正弦穩(wěn)態(tài)電路的講義

第五章正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

§5-2

正弦量§5-3正弦量的相量表示§5-1

復數(shù)§5-4

電路定律的相量形式§5-6

阻抗（導納）的串并聯(lián)§5-7正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析§5-8

正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率§5-5

阻抗和導納§5-1

復數(shù)一.復數(shù)F表示形式：FbReImaOF=a+jb1、代數(shù)形式：Re[F]=a取復數(shù)F的實部和虛部用符號表示為：取復數(shù)F的實部Im[F]=b取復數(shù)F的虛部一個復數(shù)F在復平面上可以用一條從原點O指向F對應坐標點的有向線段（向量）表示。O2、三角形式：F=a+jb=|F|（cosq+jsinq）|F|為復數(shù)的模，為復數(shù)的幅角。|F|a=|F|cosqb=|F|sinq

或：3、指數(shù)形式：歐拉公式=|F|q

指數(shù)形式F=|F|（cosq+jsinq）4、極坐標形式：復數(shù)表示法的關系：F=a+jbF=|F|ejq

=|F|q

或=|F|（cosq+jsinq

）|F|二復數(shù)運算則F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加減運算——代數(shù)形式F1F2+1+jOF1=a1+jb1F2=a2+jb2若加減法運算可以用平行四邊行法在復平面上用向量的相加和相減求得。+1+jOF1F2-F2F=F1-

F2F=F1+F1(2)乘除運算——指數(shù)形式或極坐標形式F1=a1+jb1F2=a2+jb2若=（a1+jb1）（a2+jb2）

=（a1a2-

b1b2）+j（a1b2+b1a2）復數(shù)相乘采用指數(shù)形式或極坐標形式比較簡單。F1F2F1F2所以：乘法：模相乘，角相加；+1+jOF1F212|F2|F12F1

F2F1F2幾何意義：乘法：模相乘，角相加；若F1=|F1|1，若F2=|F2|2F1

F2=|F1||F2|q1+q2則F1乘以F2等于復數(shù)F1的模|F1|乘以復數(shù)F2的模|F2|，然后把復數(shù)逆時針旋轉一個角度。2F1=a1+jb1F2=a2+jb2若復數(shù)相除采用指數(shù)形式或極坐標形式。所以：除法：模相除，角相減。+1+jOF1F2212除法：模相除，角相減。1-

2例1.

A1=4+j3，A2=4-j3，A3=-4+j3，A4=-4-j3寫出它們對應的極坐標形式。

解：A1=4+j3A2=4-j3+1+jA3=-4+j31234A4=-4-j3=(3.41+j3.657)+(9.063-j4.226)解：=12.47-j0.567例2.

求：例3.

求：(3)旋轉因子：A?ejq任意復數(shù)相當于A逆時針旋轉一個角度q，而模不變。故把ejq

稱為旋轉因子。+1+jOejqaAAejq復數(shù)ejq

=cosq+jsinq=1q復數(shù)ejq=1q是一個模為1，輻角為q的復數(shù)。故+j,–j,-1都可以看成旋轉因子。ejp/2

=je-jp/2

=-jejp=–1A?j把該復數(shù)逆時針旋轉π/2A?（-j）把該復數(shù)順時針旋轉π/2或A/j在復數(shù)運算中，若兩個復數(shù)相等，必須滿足：如F1=F2必須Re[F1]=Re[F2]Im[F1]=Im[F2]或基本概念按物理量是否隨時間改變，可分為恒定量，變動量。①大小和方向都不隨時間而改變，用大寫字母表示U,I。②隨時間變化的量,每個時刻值稱為瞬時值u(t),i(t)i(t)tt0i(t0)O§5-2

正弦量tOU③大小、方向隨時間做周期變化的電流(電壓)稱為周期電流(電壓)工程上往往以頻率區(qū)分電路：工頻50Hz中頻400-2000Hz高頻電路④交變電流：在一個周期內(nèi)平均值為零的周期電流,稱為交變電流。即tiTtiO一.正弦量的三要素在選定的參考方向下，可以用數(shù)學式表達瞬時值電流i(t)：i(t)=Imcos(wt+i

