彈性力學(xué)第三章 應(yīng)變

彈性力學(xué)第三章應(yīng)變第1頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一第三章應(yīng)變§3-1變形與應(yīng)變概念

§3-2變形連續(xù)條件§3-3應(yīng)變增量和應(yīng)變速率張量

§3-4應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性第2頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

彈性體在受外力以后，還將發(fā)生變形。物體的變形狀態(tài)，一般有兩種方式來描述：1、給出各點(diǎn)的位移；2、給出各體素的變形。彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移，用此位移在x、y、z三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影u、v、w來表示。以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。這三個(gè)投影稱為位移分量。一般情況下，彈性體受力以后，各點(diǎn)的位移并不是定值，而是坐標(biāo)的函數(shù)?！?-1

變形與應(yīng)變概念

第3頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一由于外部因素作用（荷載或溫度改變等）引起物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)位置的改變稱位移。物體內(nèi)任意一點(diǎn)的位移，用它在x、y、z三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影u、v、w來表示。以沿坐標(biāo)軸正方向的為正。u(x、y、z)=rxRx

v(x、y、z)=ry

Ry

w(x、y、z)=rzRz§3-1

變形與應(yīng)變概念

第4頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一位移變形位移剛體位移剛體平移剛體轉(zhuǎn)動(dòng)線變形角變形*物體內(nèi)各點(diǎn)之間不產(chǎn)生相對位移*物體內(nèi)各點(diǎn)之間產(chǎn)生相對位移§3-1

變形與應(yīng)變概念

第5頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一由于外部因素 物體內(nèi)部各點(diǎn)空間位置發(fā)生變化位移形式剛體位移：物體內(nèi)部各點(diǎn)位置變化，但仍保持初始狀態(tài)相對位置不變。變形位移：位移不僅使得位置改變，而且改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對位置?！d荷或溫度變化位移——§3-1

變形與應(yīng)變概念

第6頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一剛體位移：物體內(nèi)部各點(diǎn)位置變化，但仍保持初始狀態(tài)相對位置不變（即其體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間距保持不變）。剛體位移包括平行移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)位移§3-1

變形與應(yīng)變概念

第7頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一變形位移：位移不僅使得位置改變，而且改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對位置。即物體的形狀發(fā)生改變。變形位移包括形狀改變和體積改變?！?-1

變形與應(yīng)變概念

第8頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一位移剛性位移：反映物體整體位置的變動(dòng)變形位移：反映物體的形狀和尺寸發(fā)生變化｛研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需研究物體內(nèi)各點(diǎn)的相對位置變動(dòng)情況，即研究變形位移?！粑灰坪瘮?shù)應(yīng)是位置坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)?！粑灰品至亢瘮?shù)不能直接表明物體各點(diǎn)處材料變形的劇烈程度，還需要研究物體內(nèi)各點(diǎn)的相對位移?！?-1

變形與應(yīng)變概念

第9頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

一個(gè)物體受作用力后，其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)不僅要發(fā)生相對位置的改變（產(chǎn)生了位移），而且要產(chǎn)生形狀的變化（產(chǎn)生了變形）。物體的變形程度用應(yīng)變來度量，物體在某一時(shí)刻的形態(tài)與早先的形態(tài)（一般指初始狀態(tài)或未變形的狀態(tài)）之間的差別就是物體在該時(shí)刻的應(yīng)變。物體變形時(shí)，其體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在各方向上都會有應(yīng)變。變形的度量——應(yīng)變第10頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一外力作用下，物體各點(diǎn)發(fā)生位移，但是某點(diǎn)位移的大小并不能確定該處應(yīng)力的大小，它與物體的整體約束有關(guān)。應(yīng)變反映局部各點(diǎn)相對位置的變化，與應(yīng)力直接相關(guān)，變形體力學(xué)中彈性力學(xué)對這種關(guān)系作了最為簡化的假設(shè)，在各向同性線彈性的條件下，彈性常數(shù)只有兩個(gè)。1、正應(yīng)變2、切應(yīng)變變形的度量——應(yīng)變第11頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一正（線）應(yīng)變σσxxdxdxuu

