拱橋撓度理論

撓度理論的控制平衡微分方程撓度理論控制微分方程求解方法變截面（Ritter函數）拱的基本解變截面（）拱的基本解變截面（）拋物線拱的基本解等截面拱的攝動法及其它數值法簡介小結本章參考文獻19拱橋撓度理論

1886年由J·Melen提出的吊橋撓度理論已被人們廣泛接受并應用到工程實際中去。1988年由西安公路學院何福照教授提出的拱橋撓度理論[1]經過十多年的研究完善，正逐步被人們所認識[2][3][4]。與吊橋撓度理論的分析結果相反，拱橋考慮撓度影響后內力大于不考慮此影響的內力，這意味著應用彈性理論所設計的拱橋存在不安全隱患。本章著重介紹撓度理論的精確解析法，簡介有關非線性數值分析方面的內容，詳細討論可參閱文獻[2][6]撓度理論的控制平衡微分方程(1)分析假定（a）平截面假定：即截面法線方向與切線方向的夾角在變形前后保持不變；（b）彈性中心不動假定：即將拱軸變形引起彈性中心位置的改變量忽略不計；（c）恒、活載可疊加假定：即認為可將恒、活載分別分析，然后疊加求得總內力。這樣處理雖附合加載順序及設計習慣，但不符合非線性理論的一般規(guī)律，在計算中，若有必要，應將恒、活載作用一并考慮，并不影響這一理論的應用。2)平衡微分方程如下圖所示，撓度理論的控制微分方程為[2]（1）恒載階段平衡微分方程為

邊界條件為約束方程為（2）外載階段平衡微分方程為

邊界條件為約束方程為撓度理論控制微分方程求解方法無論是恒載階段，還是活載階段，撓度理論的控制微分方程均可以寫為

邊界條件為約束方程為常見的變截面拱有以下三種變化規(guī)律（1）函數，即

（2）時，即（3）時，且有與相似的規(guī)律拱頂截面

此三種變化規(guī)律均可找到撓度理論的控制微分方程的解析解，按以下步驟即可獲得撓度理論的全部解答（1）滿足邊界條件求出方程的全解，但解中含有彈性中心的三個贅余力及拱軸力（2）利用及三個約束方程可求出三個贅余力（3）回代即可獲得全部變形及內力對于等截面拱，可獲得數值解變截面（Ritter函數）拱的基本解取進行分析，分析時仍按恒載作用階段及活載作用階段兩個階段進行1)恒載階段令

則

將以上關系代入恒載階段的控制方程，則方程變?yōu)?/p>

（1）撓度曲線由于恒載及結構都是對稱的，恒載撓曲也將是左右對稱的。因此，可以只討論在范圍內的解上式的齊次方程為

=0進行變量轉換，可令則齊次方程式可轉換成

這是標準的貝塞爾函數方程式。故可得其齊次解為1/3階的貝塞爾函數階的貝塞爾函數當用無窮級數表示時為控制方程式的特解可由拉格朗日參數變異法求得，即為和的朗斯基行列式，即于是方程的全解為將代入上式，并取，則上式可改寫為其中：

（2）待定常數將方程的全解及其導數代入邊界條件，解得待定常數為其中：

（3）贅余力將方程的全解及其導數代入約束方程，可整理出求解贅余力方程為2）外載階段外載作用時的控制方程與恒載作用時類似，但此時撓曲線將不再對稱?？梢苑謩e對左半拱及右半拱進行討論，并要求撓曲線在原點連續(xù)，即與恒載作用階段相似，令將控制方程式改寫成（1）的區(qū)段同樣進行變量轉換，令可將外載作用的齊次方程轉換成標準貝塞爾函數方程式與恒載階段相仿，可得時的撓度表達式為將的表達式代入上式，則可將上式改寫成以贅余力表達的形式，即式中：

（2）≤0的區(qū)段作與≥0的相似的變換，同理可得

上式中的、與前式中的表達式形式是相同的，只是計算時應取負值，即。式中系數

也與前式中相應的系數表達式完全相同，只需注意將取成負值需要指出的是，及反映的是活載推力在恒載撓度上產生的附加力矩，此時計算的活載撓度曲線是以變形后的拱軸線即變?yōu)楹蟮妮S線為基礎的。但此時彈性中心至拱頂的距離仍近似認為不變（基本假定2）。（3）待定常數將兩撓度式及其導數代入邊界條件式及拱頂處撓曲線變形連續(xù)條件式，經整理后可解得式待定常數值為式中：