)i+_u波形：tiOyiTImwT=2

w=2

/T=2

f

wtiOyi2

ImIm,w,yi這3個量一確定，正弦量就完全確定了。所以，稱這3個量為正弦量的三要素。正弦量的三要素：(1)幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im：wtiOyi2

Imimax=Im正弦量的極大值imin=-

Im正弦量的極小值imax-imin=2Im正弦量的峰-峰值反映正弦量變化幅度的大小。單位：w：rad?s-1，弧度?秒-1

f：Hz，赫(茲)

T：s，秒(2)角頻率(angularfrequency)w

：

相關量：頻率f：每秒重復變化的次數(shù)。周期T：重復變化一次所需的時間。f=1/T反映正弦量變化快慢。為相角隨時間變化的速度。wtiOyi2

Im頻率f(frequency)和周期T(period)。wt+i

稱為相位或相角。KHz，MHz，GHz。mS，μS，nS。(3)初相位(ini列tia掛lp化has御ea繳ngl半e)yi：(wt+yi)表示正記弦量隨咳時間變青化的進房誠程，稱光之為相貌位或相斬角。它鄰的大小勝決定該坑時刻正鼻弦量的章值。yi=0當t=0時，相碎位套(wt+yi)=yi同一個非正弦量復，計時起落點不同春，初相富位不同。yi為初相顫位(角統(tǒng))，簡尸稱初相跨。tiOyii(t)=Imcos(wt+i)初相位死(角)凳的單位卷可以用仿度或者剖弧度。tOitOiyi

=p/2tOiyi

=-p/2tOiyi

<0tOiyi

>0一般規(guī)棟定：|yi|善。二.相跳位差(pha歐se腿dif警fer拿enc宵e)：u(t)=Umcos膝(wt+yu)兩個同同頻率正禍弦量相齒位角之撕差。i(t)=Imcos(wt+yi)設j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yi同頻率勇正弦量嘗的相位戚差等于陡它們的三初相之昨差。則相位差:jj>0tu,iuiyuyijOu領先(榴超前)ij角，或i落后(滯粒后)uj角。u比i先到達車最大值蒜。yi<0yu>0j=yu-yi>0j<0i領先(葬超前)uj角，或u落后(樸滯后)ij角。tu,iuiyuyijOyi>0yu<0j=yu-yi<0i比u先到達最礎大值j=0，同相：特例：tu,iu

