拱橋撓度理論

撓度理論的控制平衡微分方程撓度理論控制微分方程求解方法變截面（Ritter函數(shù)）拱的基本解變截面（）拱的基本解變截面（）拋物線拱的基本解等截面拱的攝動(dòng)法及其它數(shù)值法簡(jiǎn)介小結(jié)本章參考文獻(xiàn)19拱橋撓度理論

1886年由J·Melen提出的吊橋撓度理論已被人們廣泛接受并應(yīng)用到工程實(shí)際中去。1988年由西安公路學(xué)院何福照教授提出的拱橋撓度理論[1]經(jīng)過(guò)十多年的研究完善，正逐步被人們所認(rèn)識(shí)[2][3][4]。與吊橋撓度理論的分析結(jié)果相反，拱橋考慮撓度影響后內(nèi)力大于不考慮此影響的內(nèi)力，這意味著應(yīng)用彈性理論所設(shè)計(jì)的拱橋存在不安全隱患。本章著重介紹撓度理論的精確解析法，簡(jiǎn)介有關(guān)非線性數(shù)值分析方面的內(nèi)容，詳細(xì)討論可參閱文獻(xiàn)[2][6]撓度理論的控制平衡微分方程(1)分析假定（a）平截面假定：即截面法線方向與切線方向的夾角在變形前后保持不變；（b）彈性中心不動(dòng)假定：即將拱軸變形引起彈性中心位置的改變量忽略不計(jì)；（c）恒、活載可疊加假定：即認(rèn)為可將恒、活載分別分析，然后疊加求得總內(nèi)力。這樣處理雖附合加載順序及設(shè)計(jì)習(xí)慣，但不符合非線性理論的一般規(guī)律，在計(jì)算中，若有必要，應(yīng)將恒、活載作用一并考慮，并不影響這一理論的應(yīng)用。2)平衡微分方程如下圖所示，撓度理論的控制微分方程為[2]（1）恒載階段平衡微分方程為

邊界條件為約束方程為（2）外載階段平衡微分方程為

邊界條件為約束方程為撓度理論控制微分方程求解方法無(wú)論是恒載階段，還是活載階段，撓度理論的控制微分方程均可以寫(xiě)為

邊界條件為約束方程為常見(jiàn)的變截面拱有以下三種變化規(guī)律（1）函數(shù)，即

（2）時(shí)，即（3）時(shí)，且有與相似的規(guī)律拱頂截面

此三種變化規(guī)律均可找到撓度理論的控制微分方程的解析解，按以下步驟即可獲得撓度理論的全部解答（1）滿足邊界條件求出方程的全解，但解中含有彈性中心的三個(gè)贅余力及拱軸力（2）利用及三個(gè)約束方程可求出三個(gè)贅余力（3）回代即可獲得全部變形及內(nèi)力對(duì)于等截面拱，可獲得數(shù)值解變截面（Ritter函數(shù)）拱的基本解取進(jìn)行分析，分析時(shí)仍按恒載作用階段及活載作用階段兩個(gè)階段進(jìn)行1)恒載階段令

則

將以上關(guān)系代入恒載階段的控制方程，則方程變?yōu)?/p>

（1）撓度曲線由于恒載及結(jié)構(gòu)都是對(duì)稱的，恒載撓曲也將是左右對(duì)稱的。因此，可以只討論在范圍內(nèi)的解上式的齊次方程為

=0進(jìn)行變量轉(zhuǎn)換，可令則齊次方程式可轉(zhuǎn)換成

這是標(biāo)準(zhǔn)的貝塞爾函數(shù)方程式。故可得其齊次解為1/3階的貝塞爾函數(shù)階的貝塞爾函數(shù)當(dāng)用無(wú)窮級(jí)數(shù)表示時(shí)為控制方程式的特解可由拉格朗日參數(shù)變異法求得，即為和的朗斯基行列式，即于是方程的全解為將代入上式，并取，則上式可改寫(xiě)為其中：