+du物體內(nèi)一點(diǎn)P（x,y,z）在方向上的線應(yīng)變：變形前在P點(diǎn)處沿方向所取的微線段：變形后Δr的增量NP(x,y,z)變形的度量——應(yīng)變第12頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一正（線）應(yīng)變——線素的相對伸長或縮短正應(yīng)變以伸長時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)，與正應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相對應(yīng)。變形的度量——應(yīng)變第13頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一剪（切）應(yīng)變τβα直角改變量

τγ=α+β物體內(nèi)一點(diǎn)P(x，y，z)的兩垂直方向和方向之間的角度變化量，稱之為和方向的切應(yīng)變。為變形后、兩垂直方向間角度的變化量則：變形后x、y兩垂直方向間夾角的變化量。變形的度量——應(yīng)變第14頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一，，

剪（切）應(yīng)變——兩正交線素夾角的減少剪應(yīng)變以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與剪應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相對應(yīng)。變形的度量——應(yīng)變第15頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一線應(yīng)變①、涉及受力物體內(nèi)某一點(diǎn)；②、涉及該點(diǎn)的某一方向；③、是一個(gè)無量綱的物理量；④、表征某點(diǎn)某方向伸長變形的線應(yīng)變?nèi)≌?，反之取?fù)；角應(yīng)變①、涉及受力物體內(nèi)某一點(diǎn)；②、涉及過該點(diǎn)的某兩相垂直方向；③、是一個(gè)有單位，無量綱的物理量。④、表征某點(diǎn)兩坐標(biāo)軸正方向所夾直角減少的角應(yīng)變?nèi)≌?，反之取?fù)。變形的度量——應(yīng)變第16頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系A(chǔ)點(diǎn)在X方向的位移分量為u，B點(diǎn)在X方向的位移：ABCDABCD，求線素AB、AD的正應(yīng)變：線素AB的正應(yīng)變?yōu)椋和?，AD的正應(yīng)變?yōu)椋旱?7頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一X向線素AB的轉(zhuǎn)角，Y向線素AD的轉(zhuǎn)角求剪應(yīng)變，也就是線素AB與AD之間的直角的改變線素AB的轉(zhuǎn)角為：

A點(diǎn)在Y方向的位移分量為v，B點(diǎn)在Y方向的位移分量：應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系第18頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一同理，Y向線素AD的轉(zhuǎn)角：由于變形是微小的，所以上式可將比單位值小得多的略去，得因此，剪應(yīng)變?yōu)椋簯?yīng)變分量與位移分量的關(guān)系第19頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一以上是考察了體素在XOY一個(gè)平面內(nèi)的變形情況同樣方法來考察體素在XOZ和YOZ平面內(nèi)的變形情況，可得：應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系第20頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一該式表明了一點(diǎn)處的位移分量和應(yīng)變分量所應(yīng)滿足的關(guān)系，稱為幾何方程，也稱為柯西(Cauchy)關(guān)系。幾何方程是用位移導(dǎo)數(shù)表示應(yīng)變，應(yīng)變描述一點(diǎn)的變形，但還不足以完全描述彈性單元體的位移變化，因?yàn)闆]有考慮單元體位置的改變，即單元體的剛體位移。應(yīng)變分量與位移分量的關(guān)系第21頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)變分量

ex、

ey、

ez、e

xy、

e

yz、

e

zx滿足張量的性質(zhì)，構(gòu)成一個(gè)二階應(yīng)變張量。應(yīng)變張量以xi記x，y，z;以ui記u，v，w第22頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一如果應(yīng)變矢量qN正在平面法線N方向上，則在這一方向上剪應(yīng)變?yōu)榱悖瑒t該法線方向即為主方向（或應(yīng)變主軸）。其含義為：在這些方向上，運(yùn)動(dòng)前是彼此垂直的，其運(yùn)動(dòng)后仍保持垂直，相應(yīng)的應(yīng)變稱為主應(yīng)變。

主應(yīng)變和應(yīng)變張量不變量考慮一個(gè)法線為N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n）斜平面上應(yīng)變向量qN的三個(gè)分量：qNi=ijlj剪應(yīng)變?yōu)榱愕姆较蚓褪菓?yīng)變主軸方向；主軸方向的應(yīng)變就是主應(yīng)變第23頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一主方向方程有非零解的條件是其系數(shù)行列式必為零。主應(yīng)變特征方程該方程一定存在三個(gè)根，設(shè)為1，

