平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差

平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差第1頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一本次課內(nèi)容一、計(jì)量資料的頻數(shù)分布二、集中趨勢(shì)指標(biāo)三、離散趨勢(shì)指標(biāo)四、正態(tài)分布第2頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一計(jì)量資料（復(fù)習(xí)）統(tǒng)計(jì)描述（statisticaldescription)：對(duì)資料的屬性、特點(diǎn)進(jìn)行的有關(guān)敘述、顯示、計(jì)算等，是統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。描述必須基于資料的分布(distribution)類型，主要是資料的分布特征。分布類型不同，統(tǒng)計(jì)指標(biāo)不同。第3頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一分布：數(shù)值在所研究樣本（或總體）中的存在狀態(tài)，通常用頻數(shù)(frequency)來表示。頻數(shù)：某變量值出現(xiàn)的次數(shù)（某現(xiàn)象發(fā)生的次數(shù)）。第4頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一某市1995年110名7歲男童的身高(cm）頻數(shù)表第5頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一身高(cm)某市1995年110名7歲男童的身高分布直方圖第6頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一頻數(shù)表揭示頻數(shù)的兩個(gè)重要特征：集中趨勢(shì)（centraltendency):數(shù)值高低不等，但中等水平的人數(shù)最多。離散趨勢(shì)（tendencyofdispersion):數(shù)值之間參差不齊；逐漸變大（或變?。┑娜藬?shù)漸少。向兩端分散。兩方面含義：數(shù)值大小和位置。第7頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一集中趨勢(shì)centraltendency平均數(shù)（average)：用于描述數(shù)值變量資料的集中趨勢(shì)（平均水平）。特點(diǎn)：簡(jiǎn)明概括，便于比較。包括：算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)，中位數(shù)，百分位數(shù)第8頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一1、算術(shù)平均數(shù)（arithmeticmean)一組變量值之和除以變量值個(gè)數(shù)所得的商,簡(jiǎn)稱均數(shù)?？傮w均數(shù)μ，樣本均數(shù)表示。適用條件：資料成正態(tài)分布（或近似正態(tài)，或?qū)ΨQ分布）。計(jì)算方法：直接法，加權(quán)法第9頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一直接法：當(dāng)樣本的觀察值個(gè)數(shù)不多時(shí)，將各觀察值X1，X2，……，Xn相加再除以觀察值的個(gè)數(shù)n（樣本含量）即得均數(shù)。公式：第10頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一加權(quán)法weightedmethod當(dāng)觀察值個(gè)數(shù)較多時(shí)，可先將各觀察值分組歸納成頻數(shù)表，用加權(quán)法求均數(shù)。利用頻數(shù)表，計(jì)算組中值（為本組段的下限與相鄰較大組段的下限的均值），各組段頻數(shù)與組中值的乘積，近似等于該組變量值之和，各乘積之和除以總頻數(shù)，所得的商，就是均數(shù)。