2023屆四平市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知變量x，y呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為，則變量x，y是（）A．線性正相關(guān)關(guān)系 B．線性負(fù)相關(guān)關(guān)系C．由回歸方程無法判斷其正負(fù)相關(guān)關(guān)系 D．不存在線性相關(guān)關(guān)系2．“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相間，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（）A．72 B．108 C．144 D．1963．《數(shù)學(xué)統(tǒng)綜》有如下記載：“有凹錢，取三數(shù)，小小大，存三角”.意思是說“在凹（或凸）函數(shù)（函數(shù)值為正）圖象上取三個(gè)點(diǎn)，如果在這三點(diǎn)的縱坐標(biāo)中兩個(gè)較小數(shù)之和最大的數(shù)，則存在將這三點(diǎn)的縱坐標(biāo)值作為三邊長的三角形”.現(xiàn)已知凹函數(shù)，在上取三個(gè)不同的點(diǎn)，均存在為三邊長的三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．若函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A．-1 B．1 C．-1或1 D．05．乘積可表示為（）A． B． C． D．6．參數(shù)方程x=2t，A． B． C． D．7．已知函數(shù)則使函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[0，1) B．(－∞，1)C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)8．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A． B． C． D．9．在圓中，弦的長為4，則（）A．8 B．-8 C．4 D．-410．已知在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且為偶函數(shù)，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．11．若函數(shù)在時(shí)取得極值，則（）A． B． C． D．12．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，，若三棱錐體積的最大值為2，則球的表面積為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓柱的軸截面面積為2，則其側(cè)面積為___；14．已知函數(shù)，的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為_______．15．已知點(diǎn)M拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在圓上，則的最小值________．16．如圖在中，，，點(diǎn)是外一點(diǎn)，,則平面四邊形面積的最大值是___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，…）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（3）若，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),解不等式;(Ⅱ)若,對任意都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)（1）討論的極值；（2）當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間的最大值為M，最小值為m，求．20．（12分）數(shù)列滿足.（Ⅰ）計(jì)算，，，并由此猜想通項(xiàng)公式；（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明（Ⅰ）中的猜想.21．（12分）某同學(xué)參加了今年重慶市舉辦的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三門學(xué)科競賽的初賽，在成績公布之前，老師估計(jì)他能進(jìn)復(fù)賽的概率分別為、、，且這名同學(xué)各門學(xué)科能否進(jìn)復(fù)賽相互獨(dú)立．（1）求這名同學(xué)三門學(xué)科都能進(jìn)復(fù)賽的概率；（2）設(shè)這名同學(xué)能進(jìn)復(fù)賽的學(xué)科數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．22．（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中點(diǎn).（1）求證：平面EAC⊥平面PBC；（2）若a=2，求二面角P-AC-E的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)變量x，y的線性回歸方程的系數(shù)0，判斷變量x，y是線性負(fù)相關(guān)關(guān)系．【詳解】根據(jù)變量x，y的線性回歸方程是1﹣2x，回歸系數(shù)2＜0，所以變量x，y是線性負(fù)相關(guān)關(guān)系．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由線性回歸方程判斷變量是否正負(fù)相關(guān)問題，是基礎(chǔ)題目．2、C【解析】

分步完成，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選取．【詳解】按題意5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選?。虼颂罘倲?shù)為．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查分步計(jì)數(shù)原理．解題關(guān)鍵是確定完成這件事的方法．3、A【解析】

由題意，三點(diǎn)的縱坐標(biāo)中兩個(gè)較小數(shù)之和小于等于2，可得m2﹣m+2≤2，即可得出結(jié)論．【詳解】易知，所以，在上的最小值為.由題意可知，當(dāng)，∴或，，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查新定義，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．4、C【解析】

由f（x）為偶函數(shù)，得，化簡成xlg（x2+1﹣m2x2）＝0對恒成立，從而得到x2+1﹣m2x2＝1，求出m＝±1即可．【詳解】若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣x）＝f（x），即；得對恒成立，∴x2+1﹣m2x2＝1，∴（1﹣m2）x2＝0，∴1﹣m2＝0，∴m＝±1．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的定義，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，平方差公式，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】