2，

3稱為該點(diǎn)主應(yīng)變:展開得關(guān)于

的一元三次方程：

主應(yīng)變和應(yīng)變張量不變量第24頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一在一定的應(yīng)變狀態(tài)下，物體內(nèi)任一點(diǎn)的主應(yīng)變不會隨坐標(biāo)系的改變而改變，因而，特征方程中的系數(shù)J1，J2，J3必為常數(shù)，稱為應(yīng)變不變量。再次展開關(guān)于

的一元三次方程：

主應(yīng)變和應(yīng)變張量不變量第25頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一體積應(yīng)變

第一應(yīng)變不變量第二應(yīng)變不變量第三應(yīng)變不變量

主應(yīng)變和應(yīng)變張量不變量第26頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)變張量分解和應(yīng)變偏量不變量定義平均應(yīng)變：應(yīng)變球張量應(yīng)變偏張量該應(yīng)變狀態(tài)只有體積等向膨脹或收縮，而沒有形狀畸變該應(yīng)變狀態(tài)只有形狀畸變而沒有體積改變。應(yīng)變張量分解：第27頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)變張量分解和應(yīng)變偏量不變量第28頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一用主應(yīng)變表示應(yīng)變偏量：注意，純剪應(yīng)變狀態(tài)的條件與純剪應(yīng)力狀態(tài)的條件相同，即純剪應(yīng)變的必要充分條件是kk=0，因此，eij

為純剪狀態(tài)，并且ij和eij

有相同主軸。應(yīng)變張量分解和應(yīng)變偏量不變量第29頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)變偏張量應(yīng)變偏量不變量如下：應(yīng)變張量分解和應(yīng)變偏量不變量第30頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一由于J2=0，應(yīng)變偏張量可進(jìn)一步分解并解釋為都表示純剪切變形，因此eij只與單元的剪切變形有關(guān)應(yīng)變張量分解和應(yīng)變偏量不變量第31頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)變張量的性質(zhì)：（1）存在三個(gè)互相垂直的主方向，在該方向上線元只有線應(yīng)變（主應(yīng)變）而無切應(yīng)變。主應(yīng)變張量為主應(yīng)變可由應(yīng)變狀態(tài)特征方程求得。應(yīng)變張量分解和應(yīng)變偏量不變量第32頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一（2）存在三個(gè)應(yīng)變張量不變量I1、I2、I3，且對于塑性變形，由體積不變條件，有（3）在與主應(yīng)變方向成45方向上存在主切應(yīng)變，其大小為若1≥2≥3，則最大切應(yīng)變?yōu)閼?yīng)變張量分解和應(yīng)變偏量不變量第33頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一（4）應(yīng)變張量可以分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量平均線應(yīng)變應(yīng)變偏張量，表示變形單元體形狀變化（塑性變形時(shí)，由于體積不變，應(yīng)變偏張量就是應(yīng)變張量）應(yīng)變球張量，表示變形單元體體積變化。應(yīng)變張量分解和應(yīng)變偏量不變量第34頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一畫圓，稱為應(yīng)變莫爾圓。所有可能的應(yīng)變狀態(tài)都落在陰影線范圍內(nèi)。由圖可知，最大切應(yīng)變?yōu)閼?yīng)變莫爾圓

已知主應(yīng)變的值，且1>2>3，可以在-平面上，圓心和半徑分別為

（5）可以用應(yīng)變莫爾圓表示一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。應(yīng)變張量分解和應(yīng)變偏量不變量第35頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一第三章應(yīng)變§3-1變形與應(yīng)變概念

§3-2變形連續(xù)條件§3-3應(yīng)變增量和應(yīng)變速率張量

§3-4應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性第36頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一§3-2

變形連續(xù)條件變形前是連續(xù)的，變形后仍然是連續(xù)的。不允許出現(xiàn)裂紋或發(fā)生重疊現(xiàn)象。為保證變形前后物體的連續(xù)性，應(yīng)變之間必然存在某種關(guān)系，描述這種關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。第37頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)變協(xié)調(diào)方程