（2）待定常數(shù)將方程的全解及其導(dǎo)數(shù)代入邊界條件，解得待定常數(shù)為其中：

（3）贅余力將方程的全解及其導(dǎo)數(shù)代入約束方程，可整理出求解贅余力方程為2）外載階段外載作用時(shí)的控制方程與恒載作用時(shí)類似，但此時(shí)撓曲線將不再對(duì)稱。可以分別對(duì)左半拱及右半拱進(jìn)行討論，并要求撓曲線在原點(diǎn)連續(xù)，即與恒載作用階段相似，令將控制方程式改寫(xiě)成（1）的區(qū)段同樣進(jìn)行變量轉(zhuǎn)換，令可將外載作用的齊次方程轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)貝塞爾函數(shù)方程式與恒載階段相仿，可得時(shí)的撓度表達(dá)式為將的表達(dá)式代入上式，則可將上式改寫(xiě)成以贅余力表達(dá)的形式，即式中：

（2）≤0的區(qū)段作與≥0的相似的變換，同理可得

上式中的、與前式中的表達(dá)式形式是相同的，只是計(jì)算時(shí)應(yīng)取負(fù)值，即。式中系數(shù)

也與前式中相應(yīng)的系數(shù)表達(dá)式完全相同，只需注意將取成負(fù)值需要指出的是，及反映的是活載推力在恒載撓度上產(chǎn)生的附加力矩，此時(shí)計(jì)算的活載撓度曲線是以變形后的拱軸線即變?yōu)楹蟮妮S線為基礎(chǔ)的。但此時(shí)彈性中心至拱頂?shù)木嚯x仍近似認(rèn)為不變（基本假定2）。（3）待定常數(shù)將兩撓度式及其導(dǎo)數(shù)代入邊界條件式及拱頂處撓曲線變形連續(xù)條件式，經(jīng)整理后可解得式待定常數(shù)值為式中：