iOj=(180o)，反相：規(guī)定：袖|y|皇(1著80°偉)。tu,iu

iO=p/2潤：u、i相位正苦交tu,iu

iOu領先ip/2。（不說u落后i3p/2）房誠；i落后up/2。（不說i領先u3p/2）桐。同樣可比腸較兩個電木壓或兩個材電流的相血位差。不同頻率弊的兩個正酷弦量之間吸的相位差餅不再是一箭個常數(shù)，犯而是隨時間變收動。下面所討然論的相位衣差都是同竹頻率正弦界量之間的萄相位差。例.i1=20煤cos河(314t+30。)Ai2=10逝cos筒(314t-45。)A畫出它頁們的波比形并判掘斷哪一個電據(jù)流超前哪衫一個電流滯后改。i1i2tOi1i2j=30。-（-45。）>0電流i1超前i275。。三.周期性煤電流、膠電壓的剝有效值周期性電循流、電壓遵的瞬時值善隨時間而決變，為了跡確切的衡壓量其大小加，工程到上采用巾有效值黎。電流有效梅值I定義為：瞬時值的灣平方在一笨個周期內(nèi)狡積分的平吉均值再取貞平方根。物理意役義：周期性計電流i流過電濤阻R，在一周用期T內(nèi)吸收稈的電能嫂，等于庫一直流平電流I流過R,在時踐間T內(nèi)吸收航的電能延，則稱求電流I為周期性通電流i的有效臣值。有效值虜也稱均掀方根值壯(root開-mee狠n-sq兆uare，簡記為運rms限。)1.有遠效值(eff冤ect睛ive疑va驚lue)定義W2=I2RTRi(t)RI同樣，可桶定義電壓有效群值U：2.鈔正弦電愁流、電征壓的有各效值設i(t)=Imcos訴(t+yi)最大值與有效值之間有固定的。同理，騰可得正飄弦電壓些有效值誼與最大龜值的關伏系：若一交骨流電壓曉有效值罵為U=22李0V，筆則其最啞大值為Um311雹V；U=380干V，Um537房誠V。工程上說座的正弦電惡壓、電流盆一般指有狼效值，如聲設備銘牌啄額定值、賴電網(wǎng)的電選壓等級等勻。但絕緣乎水平、耐巡壽壓值指的膝是最大值覆。因此，口在考慮電危器設備的稱耐壓水平項時應按最血大值考慮混。測量中械，電磁前式交流鴨電壓、閑電流表朵讀數(shù)均惠為有效潤值。*區(qū)校分電壓贈、電流凝的瞬時琴值、最于大值、該有效值摔的符號結。或：為什么之用正弦雞量?主要考慮形以下幾點寇：1.正荒弦量是最宣簡單的周失期量之一趴，同頻正鍛弦量在加扯、減、微梢分、積分國運算后得饞到的仍為襲同頻正弦歷量；2.次應用廣佳泛；3.榮非正弦潑量用傅雕立葉級辮數(shù)展開捉后得到蕉一系列疾正弦函寬數(shù)。例.同圖頻方波相餡加方波方波不是方波兩個正弦鏈量i1i2i1+i2i3wwwIm1Im2Im3123無論是品波形圖蟻逐點相借加，或苗用三角含函數(shù)做睛都很繁吐。因同頻園的正弦拒量相加詳仍得到流同頻的歡正弦量催，所以偷，只要如確定初販相位和魄最大值系(或有鑄效值)尾就行了挽?！?-3正弦量的違相量表示i1=Im1cos汗(wt+1)i2=Im2cos(wt+2)i3=i1+i2=Im3cos擠(wt+3)復數(shù)向間量也是瞧一個大瘋小、一闊個幅角帶，因此干，我們宇可以把詢正弦量灶與復數(shù)針對應起第來，以便復數(shù)計純算來代針替正弦噴量的計餓算，使壺計算變茄得較簡臥單。1.正正弦量的蓄相量表示復函數(shù)沒有物理釘意義對于任意鼻一個正弦伯時間函數(shù)陸都可以找玩到唯一的疼與其對應的復指數(shù)斷函數(shù)：若對A(t)取實部擴：是一個頁正弦量今，有物省理意義編。復常數(shù)稱為正弦量i(t)對應的相量。加一個小敲圓點是用階來和普通渠的復數(shù)相概區(qū)別(強支調(diào)它與正蛋弦量的聯(lián)佩系)，同繞時也改用質(zhì)“相量”，而雖不用“向量”，是因粒為它表示撈的不是一填般意義的掏向量，而柱是表示一壓個正弦量癢。稱為正弦量i(t)對應的相量。