方程教學的教材比較與分析

“方程”教學的教材比較與分析

在教學人教版五年級上冊《較復雜的方程》時，我們發(fā)現學生在列方程和解方程這兩個環(huán)節(jié)上困難重重，這使我們對“用等式的性質”解方程以及“教材解決問題的編排”這兩個問題產生了爭議和困惑。教材既然是遵循《課標》理念、要求和建議編寫的，為什么教師還會有這么多的困惑？是教師不理解教材編排的意圖，還是教材所體現的理念與《課標》所倡導的理念尚存在距離？帶著這些疑問，筆者對三個版本（人教版、杭州現代版和蘇教版）的教材進行了比較分析。一、比較——“查”出一串新思考（一）內容編排——“三版本”各自為營1.“未知數作為減數或除數”的內容編排從內容編排上看，蘇教版教材未出現形如a-x=b和a÷x=b的簡易方程，人教版教材只在第58頁出現“你會自己寫出一些方程嗎”一題，但沒要求學生求出方程的解。而且這兩個版本的教材明確指出在小學階段暫不出現以此類方程進行計算求解的要求，依據是小學生還沒有學習正負數的四則運算，若利用等式的基本性質解a-x=b，方程變形的過程及其算理解釋比較麻煩。至于形如a÷x=b的方程，本質上是分式方程，若依據等式的基本性質解需要先去分母，因此，教材認為同樣不適合在小學階段學習?，F代版教材在編排中出現形如a-x=b和a÷x=b的簡易方程共11題（不包括總復習）。其中有1題在解決問題例題中出現，有2題要求學生判斷是否是方程，有8題要求學生求出方程的解?，F代版教材雖然出現此類方程，但其解法依據是“等式的基本性質”，還是另有其法沒作說明。2.“列方程解決問題”的內容編排雖然三個版本的教材均把“簡易方程”內容安排在第二學段，但三版本在年級編排和整合編排情況上不盡相同，具體如下：(1)年級編排不同人教版和現代版教材的“簡易方程”所有內容均編排在五年級上冊，蘇教版分三個年級編排：四年級（下冊）編排“用字母表示數”，五年級（下冊）編排“方程的意義、用等式的性質解一步計算方程，列方程解答簡單的實際問題”；六年級（上冊）編排“類似于ax±b=c、ax±bx=c的方程，并用于解決稍復雜的實際問題”。(2)整合編排不同人教版和蘇教版教材為了突出教學與實際生活的聯系，將“解方程與列方程解決問題”的內容整合在一起編排。特別是形如ax-b=c和ax+bx=c的較復雜的方程，每道例題都擔負著教學列方程和教學解方程的雙重任務?，F代版教材是將“解方程與列方程解決問題”分開編排的，先編排“解方程”的內容，再編排“列方程解決問題”的內容?，F代版雖分開編排，但它在編排“解方程”的內容時卻非常注重與現實生活的聯系，總是置方程于具體的情境之中（如現代版教材第60頁例題），用方程表示直觀情境里的相等關系，再讓學生求出方程的解，只不過它的重點在于“解方程”，而“列方程解決問題”的重點在于找出數量關系并列出方程（如現代版教材第66～67頁）。這樣處理同樣體現《課標》所倡導的“避免將運算與應用割裂開來”的理念。（二）書寫格式——“三版本”各有千秋雖然三個版本教材在解題依據上大同小異，但它們的書寫格式卻各不相同。從圖1和圖2可以看出，人教版教材（蘇教版同人教版）在解方程過程中兩邊都寫出“同時減去的數”，而現代版教材在解方程過程中只在一邊寫出“同時減去的數”，可見思路相同，書寫格式不同。筆者認為，現代版教材這樣的書寫格式意義更大，因為這樣的書寫格式不僅與中學方程教學銜接，還考慮到小學生原有的知識儲備。其實在學生原有的知識儲備中解方程如“x+8=12”大致有以下幾種：一是利用加減法的關系；二是觀察后找出一個x的值代入方程看看左邊是否等于12；三是把12看成8+4，再利用等式性質從兩邊減去8；四是直接從兩邊減去8。所以現代版這樣的書寫格式使學生的思路更廣，思考方法更多，掌握更靈活。但值得一提的是，現代版“較復雜的方程”（如圖3）的格式筆者卻不敢茍同，要使學生的思路在一步之內完成，難度顯然偏大，很容易出錯。（三）檢驗方法——“蘇教版”獨辟蹊徑三個版本都非常注重對方程解的過程的檢驗。但相比較而言，蘇教版刪繁就簡，不像人教版和現代版十分強調格式。如蘇教版五下第4頁例4中指出了解方程的檢驗方法：“把x=40代入原方程，看看左右兩邊是不是相等”，至于檢驗的過程則不要求寫出來。又如蘇教版五下第8頁例7的檢驗不是代入原方程，因為代入原方程只能檢驗解方程，不能檢驗列出的方程是否符合實際問題的數量關系。