第11頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一加權(quán)法計(jì)算算數(shù)均數(shù)的公式第12頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一例題：計(jì)算算術(shù)均數(shù)直接法：略第13頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一加權(quán)法第14頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一均數(shù)的兩個(gè)重要屬性：（1）各離均差（各觀察值與均數(shù)之差）的總和等于零。（2）離均差的平方和小于各個(gè)觀察值X與任何數(shù)a()之差的平方和。均數(shù)是一組觀察值理想的代表值。第15頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一均數(shù)的應(yīng)用：（1）只能在合理分布的基礎(chǔ)上，對(duì)同質(zhì)事物求均數(shù)才有意義，才能反映事物的特性。（2）均數(shù)最適用于對(duì)稱分布，尤其是正態(tài)分布資料。此時(shí)，均數(shù)位于分布的中央，能反映觀察值的集中趨勢(shì)。第16頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一2、幾何均數(shù)geometricmeanG將n個(gè)觀察值的乘積再開n次方的方根（或各觀察值對(duì)數(shù)值均值的反對(duì)數(shù)）。適用條件：（1）觀察值為非對(duì)稱分布，差距較大，用算術(shù)均數(shù)表示其平均水平會(huì)受少數(shù)特大或特小值影響；第17頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一（2）數(shù)值按大小順序排列后，各觀察值呈倍數(shù)關(guān)系或近似倍數(shù)關(guān)系。如：抗體滴度，藥物效價(jià)等幾何均數(shù)是算數(shù)均數(shù)的近似值。第18頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一直接法:當(dāng)觀察例數(shù)不多時(shí)采用。加權(quán)法：觀察例數(shù)多時(shí)采用。第19頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一為什么滴度資料的幾何均數(shù)需校正？假設(shè)有13人接種疫苗后抗體滴度為：1/20，1/20，1/40，1/40，1/40，1/80，1/80，1/80，1/80，1/80，1/80，1/160，1/320可以證明，這種取下限值的計(jì)算，會(huì)使得到的幾何均數(shù)偏小，即：幾何均數(shù)在取反對(duì)數(shù)之前偏小半個(gè)組距（在作d倍稀釋時(shí)就是1/2lgd）。第20頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一幾何均數(shù)的應(yīng)用：（1）常用于等比級(jí)數(shù)資料，滴度，效價(jià)，衛(wèi)生事業(yè)平均發(fā)展速度，人口幾何增長(zhǎng)，對(duì)數(shù)正態(tài)分布資料；（2）觀察值不能有0；（3）觀察值不能同時(shí)有正值和負(fù)值。（4）同一組資料求得的幾何均數(shù)小于算術(shù)均數(shù)。第21頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一幾何均數(shù)的計(jì)算3，4，5，6，17，算數(shù)均數(shù)：幾何均數(shù)：第22頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一3、中位數(shù)（median,M)：位于中間位置上的數(shù)值。把一組觀察值，按大小順序排列，位置居中的變量值（奇數(shù)個(gè)）或位置居中的兩個(gè)變量值的均值（偶數(shù)個(gè)）。是位置指標(biāo)，以中位數(shù)為界，將觀察值分為兩半，有一半比它大，一般比它小。第23頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一中位數(shù)適用于：（1）資料偏態(tài)分布；（2）兩端無確定數(shù)值；（3）資料分布不清楚；潛伏期，毒物測(cè)定值等用中位數(shù)表示其集中趨勢(shì)。第24頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一中位數(shù)的算法：未分組資料，依變量個(gè)數(shù)定。