在應(yīng)力分析中，已經(jīng)指出必須建立平衡方程以保證物體總是處于平衡狀態(tài)。然而，在應(yīng)變分析中，必須由某些條件強(qiáng)加于應(yīng)變分量以保證變形體連續(xù)。

已知位移可以求出應(yīng)變。但給定應(yīng)變，那么有三個(gè)未知位移函數(shù)，有六個(gè)幾何方程。如果不對應(yīng)變加以限制就不能得到一個(gè)解。為了能得到一個(gè)單值的連續(xù)位移函數(shù)，必須對應(yīng)變分量加以限制，這種約束被稱為應(yīng)變協(xié)調(diào)條件第38頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一

六個(gè)應(yīng)變分量之間要滿足一定的關(guān)系，才能保證變形體的連續(xù)性。應(yīng)變分量之間的關(guān)系稱為應(yīng)變連續(xù)方程或應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。分析：1）將幾何方程中的x、y

分別對y、x求兩次偏導(dǎo)數(shù)，可得兩式相加，得應(yīng)變協(xié)調(diào)方程第39頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一該式表明，在坐標(biāo)平面內(nèi)，兩個(gè)線應(yīng)變分量一經(jīng)確定，則切應(yīng)變分量也就確定。即

同理可得另外兩式，綜合在一起可得(應(yīng)變連續(xù)方程或應(yīng)變協(xié)調(diào)方程)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程第40頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一2）對三個(gè)切應(yīng)變等式分別對z、x、y求偏導(dǎo)，得將上面的前兩式相加后減去第三式，得應(yīng)變協(xié)調(diào)方程第41頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一與另外兩式組合得(應(yīng)變連續(xù)方程或應(yīng)變協(xié)調(diào)方程)再對上式兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù)，得上式表明，在物體三維空間內(nèi)的三個(gè)切應(yīng)變分量一經(jīng)確定，則線應(yīng)變分量也就確定。應(yīng)變協(xié)調(diào)方程第42頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一表明一點(diǎn)的應(yīng)變分量所應(yīng)滿足的關(guān)系，稱為應(yīng)變連續(xù)方程，也稱應(yīng)變協(xié)調(diào)方程或圣維南(Saint-Venant)方程。第43頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)變連續(xù)方程的物理意義表示：只有當(dāng)應(yīng)變分量之間滿足一定的關(guān)系時(shí)，物體變形后才是連續(xù)的。否則，變形后會出現(xiàn)“撕裂”或“重疊”，變形體的連續(xù)性遭到破壞。注：如果已知一點(diǎn)的位移分量，則由幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足連續(xù)方程。但如果先用其它方法求得應(yīng)變分量，則只有滿足上述應(yīng)變連續(xù)方程，才能由幾何方程求得正確的位移分量。

應(yīng)變協(xié)調(diào)方程第44頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一例設(shè)一物體在變形過程中某一極短時(shí)間內(nèi)的位移為試求：點(diǎn)Ａ（1,1,1）與點(diǎn)B（0.5,－1,0）的應(yīng)變值解由幾何方程式得應(yīng)變分量為第45頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一代入點(diǎn)B的坐標(biāo)值（0.5,－1,0），得其應(yīng)變值代入點(diǎn)A的坐標(biāo)值(1,1,1)，得其應(yīng)變值應(yīng)變協(xié)調(diào)方程第46頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的張量表示：◆其數(shù)學(xué)意義：要求位移函數(shù)在其定義域內(nèi)為單值連續(xù)函數(shù)，保證3個(gè)位移為未知量的6個(gè)幾何方程不相矛盾?！羝淞W(xué)意義：保證構(gòu)成物體的介質(zhì)在變形前后是連續(xù)的，物體任意一點(diǎn)的變形必須受到其相鄰單元體變形的約束，即同一點(diǎn)不會產(chǎn)生兩個(gè)或兩個(gè)以上的位移。由位移函數(shù)應(yīng)變自動(dòng)滿足連續(xù)方程（6個(gè)）