根據(jù)對排列公式的認(rèn)識，進(jìn)行分析，解答即可【詳解】最大數(shù)為，共有個(gè)自然數(shù)連續(xù)相乘根據(jù)排列公式可得故選【點(diǎn)睛】本題是一道比較基礎(chǔ)的題型，主要考查的是排列與組合的理解，掌握排列數(shù)的公式是解題的關(guān)鍵6、D【解析】

由x=2t，得t=2x，代入y=2【詳解】由題意知x≠0，將t=2x代入y=解得y24-x22=1，因?yàn)椤军c(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程化普通方程一般有以下幾種消參方法：①加減消元法；②代入消元法；③平方消元法。消參時(shí)要注意參數(shù)本身的范圍，從而得出相關(guān)變量的取值范圍。7、D【解析】試題分析：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，作出的圖象，觀察它與直線的交點(diǎn)，得知當(dāng)時(shí)，或時(shí)有交點(diǎn)，即函數(shù)有零點(diǎn).考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)．點(diǎn)評：本題充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)，做題時(shí)注意三者之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化．8、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】，因此，復(fù)數(shù)的虛部為，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，對于復(fù)數(shù)問題，一般是利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算將復(fù)數(shù)表示為一般形式，進(jìn)而求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義，老鷹圓的垂徑定理，即可求得答案.詳解：如圖所示，在圓中，過點(diǎn)作于，則為的中點(diǎn)，在中，，可得，所以，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中涉及到圓的性質(zhì)，直角三角形中三角函數(shù)的定義和向量的數(shù)量積的公式等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力.10、A【解析】

分析：構(gòu)造新函數(shù)，利用已知不等式確定的單調(diào)性，詳解：設(shè)，則，由已知得，∴是減函數(shù)．∵是偶函數(shù)，∴的圖象關(guān)于直線對稱，∴，，的解集為，即的解集為．故選A．點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題關(guān)鍵是是構(gòu)造新函數(shù)，對于含有的已知不等式，一般要構(gòu)造新函數(shù)如，，，等等，從而能利用已知條件確定的單調(diào)性，再解出題中不等式的解集．11、D【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在時(shí)取得極值，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)在時(shí)取得極值，所以，解得.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，屬于?？碱}型.12、D【解析】分析：根據(jù)棱錐的最大高度和勾股定理計(jì)算球的半徑，從而得出外接球的表面積．詳解：因?yàn)?，所以，過的中點(diǎn)作平面的垂下，則球心在上，設(shè)，球的半徑為，則棱錐的高的最大值為，因?yàn)?，所以，由勾股定理得，解得，所以球的表面積為，故選D．點(diǎn)睛：本題考查了有關(guān)球的組合體問題，以及三棱錐的體積的求法，解答時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）利用球的截面的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程求解球的半徑．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意得圓柱的軸截面為底邊為，高為的矩形，根據(jù)幾何性質(zhì)即可求解?！驹斀狻吭O(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，由題意知，圓柱的軸截面為底邊為，高為的矩形，所以，即。所以側(cè)面積。【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的幾何性質(zhì)，表面積的求法，屬基礎(chǔ)題14、【解析】

求導(dǎo)后，若，則，可驗(yàn)證出不合題意；當(dāng)時(shí)，求解出的單調(diào)性，分別在，，三種情況下通過最大值取得的點(diǎn)構(gòu)造關(guān)于最值的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得：當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，解得：，不合題意，舍去當(dāng)時(shí)，令，解得：，可知在，上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增①當(dāng)，即時(shí)，解得：，不合題意，舍去②當(dāng)，即時(shí)，，解得：③當(dāng)，即時(shí)解得：，不合題意，舍去綜上所述：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是對于含有參數(shù)的函數(shù)，通過對極值點(diǎn)位置的討論確定最值取得的點(diǎn)，從而可利用最值構(gòu)造出方程，求解出參數(shù)的取值范圍.15、3【解析】