第25頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一分組資料，用下公式。L:中位數(shù)所在組的下限W:中位數(shù)所在組的寬度f:中位數(shù)所在組的頻數(shù)（例數(shù)）n:總頻數(shù)C:中位數(shù)所在組的前一組的累計(jì)頻數(shù)第26頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一中位數(shù)常用于描述偏態(tài)分布資料的集中趨勢(shì)，它反映居中位置的變量值的大小。不受特大，特小值的影響，只受位置居中的觀察值的影響，因而不夠敏感。

而均數(shù)，幾何均數(shù)是由全部觀察值綜合計(jì)算出的，敏感性好。理論上，中位數(shù)等于算術(shù)均數(shù)。第27頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一例題：

中位數(shù)的計(jì)算P24

第28頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一4、百分位數(shù)(percentile,P)：位于某個(gè)百分位置上的數(shù)值。把一組數(shù)據(jù)從小到大排列，分成100等份，各等份含1%的觀察值，處在分割界線上的數(shù)值，就是百分位數(shù)，Pr表示。第29頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一百分位數(shù)將總體或樣本的全部觀察值分為兩部分，理論上有r%的觀察值比它小，有（100-r）%的觀察值比它大。如含量為n的樣本，P5即表示：理論上有n5%個(gè)觀察值比P5小，有n95%個(gè)觀察值比P5大。常用的百分位數(shù)：5，25，75，95分位數(shù)。第30頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一百分位數(shù)頻數(shù)表法計(jì)算：Pr:百分位數(shù)；L:該百分位數(shù)所在組段的下限；W:組距；f:該百分位數(shù)所在組段的頻數(shù)；C:小于L的各組段的累積頻數(shù)；n:樣本數(shù)中位數(shù)是特殊的百分位數(shù)。第31頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一第32頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一圖解法計(jì)算百分位數(shù)也可用圖解法:橫軸:變量值;縱軸:累計(jì)百分?jǐn)?shù)p25第33頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一百分位數(shù)常用于描述一組資料在某百分位置上的水平和分布特征。多個(gè)百分位數(shù)結(jié)合使用，可更全面地描述總體或樣本的分布特征，包括位置大小和變異度。第34頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一例題：百分位數(shù)的計(jì)算，P25第35頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一百分位數(shù)常用于確定醫(yī)學(xué)正常值范圍（normalrange)。醫(yī)學(xué)正常值范圍，不用樣本觀察值的極差，習(xí)慣上用包括95%正常人的界值，百分位數(shù)是數(shù)列的百分界值。如：白細(xì)胞數(shù)的確定，過高，過低都屬異常，故計(jì)算P2.5，P97.5,為雙側(cè)的正常值范圍。第36頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一如：肺活量95%正常值范圍，只有過低算異常，故計(jì)算P5.如：尿鉛,過高為異常，故計(jì)算P95.第37頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一一般地說，分布中部的百分位數(shù)相當(dāng)穩(wěn)定，具有較好代表性，靠近兩端的百分位數(shù)，只在樣本含量足夠大時(shí)，才穩(wěn)定，故樣本量不夠大時(shí)，不應(yīng)取太近兩端的百分位數(shù)。以上是集中趨勢(shì)指標(biāo)。第38頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一腦筋急轉(zhuǎn)彎：

請(qǐng)看下面數(shù)據(jù)，有問題嗎？A:89101112B:37101317兩組均數(shù)都為10，但離散程度不同，B組較大。均數(shù)只反映平均水平，不能反映離散度。第39頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一離散趨勢(shì)tendencyofdispersion全距，四分位數(shù)間距，方差，標(biāo)準(zhǔn)差，變異系數(shù)。全距（Range)：極大與極小值之差。全距大，資料離散程度大，但易受極端值大小的影響。樣本量越大，抽到極端值的可能性越大，全距可能會(huì)越大。故：全距不宜單獨(dú)使用。第40頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一

四分位數(shù)間距（quartileintervalQ)：將一組資料分為四等份，上四分位數(shù)P75和下四分位數(shù)P25之差，叫四分位數(shù)間距。意義：Q越大，離散程度越大，通常用于描述偏態(tài)分布資料的離散程度。第41頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一優(yōu)點(diǎn)：比全距穩(wěn)定；若資料一端或兩端無確切數(shù)值，只能選擇Q作為離散指標(biāo)。

缺點(diǎn)：未考慮全部觀察值，不能全面反映資料離散趨勢(shì)。第42頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一方差（variance)和標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviationSD)對(duì)總體而言，為了克服極差和四分位數(shù)間距的缺點(diǎn)，要描述資料的離散趨勢(shì)，必須考慮到各個(gè)觀察值，離均差的平方和是最好的指標(biāo)，