（4）贅余力將兩撓度式及其導(dǎo)數(shù)代入約束方程式，經(jīng)整理化簡(jiǎn)后即可得到求解贅余力的方程組式中彈性中心黎處的贅余枕未知力解介出后，不待難求得拱津各截面計(jì)忍入拱的撓蠢度理論后劇的內(nèi)力值臺(tái)及撓度值變截面（或）魚(yú)拱的基本誦解1）暖恒載瘋階段令黃則控制方忘程式（變算為其全解怨為將上式及街其導(dǎo)數(shù)代磨入邊界條暴件方程式故中，經(jīng)整科理有其中：且將其及嶄其導(dǎo)數(shù)瓶代入約徹束方程察中，經(jīng)單整理有式中：2）技外載階段令告，用同產(chǎn)樣的方賀法可得（1）妖撓曲線喘方程其中：(2)待鋤定系數(shù)（3）贅秋余力式中：變截面（崖）拋物線鈔拱的基本避解設(shè)拱軸方雄程為令神，傾則控制方程方程可烏以寫(xiě)為式中：按照前副述辦法某，可以套解得撓光度方程洞及內(nèi)力1）丙撓度曲線式中：2）秤贅余居力式中：等截面村拱的攝熟動(dòng)法簡(jiǎn)疾介以外載階弄段方程為蝴例，令將控制方程式改寫(xiě)為并轉(zhuǎn)化為脆積分方程其中常數(shù)洋為分部積拆分有將駱的有縮慧關(guān)表達(dá)拌式代入約束方程徒式中有式中：將式各函榨數(shù)及自變突量無(wú)量剛案化，即令——外荷載將以上播各參數(shù)恩分別代嘆入，可替得攝動(dòng)弟方程為其中：如將暢、互作纏為攝動(dòng)際參數(shù)，劣將姓和驚展為每、的無(wú)窮顫級(jí)數(shù)，議即則可獲得脾攝動(dòng)解，訓(xùn)詳細(xì)討論鑒見(jiàn)文獻(xiàn)[詳2]。拱橋的撓江度理論控乘制方程還羨可以用其費(fèi)它數(shù)值方吸法求解。在4中，遍對(duì)系桿拱向橋的拱結(jié)未構(gòu)分析按北撓度理論宵求解，對(duì)配梁結(jié)構(gòu)分棗析考慮非淺線性影響[7]，則可獲死得系桿拱稿的非線性夢(mèng)解小結(jié)（1）場(chǎng)彈性理游論若摩=哀0的或谷（差）券，則獲握彈性理疾論方程（2）暖線性撓耍度理論若參數(shù)獵、提為已知時(shí)師，則求解煉贅余力方矮程組成為線性方徐程組，內(nèi)力與律荷載成線班性關(guān)系，錯(cuò)疊加原理泛仍將適用姑，因而可難以用影響防線方法來(lái)廊求內(nèi)力，澇稱為線性贏撓度理論漂。這時(shí)，梳可以用員彈性理摩論所得役的恒載撿推力值料代慮替參數(shù)中的請(qǐng)，使?jié)O成為戚已知值執(zhí)。如再五進(jìn)一步芬忽略活院載推力花，使從也為盒已知，大即可據(jù)厚此求得營(yíng)拱的內(nèi)灣力影響跌線，然嚼后在影噸響線上擇加載求際內(nèi)力。瘋這不僅照使計(jì)算美簡(jiǎn)化，埋使用方散便，也振能直觀殖反映推攻力、撓架度對(duì)內(nèi)門(mén)力的影嘗響程度窗。大多數(shù)鑼拱橋的贈(zèng)恒載遠(yuǎn)艷大于活韻載，用可線性撓嶺度理論翼計(jì)算其串活載內(nèi)駕力也是票可行的（3）撓追度理論的話彈性中心撓性理蠻論中的債彈性中完心位置蠻已不能饑使撓度法理論中毯求解彈縫性中心強(qiáng)贅余力儀方程的角副系數(shù)頑為零。但就線堂性撓度理競(jìng)論而言，也仍然存在凈變位互等晚性，即剪愧力不引起尖彈性中心賄的水平位駐移和轉(zhuǎn)角炒位移，同廣時(shí)水平力型和彎矩對(duì)筍彈性中心旁的相對(duì)豎猾向位移的末貢獻(xiàn)也為丙零。另外租，從線性莊撓度理論芽中可以證宇明，單位紅水平力引備起的彈性墳中心相對(duì)償轉(zhuǎn)角與單荒位彎矩引蔽起的彈性妖中心相對(duì)博水平位移電是相等的要確定撓往度理論時(shí)鋒的彈性中溜心位置關(guān)，可禿以在求解始贅余力方赤程中令副秋系數(shù)如絮，從彼而解出為在恒載餅作用階菊段，同園樣可求剪解，由超此可見(jiàn)禮，撓度理論庫(kù)中的彈性子中心位置施不但與拱騾圈的幾何越因素有關(guān)畜，而且與速外荷截及其升作用位置賓有關(guān)，如果在潤(rùn)分析時(shí)采豎用這個(gè)彈摧性中心，賺不但計(jì)算識(shí)繁復(fù)，也巖不便與彈酷性理論作隔比較。分析表紐奉明兩者惜的差別衡是微小宣的，因此，侍在基本假免定中認(rèn)為潑變形前后誦彈性中心等的位置不春變。（4）等壁截面拱等截面毒拱橋的將精確解峽析式較仇難得出五，可用襲數(shù)值方號(hào)法求解蠢，如攝故動(dòng)法[3]，但以貸上特征笑是共同里的。（5）央其它支哄承拱橋本章僅樹(shù)對(duì)無(wú)鉸拱進(jìn)行了翼分析研盜究，對(duì)獄于其它善支承的比拱橋，憑如兩鉸拱犁，三鉸墓拱，引亦入類似能的邊界夠條件，離并修正憶約束方派程，按單照求解柏?zé)o鉸拱充的思路休可以求墻解，可參見(jiàn)遍文獻(xiàn)[2雙]（6）數(shù)桿值分析表婦明，跨徑10獨(dú)0m左右蒼的拱橋，晉撓度理論潛結(jié)果與彈秒性理論有遞時(shí)相差達(dá)寶20%左杰右，且跨話徑、剛度訴等對(duì)結(jié)果濤影響較大，這不繳能不引簡(jiǎn)起大跨釣徑柔性援拱設(shè)計(jì)狼時(shí)注意怠。本章參考枕文獻(xiàn)[1]文何福照閣等.拱刃的撓度瘡理論——按非線停性理論羞設(shè)計(jì)大檔跨徑拱撇橋.中搏國(guó)土木頓工程學(xué)接會(huì)橋梁油及結(jié)構(gòu)乓工程學(xué)述會(huì)學(xué)術(shù)額會(huì)議論瘦文，1盒988沸.[2]賀貞拴海.拱冤橋撓度理屈論.北京道：人民交跡通出版社朋，199稼6.[3]淺李子青弊.等截節(jié)面無(wú)鉸愧拱的撓勤度理論該分析.滅西安公吼路學(xué)院驅(qū)碩士論脂文，1撓988謝.3.[4]李蔬毅謙.變飛截面無(wú)鉸靜拱的撓度某理論分析