由題得拋物線的準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作于，根據(jù)拋物線的定義將問題轉(zhuǎn)化為的最小值，根據(jù)點(diǎn)在圓上，判斷出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，進(jìn)而求得答案.【詳解】由題得拋物線的準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作于，又，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，且，半徑為，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，所以的最小值為3.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與定義，與圓有關(guān)的最值問題，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的思想.16、.【解析】分析：利用余弦定理，設(shè),設(shè)AC=BC=m，則．由余弦定理把m表示出來，利用四邊形OACB面積為S=．轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)問題求解最值．詳解：△ABC為等腰直角三角形．∵OA=2OB=4，不妨設(shè)AC=BC=m，則．由余弦定理，42+22﹣2m2=16，∴．.當(dāng)時(shí)取到最大值.故答案為.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查余弦定理和三角形的面積的求法，考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是設(shè)，再建立三角函數(shù)的模型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極大值為-1，最小值為（2）（3）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求出極大值和極小值.（2）對求導(dǎo)后，令導(dǎo)數(shù)大于或等于零，對分成三類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求得取值范圍.（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，令這個(gè)最小值大于或等于零，解不等式來求得的取值范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值.（2），令，依題意，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上恒成立.當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，只須，即，所以.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，只須，即，所以.綜上，的取值范圍為.（3），即，令=，因?yàn)?，所以只須，令，，，因?yàn)?，所以，所以，即單調(diào)遞增，又，即單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值，考查利用導(dǎo)致求解參數(shù)的取值范圍問題，考查利用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立問題.綜合性較強(qiáng)，屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，主要是通過導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等性質(zhì)，結(jié)合恒成立問題或者存在性問題的求解策略來解決較為復(fù)雜的問題.18、(Ⅰ)(?∞,?5)∪（1,+∞)；(Ⅱ)(0,6]【解析】

(Ⅰ)由題知當(dāng)a=?1時(shí),不等式等價(jià)于|x+3|+|x+1|>6，根據(jù)絕對值的幾何意義能求出不等式的解集．

(Ⅱ)由,對任意都有，只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可，轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題建立不等關(guān)系式，由此能求出a的取值范圍．【詳解】(Ⅰ)∵函數(shù)，∴當(dāng)a=?1時(shí),不等式等價(jià)于|x+3|+|x+1|>6，根據(jù)絕對值的幾何意義：|x+3|+|x+1|>6可以看作數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)?3和點(diǎn)?1的距離之和大于6，則點(diǎn)x到點(diǎn)?3和點(diǎn)?1的中點(diǎn)O的距離大于3即可，∴點(diǎn)x在?5或其左邊及1或其右邊，即x<?5或x>1.∴不等式的解集為(?∞,?5)∪（1,+∞).(Ⅱ)∵,對任意都有，只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可.由可得，，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，，∴，解得，又，∴∴a的取值范圍是(0,6].【點(diǎn)睛】本題考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法：(1)數(shù)形結(jié)合:利用絕對值不等式的幾何意義[即(x,0)到(a,0)與(b,0)的距離之和]求解.(2)分類討論:利用“零點(diǎn)分段法”求解.(3)構(gòu)造函數(shù):利用函數(shù)的圖像求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.本題屬于中等題.19、（1）答案不唯一，具體見解析（2）答案不唯一，具體見解析【解析】

（1）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性后可確定極值；（2）由（1）可知在區(qū)間上的單調(diào)性，從而可求得極值和最值．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，在上單增，無極值當(dāng)時(shí)，，單減區(qū)間是，單增區(qū)間是，所以，無極大值．（2）由（1）知在單減，單增當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值．解題時(shí)可求出導(dǎo)函數(shù)后確定出函數(shù)的單調(diào)性，然后可確定極值、最值．20、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.【解析】分析：（Ⅰ）計(jì)算出，由此猜想.(Ⅱ)利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想.詳解：（Ⅰ），由此猜想；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；假設(shè)（，且），結(jié)論成立，即，當(dāng)（，且）時(shí)，，即，所以，這就是說,當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，根據(jù)(1)和(2)可知對任意正整數(shù)結(jié)論都成立，即.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查不完全歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立，這時(shí)要利用已知和假設(shè).21、（1）；（2）見解析【解析】分析：（1），根據(jù)相互獨(dú)立事件