第43頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一總體方差：樣本方差：為了消除例數(shù)的影響，其取均值，就是方差。第44頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)差：方差的平方根的正值?？傮w的標(biāo)準(zhǔn)差：樣本的標(biāo)準(zhǔn)差：自由度=n-1第45頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一自由度：一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，若樣本均值x確定后，只有n-1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個(gè)數(shù)據(jù)則不能自由取值。第46頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一樣本方差除以自由度，從實(shí)際應(yīng)用角度看，在抽樣估計(jì)中，當(dāng)用樣本方差去估計(jì)總體方差σ2時(shí)，它是σ2的無偏估計(jì)量.第47頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一樣本的標(biāo)準(zhǔn)差：第48頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一第49頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一xx21181392412214884989604104108161221488412214884686（合計(jì)）78996（合計(jì)）血紅蛋白數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算：第50頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一分組資料的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算第51頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一方差，標(biāo)準(zhǔn)差意義：方差，標(biāo)準(zhǔn)差越大，變異程度越大。其值越小，觀察值的離散度越小，用均數(shù)反映平均水平的代表性越好。第52頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一了解一下：離均差平方和是表示某變量總變異的一種形式，即：第53頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一關(guān)于離均差平方和的三條規(guī)則1、原始數(shù)據(jù)加（減）一個(gè)數(shù)，離均差平方和或積和不變。2、原始數(shù)據(jù)除以一個(gè)數(shù)，則簡(jiǎn)化計(jì)算出的離均差平方和要乘上該數(shù)的平方。3、如將兩變量之一除以一個(gè)數(shù)，則離均差積和要乘以該數(shù)；如同時(shí)另一變量也除以一個(gè)數(shù)，則離均差積和要同時(shí)乘上該兩數(shù)。第54頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用（1）反映一組觀察值的離散程度：

直接比較標(biāo)準(zhǔn)差：數(shù)值單位相同;計(jì)算變異系數(shù)：數(shù)值單位不同;第55頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一變異系數(shù)（coefficientofvariation,CV)也稱離散系數(shù)（coefficientofdispersion)標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)之比用百分?jǐn)?shù)表示。公式：第56頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一常用于比較度量單位不同或均數(shù)相差懸殊的資料的變異。同時(shí)考慮了均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，更客觀。比如：身高，體重的變異比較；第57頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一（2）估計(jì)變量值的頻數(shù)分布正態(tài)曲線，正態(tài)分布normaldistribution正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布面積(或概率)μ-1σ~μ+1σ-1~+168.27%μ–1.96σ~μ+1.96σ-1.96~+1.9695.00%μ–2.58σ~μ+2.58σ-2.58~+2.5899.00%第58頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一（3）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤（4）估計(jì)醫(yī)學(xué)正常值范圍：雙側(cè)：均數(shù)±1.96倍標(biāo)準(zhǔn)差單側(cè)：均數(shù)±1.645倍標(biāo)準(zhǔn)差第59頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一概念：又稱高斯分布。頻數(shù)分布以均數(shù)為中心，左右兩側(cè)基本對(duì)稱，靠近均數(shù)兩側(cè)頻數(shù)較多，離均數(shù)愈遠(yuǎn)，頻數(shù)愈少，形成一個(gè)中間多，兩側(cè)逐漸減少，基本對(duì)稱的分布。是一種連續(xù)型分布。正態(tài)分布(normaldistribution)第60頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)樣本量擴(kuò)大，組段分細(xì)，頻數(shù)分布圖中的直條變窄，表現(xiàn)出中間高，兩側(cè)逐漸降低，并完全對(duì)稱的特點(diǎn)；如果將各直條頂端的中點(diǎn)連線，就接近于一條光滑的曲線，稱為正態(tài)曲線。用N(μ,)表示，其位置與均數(shù)有關(guān)，形狀與標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)。第61頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一醫(yī)學(xué)現(xiàn)象許多呈正態(tài)分布，或近似正態(tài)分布。如：正常人的生理，生化指標(biāo)變量，等。第62頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一高斯(JohannCarlFriedrichGauss）生于1777年4月30日于不倫瑞克，卒于1855年2月23日于哥廷根，德國著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家、物理學(xué)家。被認(rèn)為是最重要的數(shù)學(xué)家，并有數(shù)學(xué)王子的美譽(yù)。第63頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一第64頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一對(duì)稱分布正（右）偏分布負(fù)（左）偏分布幾種常見的頻數(shù)分布第65頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一正態(tài)分布之所以重要,原因很多,三個(gè)主要的原因:1.正態(tài)分布在分析上較易處理。2.正態(tài)分布之p.d.f.的圖形為鐘形曲線(bell-shapedcurve),再加上對(duì)稱性,使得很適合當(dāng)做不少事件之機(jī)率模式。3.正態(tài)分布可當(dāng)做不少大樣本的近似分布。概率密度函數(shù)（p.d.f.，probabilitydensityfunction）描述了隨機(jī)變量的機(jī)率分布，為累積分布函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