同樣可以回建立正弦愧電壓與相膚量的對應汁關系：i相量圖(相量和曉復數(shù)一樣眾可以在平嫌面上用向蒜量表示)駐：不同頻拍率的相油量不能鏈畫在一簡張向量延圖上。q我們用交向量和盲一個正斧弦時間三函數(shù)對輩應看看媽它的幾何意義：ejt為一模為罵1、幅角所為t的相量。概隨t的增加，恒模不變，寧而幅角與t成正比菊，可視培其為一撿旋轉相譯量，當t從0~T時，相量即旋轉一周縫回到初始暴位置，t從0~2拴。正弦波滅與旋轉駱相量解：解：已知例1.試用相量表示i,u。例2.試寫出電流的瞬時值表達式。2.鬼相量運呈算(1)橫同頻獎率正弦乒量相加先減故同頻牢的正弦畏量相加獸減運算握就變成棟對應的拔相量相相加減運房誠算。i1i2=現(xiàn)i3例．解：y1y2+1+j同頻正肚弦量的臥加、減癢運算可鋪借助相擔量圖進夜行。相吐量圖在斷正弦穩(wěn)袍態(tài)分析瘋中有重澆要作用她，尤其裳適用于墻定性分擺析。將正弦量駱與相量建織立起對應往關系這實警際上是一乒種變換思濟想，由時脫域變換到偶頻域：時域：項在變量歷是時間團函數(shù)條姓件下研悟究網(wǎng)絡漁，以時罩間為自有變量分搞析電路錯。頻域：在委變量經(jīng)過忌適當變換末的條件下沒研究網(wǎng)絡結，以頻率敏為自變量盆分析電路桂。相量法：將正甘弦時間誦函數(shù)田“變換旬”為鐘相量后蓮再進行獨分析,輝屬火于頻域姥分析。(2)纖.正弦岔量的微分正弦量躁的一階叨導數(shù)仍廊然為一個同頻泉率的正弦晨量，其相量等于悶原正弦量遠的相量乘以jw。i(3).床正弦夫量的積分正弦量疊的積分盡仍然為廟一個同頻率的止正弦量芒，其相灶量等于原正弦量選的相量除支以jw。i已知例.求：解：3.終相量法四的應用求解正洪弦電流槍電路的但穩(wěn)態(tài)解尼(微分頭方程的數(shù)特解)例一階常魔系數(shù)線晴性微分巾方程自由分量跑(齊次方誤程解)：強制分量詠(特解)興：這個微賢分方程爐的特解極，即電販路的穩(wěn)勻態(tài)電流少（正弦臺穩(wěn)態(tài)響仗應）將鞋是與電稈壓同頻殼率的正蛋弦量。上式對應接于任何時顆間t成立，過則有：這個代數(shù)綁方程反映猴了正弦激照勵與其同頻率正釀弦響應之栗間的相量旁關系。小結②相于量法只穩(wěn)適用于去激勵為客同頻正耽弦量的賠非時變鐵線性電機路。③相量賓法可以用寧來求強制天分量是正縣弦量的任領意常系數(shù)論線性微感分方程的主特解，即某可用來分連析正弦穩(wěn)腐態(tài)電路。N線性N線性w1w2非線性w不適用①正弦量相量時域頻域正弦波形圖相量圖一.燈電阻時域形式粱：相應的相勢量形式：相量模抓型§5-4電路定太律的相拍量形式若：則：有：有效值蟻關系相位關鐘系(uR,iR同相)ui=或：二.縱電感時域形式臂：若：則：相應的相騙量形式：有效值關刷系相位關鳴系或：(uL超前iL90°)i相量模萌型感抗的管物理意匙義：(1)表示限制魯電流的能伙力；(2)頻率和感柱抗成正比日,w0直洞流（XL=0)拆,w開路；(3)由于感制抗的存糞在使電竿流落后衰電壓.煤。wXL寫法注揉意：BL=-1/L，感納孫，單位為橫S宰(同電導亞)XL=L，稱為薦感抗，樸單位為姑(峰歐姆)三、電蹄容時域形凡式：相量形冬式：相量模型若：則：或：u或：(iC超前uL90°)有效值關貪系：相位關貫系：BC=wC，駛稱拿為容納莫，單位觀為S頻率和容感抗成反比動,w0，評|XC|直流開沸路(隔廁直)w|XC|令XC=-1/wC，稱仔為容抗痕，單位戴為W(歐姆)w觸，|XC|0冰高頻短股路(旁路作嚴用)四、線作性受控狼源VCC恒S（電欄壓控制費的電流杏源）相量形式刑：相量模型五、壤基爾霍傾夫定律襖的相量江形式同頻率沙的正弦菜量加減聚可以用委對應的券相量形仇式來進農(nóng)行計算脫。因此虎，在正孫弦電流疼電路中傍，KC擱L和K碑VL可敲用相應匯的相量斯形式表裂示：上式表蜂明：流摩入某一箭結點的鑄所有電啊