【詳解】由題意得：除以的余數(shù)為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查余數(shù)問(wèn)題的求解，考查學(xué)生對(duì)于二項(xiàng)式定理的掌握情況，關(guān)鍵是能夠配湊出除數(shù)的形式，屬于?？碱}型.14、4或7【解析】

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，列出方程，求出的值即可.【詳解】解：∵，

∴或，

解得或.故答案為：4或7.【點(diǎn)睛】本題考查了組合數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.15、【解析】

先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，還考查了理解辨析和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

畫出示意圖，根據(jù)“球心與任意小圓面的圓心的連線垂直于小圓圓面、球心與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦”確定外接球的球心所在位置，最后計(jì)算出體積.【詳解】如圖所示：為等腰直角三角形，所以的外接圓圓心即為中點(diǎn)，過(guò)作一條直線，平面，則圓心在直線上，過(guò)的中點(diǎn)作，垂足為，此時(shí)可知：，故即為球心，所以球的半徑，所以球的體積為：.【點(diǎn)睛】本題考查外接球的體積計(jì)算,難度一般.求解外接球、內(nèi)切球的有關(guān)問(wèn)題，第一步先確定球心，第二步計(jì)算相關(guān)值.其中球心的確定有兩種思路：（1）將幾何體放到正方體或者長(zhǎng)方體中直接確定球心；（2）根據(jù)球心與小圓面的圓心、弦中點(diǎn)等的位置關(guān)系確定球心.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）余弦值為.【解析】分析：（1）由四邊形為菱形，得對(duì)角線,由側(cè)面底面，,得到側(cè)面，從而，由此能證明平面；（2）由題意易知為等邊三角形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸,為軸，過(guò)平行的直線為，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的平面角的余弦值．詳解：（Ⅰ）由已知側(cè)面底面，,底面,得到側(cè)面，又因?yàn)閭?cè)面,所以,又由已知，側(cè)面為菱形，所以對(duì)角線,即，，,所以平面.（Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接,，因?yàn)?，易知為等邊三角形，中線,由（Ⅰ）側(cè)面，所以,得到平面，即為與平面所成的角，,,,,得到;以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸,為軸，過(guò)平行的直線為，建立空間直角坐標(biāo)系，,,,,,,，由（Ⅰ）知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量，,解得,,二面角為鈍二面角，故余弦值為.點(diǎn)睛：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到線線、線面、面面平行與垂直的性質(zhì)、向量法等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用，是中檔題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸為可知，，進(jìn)而得到函數(shù)值域；（2）由解析式知函數(shù)對(duì)稱軸為，分別在、和三種情況下，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定最大值點(diǎn)，利用最大值構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.又，所以，，的值域?yàn)?（2）由函數(shù)解析式知：開口方向向上，對(duì)稱軸為.①當(dāng)，即時(shí)，，解得：；②當(dāng)，即時(shí)，，解得：（舍去）；③當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，令，解得：（舍去），令，解得：（舍去）.綜上所述：.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)值域的求解、根據(jù)二次函數(shù)最值求解參數(shù)值的問(wèn)題；求解參數(shù)值的關(guān)鍵是能夠根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸位置，確定最值點(diǎn)，進(jìn)而利用最值構(gòu)造方程求得結(jié)果.19、（Ⅰ）（Ⅱ）面積的最小值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．【解析】

（Ⅰ）設(shè)拋物線的方程是，根據(jù)焦點(diǎn)為的坐標(biāo)求得，進(jìn)而可得拋物線的方程．（Ⅱ）設(shè)，進(jìn)而可得拋物線在點(diǎn)處的切線方程和直線的方程，代入拋物線方程根據(jù)韋達(dá)定理可求得，從而，又點(diǎn)到直線的距離，可得．利用導(dǎo)數(shù)求解．【詳解】（Ⅰ）設(shè)拋物線的方程是，則，，故所求拋物線的方程為．（Ⅱ）設(shè)，由拋物線方程為，得，則，∴直線方程為：，聯(lián)立方程，得，由，得，從而，又點(diǎn)到直線的距離，∴．令，則，則，∴在上遞減，在上遞增，∴，面積的最小值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及拋物線與直線的關(guān)系，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題．20、（1）P（X≥1）=0.0408，E（X）=0.0416（2）上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的，詳見(jiàn)解析【解析】

（1）通過(guò)可求出，利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得結(jié)果．（2）由（1）知落在（μ-3σ，μ+3σ）之外為小概率事件可知該監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法合理．【詳解】解：（1）由題可知尺寸落在（μ-3σ，μ+3σ）之內(nèi)的概率為0.9974，則落在（μ-3σ，μ+3σ）之外的概率為1-0.9974=0.0026，因?yàn)?，所以P（X≥1）=1-P（X=0）=0.0408，又因?yàn)閄～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有0.0026一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很?。虼艘坏┌l(fā)生這種狀況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，可見(jiàn)上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)正態(tài)分布的理解以及二項(xiàng)分布的期望公式，是一道