這道題要檢驗算得的小軍的跳高成績是不是比小剛多0.06米，可以利用1.45-1.39、1.39+0.06或者1.45-0.06中的任何一個算式進行檢驗。檢驗方程不僅檢驗解方程是否正確，而且檢驗實際問題的答案是否合理。二、建議——“談”出一些新需求（一）教材——沒有最好，只有更好1。相輔而行——添“加減乘除法各部分關系”解題依據2007年4月定稿的《數學課程標準（修訂稿）》已經把《數學課程標準（實驗稿）》中的“理解等式的性質，會用等式的性質解簡單方程”改為“能理解簡單的方程（如3x+2=5，2x-x=3）”。顯然，今后利用“等式的性質解方程”已不再是小學生解方程的惟一依據。雖然一線教師還不能真正解讀《數學課程標準（修訂稿）》修改的全部目的，但從學生實際出發(fā)，在教學時以“等式的性質”解答方法為重要依據，再以“加減乘除法各部分關系”解答方法為輔助依據進行教學，與學生原有的知識經驗相融合，不能說不是一種好策略。2.返本還源——留“x作為除數或減數的方程”一席之地倘若增添“加減乘除法各部分關系”為方程的解題依據，學生在解決問題時就不會只能選擇當前能夠計算的思路列方程，而可以從不同的角度去思考，列出任何一種數量關系的方程，包括形如a-x=b和a÷x=b的簡易方程，也不必要轉換就能直接計算出來。這樣不僅可以拓展學生的思維，還能使學生的知識更系統(tǒng)，“x作為除數或減數”的方程的存在，也就非常有必要了。3.各得其所——調“解方程和列方程解決問題”到合理位置解方程與解決實際問題的有機整合教學體現了《課標》指出的“避免將運算與應用割裂開來”的理念，這是我們大家所希望踐行的。但如果在整合中從學生的實際出發(fā)，將教學難點進行分散，要么如蘇教版那樣分年段進行教學，要么如現代版那樣既注重與生活的聯系，又在重難點上有所側重，做到循序漸進，是不是更有利于學生的能力形成呢？4.刪繁就簡——裁“方程解的過程和檢驗過程”書寫步驟眾所周知，就書寫習慣來說，有必要從一開始就強化書寫規(guī)范，以發(fā)揮首次感知先入為主的強勢效應，促進良好的書寫習慣的形成。但是，一個很現實的問題是，由于格式煩瑣致使很多學生不愿意使用方程，就五年級學生的思維特點來說，在價值觀判斷上更容易受方程外在格式煩瑣的影響，而忽視方程內在的順向思維。當然，數學提倡嚴密性，如果在嚴密的情況下再淡化解方程和檢驗方程的過程，可以說是做到了兩全其美。（二）教學——從“綱”出發(fā)，以“生”為本1.合理運用解題策略，遵循《課標》倡導的教學理念不管教材以后對“解方程”的解題依據做怎樣的調整，筆者認為，我們在教學時應該突出以“等式的性質”為重要的解題依據這一點，這樣即使出現“加減乘除法各部分關系”解題依據與之并存的情況，我們也會很好地處理兩者之間的關系?！酒我弧坷玫仁降男再|解方程師出示x+3=9。師：x等于多少？你是怎么解的？生：x=9-3，x=6。師：9-3是怎么想的？生：求加數，加數＝和－另一個加數。師：那還有其他方法嗎？（教師期望學生的思維轉向利用等式的性質解方程，可學生沒反應，只得引導學生自學課本）師：書上是怎么做的？看得懂嗎？……師：今天我們就用等式的性質來解方程。【片段二】利用等式的性質解方程師出示場景圖：共9個皮球，盒內x個，盒外3個。師：你能根據圖列出方程嗎？（板書：x+3=9）師啟發(fā)：怎樣解這個方程？你有什么辦法？把你的辦法先和小組里的同學交流。學生交流后，教師用課件動態(tài)演示天平圖，并板書解方程的過程（略）。學生在學習解方程時，剛剛學過等式的性質，但在使用片段一解方程的方法時，學生并未對這一性質進行嘗試。這是因為該教師的教學著眼點僅僅是求方程的解的過程，并沒有讓學生在求解的過程中，進行數學模型的變換，進一步體會“相等關系”。而片段二中的“天平”為處理方程提供了一個強有力的智力圖像。用天平平衡的道理，形象直觀地幫助學生深化對“相等關系”的理解，幫助學生建立如下規(guī)則：在等式的兩邊進行相同運算的同時，平衡也得到了維持。因此，在教學“解方程”時，教師應根據不同的題目和學生的實際認知水平，選擇合適的方法解決方程，遵循《課標》倡導的教學理念。2.增強方程應用意識，突出用方程解決問題的優(yōu)勢雖然人教版的“方程”教學只安排在五年級上冊，但方程的教學不是一蹴而就的，對方程思想的深層次認識也并非單元教學就能形成的，還需要教師在以后的教學中進行不斷滲透與運用，畢竟學生經以算術方法解決問題的長期強化訓練所形成的思維定勢已經根深蒂固。教師要把方程思想