由應(yīng)變位移積分必須滿足全微分條件，變形才是協(xié)調(diào)的

第47頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一證明——應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是變形連續(xù)的必要和充分條件。變形連續(xù)的物理意義，反映在數(shù)學(xué)上則要求位移分量為單值連續(xù)函數(shù)。目標(biāo)——如果應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則對于單連通域，就可以通過幾何方程積分求得單值連續(xù)的位移分量。利用位移和轉(zhuǎn)動(dòng)分量的全微分，則輪換x,y,z，可得du，dv和dwy，dwz

應(yīng)變協(xié)調(diào)方程第48頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一如通過積分，計(jì)算出

是單值連續(xù)的，則問題可證。

保證單值連續(xù)的條件是積分與積分路徑無關(guān)第49頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)格林公式回代第50頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一回代到第四式

wx單值連續(xù)的必要與充分條件是

同理討論wy，wz的單值連續(xù)條件，可得其它4式——變形協(xié)調(diào)方程。由此可證變形協(xié)調(diào)方程是單連通域位移單值連續(xù)的必要和充分條件。

第51頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一◆變形連續(xù)性條件反映了真實(shí)情況下物體內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)變之間的協(xié)調(diào)關(guān)系。

◆對于單連通域物體，應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是保證物體變形連續(xù)的充要條件?！衾脩?yīng)變協(xié)調(diào)方程可檢驗(yàn)給定的應(yīng)變狀態(tài)是否為可能存在的？也可確定應(yīng)變分量中的待定系數(shù)。應(yīng)變協(xié)調(diào)方程第52頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)方程，保證彈性體內(nèi)部的變形單值連續(xù)。邊界變形協(xié)調(diào)要求邊界位移滿足位移邊界條件。位移邊界條件——臨近表面的位移或和變形與已知邊界位移或變形相等。位移邊界條件

第53頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一稱為位移邊界條件如果物體表面的位移已知，稱為位移邊界位移邊界用Su表示。如果物體表面的位移邊界條件為：位移邊界條件

第54頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)物體表面為S位移已知邊界Su面力已知邊界Ss則S＝Su＋Ss彈性體的整個(gè)邊界，是由面力邊界和位移邊界構(gòu)成的。任意一段邊界，可以是面力邊界，或者位移邊界。面力邊界和位移邊界在一定條件下是可以轉(zhuǎn)換的，例如靜定問題。某些問題，邊界部分位移已知，另一部分面力已知，這種邊界條件稱為混合邊界條件。不論是面力邊界條件，位移邊界條件，還是混合邊界條件，彈性體任意邊界的邊界條件數(shù)目不能超過或者少于3個(gè)，必須等于3個(gè)。位移邊界條件

第55頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一如果物體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都只在同一個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)發(fā)生變形，而在該平面的法線方向沒有變形，這種變形稱為平面變形或平面應(yīng)變。平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)有如下特點(diǎn)：1)z

即為主應(yīng)力，且為x

、y

的平均值，即為中間應(yīng)力，又是平均應(yīng)力，是一個(gè)不變量，有三個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量x

、y

、xy。2)若以應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸，平面變形時(shí)應(yīng)力狀態(tài)就是純切應(yīng)力狀態(tài)疊加一個(gè)應(yīng)力球張量。平面問題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程第56頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一第三章應(yīng)變§3-1變形與應(yīng)變概念

§3-2變形連續(xù)條件§3-3應(yīng)變增量和應(yīng)變速率張量

§3-4應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性第57頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一全量應(yīng)變與增量應(yīng)變§3-3

應(yīng)變增量和應(yīng)變速率張量

全量應(yīng)變又叫有限應(yīng)變、總應(yīng)變，是變形歷史中某一時(shí)刻之前已經(jīng)發(fā)生的應(yīng)變總和。增量應(yīng)變又叫瞬時(shí)應(yīng)變、無限小應(yīng)變，是變形歷史中某一瞬間正在發(fā)生的無限小應(yīng)變。應(yīng)變速率表示變形體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)距離改變的快慢，也即各點(diǎn)位移速度的差別。第58頁，共66頁，2023年，2月20日，星期一物體質(zhì)點(diǎn)位移增量瞬時(shí)應(yīng)變增量張量第59