（4）贅余力將兩撓度式及其導數代入約束方程式，經整理化簡后即可得到求解贅余力的方程組式中彈性中心黎處的贅余枕未知力解介出后，不待難求得拱津各截面計忍入拱的撓蠢度理論后劇的內力值臺及撓度值變截面（或）魚拱的基本誦解1）暖恒載瘋階段令黃則控制方忘程式（變算為其全解怨為將上式及街其導數代磨入邊界條暴件方程式故中，經整科理有其中：且將其及嶄其導數瓶代入約徹束方程察中，經單整理有式中：2）技外載階段令告，用同產樣的方賀法可得（1）妖撓曲線喘方程其中：(2)待鋤定系數（3）贅秋余力式中：變截面（崖）拋物線鈔拱的基本避解設拱軸方雄程為令神，傾則控制方程方程可烏以寫為式中：按照前副述辦法某，可以套解得撓光度方程洞及內力1）丙撓度曲線式中：2）秤贅余居力式中：等截面村拱的攝熟動法簡疾介以外載階弄段方程為蝴例，令將控制方程式改寫為并轉化為脆積分方程其中常數洋為分部積拆分有將駱的有縮慧關表達拌式代入約束方程徒式中有式中：將式各函榨數及自變突量無量剛案化，即令——外荷載將以上播各參數恩分別代嘆入，可替得攝動弟方程為其中：如將暢、互作纏為攝動際參數，劣將姓和驚展為每、的無窮顫級數，議即則可獲得脾攝動解，訓詳細討論鑒見文獻[詳2]。拱橋的撓江度理論控乘制方程還羨可以用其費它數值方吸法求解。在4中，遍對系桿拱向橋的拱結未構分析按北撓度理論宵求解，對配梁結構分棗析考慮非淺線性影響[7]，則可獲死得系桿拱稿的非線性夢解小結（1）場彈性理游論若摩=哀0的或谷（差）券，則獲握彈性理疾論方程（2）暖線性撓耍度理論若參數獵、提為已知時師，則求解煉贅余力方矮程組成為線性方徐程組，內力與律荷載成線班性關系，錯疊加原理泛仍將適用姑，因而可難以用影響防線方法來廊求內力，澇稱為線性贏撓度理論漂。這時，梳可以用員彈性理摩論所得役的恒載撿推力值料代慮替參數中的請，使?jié)O成為戚已知值執(zhí)。如再五進一步芬忽略活院載推力花，使從也為盒已知，大即可據厚此求得營拱的內灣力影響跌線，然嚼后在影噸響線上擇加載求際內力。瘋這不僅照使計算美簡化，埋使用方散便，也振能直觀殖反映推攻力、撓架度對內門力的影嘗響程度窗。大多數鑼拱橋的贈恒載遠艷大于活韻載，用可線性撓嶺度理論翼計算其串活載內駕力也是票可行的（3）撓追度理論的話彈性中心撓性理蠻論中的債彈性中完心位置蠻已不能饑使撓度法理論中毯求解彈縫性中心強贅余力儀方程的角副系數頑為零。但就線堂性撓度理競論而言，也仍然存在凈變位互等晚性，即剪愧力不引起尖彈性中心賄的水平位駐移和轉角炒位移，同廣時水平力型和彎矩對筍彈性中心旁的相對豎猾向位移的末貢獻也為丙零。另外租，從線性莊撓度理論芽中可以證宇明，單位紅水平力引備起的彈性墳中心相對償轉角與單荒位彎矩引蔽起的彈性妖中心相對博水平位移電是相等的要確定撓往度理論時鋒的彈性中溜心位置關，可禿以在求解始贅余力方赤程中令副秋系數如絮，從彼而解出為在恒載餅作用階菊段，同園樣可求剪解，由超此可見禮，撓度理論庫中的彈性子中心位置施不但與拱騾圈的幾何越因素有關畜，而且與速外荷截及其升作用位置賓有關，如果在潤分析時采豎用這個彈摧性中心，賺不但計算識繁復，也巖不便與彈酷性理論作隔比較。分析表紐奉明兩者惜的差別衡是微小宣的，因此，侍在基本假免定中認為潑變形前后誦彈性中心等的位置不春變。（4）等壁截面拱等截面毒拱橋的將精確解峽析式較仇難得出五，可用襲數值方號法求解蠢，如攝故動法[3]，但以貸上特征笑是共同里的。（5）央其它支哄承拱橋本章僅樹對無鉸拱進行了翼分析研盜究，對獄于其它善支承的比拱橋，憑如兩鉸拱犁，三鉸墓拱，引亦入類似能的邊界夠條件，離并修正憶約束方派程，按單照求解柏無鉸拱充的思路休可以求墻解，可參見遍文獻[2雙]（6）數桿值分析表婦明，跨徑10獨0m左右蒼的拱橋，晉撓度理論潛結果與彈秒性理論有遞時相差達寶20%左杰右，且跨話徑、剛度訴等對結果濤影響較大，這不繳能不引簡起大跨釣徑柔性援拱設計狼時注意怠。本章參考枕文獻[1]文何福照閣等.拱刃的撓度瘡理論——按非線停性理論羞設計大檔跨徑拱撇橋.中搏國土木頓工程學接會橋梁油及結構乓工程學述會學術額會議論瘦文，1盒988沸.[2]賀貞拴海.拱冤橋撓度理屈論.北京道：人民交跡通出版社朋，199稼6.[3]淺李子青弊.等截節(jié)面無鉸愧拱的撓勤度理論該分析.滅西安公吼路學院驅碩士論脂文，1撓988謝.3.[4]李蔬毅謙.變飛截面無鉸靜拱的撓度某理論分析