第66頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一概率密度函數(shù)（p.d.f.，probabilitydensityfunction）對(duì)于一維實(shí)隨機(jī)變量X，任何一個(gè)滿足下列條件的函數(shù)fX(x)都可以被定義為其概率密度函數(shù)：

隨機(jī)變量X在區(qū)間上的概率可以由其概率密度函數(shù)的定積分表示：而是X的累積分布函數(shù)，顯然概率密度函數(shù)是它的導(dǎo)函數(shù)。第67頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一從直方圖到正態(tài)曲線的過渡第68頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)：μ,決定了曲線的形狀和位置第69頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一第70頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一正態(tài)分布的密度函數(shù)（概率密度函數(shù)probabilitydensityfunction,p.d.f）：式中μ為均數(shù)；σ為標(biāo)準(zhǔn)差；π為圓周率；е為自然對(duì)數(shù)的底，即2.71828。以上均為常數(shù)，僅x為變量。第71頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:為了應(yīng)用方便，常將式進(jìn)行變量變換，u變換,u變換后，μ=0，σ=1，使原來的正態(tài)分布變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（SND,standardnormaldistribution）亦稱u分布。第72頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：正態(tài)分布曲線的模擬第73頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一正態(tài)分布的特征和分布規(guī)律：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交，當(dāng)x=μ時(shí)，曲線位于最高點(diǎn)。（2）曲線關(guān)于直線x=μ左右對(duì)稱。（3）正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù):均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差;標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的參數(shù)分別為:0,1（4）正態(tài)曲線在1σ,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線在1處各有一個(gè)拐點(diǎn),（5）正態(tài)分布的面積分布有一定規(guī)律。第74頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律正態(tài)曲線下，橫軸上一定區(qū)間的面積,等于該區(qū)間的頻數(shù)發(fā)生的概率。面積可用積分求得。F(x)為正態(tài)變量X的累計(jì)分布函數(shù)，反映正態(tài)曲線下，自-到x的面積，即左側(cè)累計(jì)面積。第75頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一第76頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一統(tǒng)計(jì)學(xué)家已經(jīng)按（4）編成了附表，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下的面積。應(yīng)用時(shí)注意：（1）當(dāng)總體μ，σ已知時(shí)，先計(jì)算u值，再用u值查表，得出所求區(qū)間面積占總面積的比例。如果未知，常分別用樣本均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)。（2）曲線下對(duì)稱于0的區(qū)間，面積相等。如：區(qū)間（，-2.58）與區(qū)間（2.58，）的面積相等。（3）曲線下橫軸上的總面積為100%或?yàn)?。根據(jù)后兩個(gè)特征，可計(jì)算右側(cè)累計(jì)面積。正態(tài)分布表的用法P545第77頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一單側(cè)，雙側(cè)的概念：以均數(shù)為對(duì)稱軸，只考慮低于（或高于）某值，為單側(cè)；若關(guān)心數(shù)值可高，可低，為雙側(cè)。第78頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布面積(或概率)μ-1σ__μ+1σ-1__+168.27%μ–1.96σ__μ+1.96σ-1.96__+1.9695.00%μ–2.58σ__μ+2.58σ-2.58__+2.5899.00%正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積分布規(guī)律第79頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下任意區(qū)間的面積有規(guī)律第80頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一（-1，1），68.27%（-1.96，1.96），95%（-2.58，2.58），99%雙側(cè)概率第81頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一單側(cè)概率第82頁，共91頁，2023年，2月20日，星期一正態(tài)曲線下面積的