人教版六年級(jí)下冊(cè)五數(shù)學(xué)廣角鴿巢問(wèn)題（省一等獎(jiǎng)）

《數(shù)學(xué)廣角-鴿巢問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)【授課內(nèi)容】《鴿巢原理》【教材理解】《鴿巢原理》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第五單元的內(nèi)容。教材通過(guò)幾個(gè)直觀(guān)例子，借助實(shí)際操作，向?qū)W生介紹“鴿巢問(wèn)題”，使學(xué)生在理解“鴿巢問(wèn)題”這一數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，對(duì)一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題加以“模型化”，會(huì)用“鴿巢問(wèn)題”加以解決。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有一類(lèi)與“存在性”有關(guān)的問(wèn)題。在這類(lèi)問(wèn)題中，只需要確定某個(gè)物體（或某個(gè)人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪個(gè)物體（或人）。這類(lèi)問(wèn)題依據(jù)的理論我們稱(chēng)之為“鴿巢問(wèn)題”?！傍澇苍怼弊钕仁?9世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的，所以又稱(chēng)“狄利克雷原理”，也稱(chēng)之為“抽屜原理”.“鴿巢問(wèn)題”?！傍澇矄?wèn)題”的理論本身并不復(fù)雜，甚至可以說(shuō)是顯而易見(jiàn)的。但“鴿巢問(wèn)題”的應(yīng)用卻是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問(wèn)題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)論。因此，“鴿巢問(wèn)題”在數(shù)論.集合論.組合論中都得到了廣泛的應(yīng)用?！驹O(shè)計(jì)理念】讓學(xué)生經(jīng)歷將具體問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，初步形成模型思想，體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的緊密聯(lián)系，發(fā)展抽象能力.推理能力和應(yīng)用能力，這是《標(biāo)準(zhǔn)》的重要要求，也是本課的編排意圖和價(jià)值取向。在教學(xué)中，通過(guò)幾個(gè)直觀(guān)的例子，借助實(shí)際操作，向?qū)W生介紹“鴿巢問(wèn)題”；學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，對(duì)一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題“模型化”，會(huì)用鴿巢原理解決問(wèn)題或解釋相關(guān)的現(xiàn)象，促進(jìn)邏輯推理能力的發(fā)展。【學(xué)情簡(jiǎn)介】“鴿巢原理”的變式很多，在生活中運(yùn)用廣泛，學(xué)生在生活中常常遇到此類(lèi)問(wèn)題。教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生先判斷某個(gè)問(wèn)題是否屬于“鴿巢原理”可以解決的范疇。能不能將這個(gè)問(wèn)題同“鴿巢原理”結(jié)合起來(lái)，是本次教學(xué)能否成功的關(guān)鍵。所以，在教學(xué)中，應(yīng)有意識(shí)地讓學(xué)生理解“鴿巢原理”的“一般化模型”。六年級(jí)的學(xué)生理解能力.學(xué)習(xí)能力和生活經(jīng)驗(yàn)已達(dá)到能夠掌握本章內(nèi)容的程度。教材選取的是學(xué)生熟悉的，易于理解的生活實(shí)例，將具體實(shí)際與數(shù)學(xué)原理結(jié)合起來(lái)，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1.在了解簡(jiǎn)單的“鴿巢問(wèn)題”的基礎(chǔ)上,使學(xué)生會(huì)用此原理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。2.提高學(xué)生有根據(jù).有條理地進(jìn)行思考和推理的能力。3.通過(guò)用“鴿巢問(wèn)題”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn):理解鴿巢原理，掌握先“平均分”.再調(diào)整的方法,引導(dǎo)學(xué)生把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“鴿巢問(wèn)題”。難點(diǎn):理解“總有”.“至少”的意義，理解平均分后余數(shù)不是1時(shí)的至少數(shù)，找出“鴿巢問(wèn)題”解決的竅門(mén)進(jìn)行反復(fù)推理。【教學(xué)方法】試驗(yàn)探究法

小組合作學(xué)習(xí)法【教學(xué)準(zhǔn)備】撲克牌.紙杯（筆筒）.多媒體課件。【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過(guò)程】一、創(chuàng)設(shè)情境，激情導(dǎo)入。師：我給大家表演一個(gè)“魔術(shù)”，一副牌，取出大小王，還剩下多少?gòu)?？你?人每人隨意抽一張，我敢肯定的說(shuō)至少有2張牌是同花色的。相信嗎？師：請(qǐng)你們五位任意抽取一張牌，試試看。師：同學(xué)們，下面就是見(jiàn)證奇跡的時(shí)刻。師：把牌拿出來(lái)驗(yàn)證一下，同一花色的站到一起，把牌舉起來(lái)面向大家我猜對(duì)了嗎？生：表示贊同。師：如果讓這5位同學(xué)反復(fù)抽牌，不管怎樣，總是至少有2張牌是同一花色的，你們相信嗎？有的同學(xué)點(diǎn)頭了，有的半信半疑。師：為什么我敢這么肯定呢？因?yàn)樵谶@個(gè)游戲中蘊(yùn)含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)原理鴿巢原理，這節(jié)課我們就一起來(lái)研究這個(gè)原理。[設(shè)計(jì)意圖]撲克牌小魔術(shù)作為新課的切入點(diǎn)，激起學(xué)生認(rèn)知上的興趣，趁機(jī)抓住他們的求知欲，激發(fā)學(xué)生探究新知的熱情，使學(xué)生積極主動(dòng)地投入到新課的學(xué)習(xí)中去。同時(shí)，在魔術(shù)中直觀(guān)地感知“至少”的意思。二、共同探究，理解鴿巢原理。（一）出示例1，共同探究驗(yàn)證。1.老師還能料定：把4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒里，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒里至少放2支鉛筆。質(zhì)疑：大家對(duì)老師的說(shuō)法有什么不理解之處嗎？如果學(xué)生不能提出疑問(wèn)，那么老師來(lái)提問(wèn)：“總有”是什么意思？（3個(gè)筆筒無(wú)論哪個(gè)，一定有一個(gè)）“至少放2支鉛筆”是什么意思？（放2支或2支以上，最少2支）[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生理解關(guān)鍵詞語(yǔ)“總有”和“至少”的含義，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真閱讀理解的習(xí)慣。2.討論：你認(rèn)為老師的說(shuō)法對(duì)嗎？先讓學(xué)生憑直覺(jué)判斷對(duì)或錯(cuò)。再指出：對(duì)待數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，只有經(jīng)過(guò)周密的驗(yàn)證才能下結(jié)論。那么，可以用什么方法來(lái)驗(yàn)證老師的說(shuō)法對(duì)不對(duì)呢？學(xué)生獨(dú)立思考，提出設(shè)想。[設(shè)計(jì)意圖]樹(shù)立學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度，打開(kāi)學(xué)生的思維，大膽設(shè)想驗(yàn)證方法。3.小組合作探究：小組合作驗(yàn)證，驗(yàn)證完成了準(zhǔn)備匯報(bào)并坐端正。需要筆筒的用紙杯代替筆筒。教師巡視，了解學(xué)生驗(yàn)證的情況。[設(shè)計(jì)意圖]放手讓學(xué)生自主探究，讓學(xué)生充分表達(dá)自己的想法，有充足的空間和時(shí)間合作探究。4.小組匯報(bào)交流，預(yù)設(shè)情況如下：（1）枚舉法請(qǐng)用實(shí)物模擬實(shí)驗(yàn)的小組先展示，有用畫(huà)圖.數(shù)的分解的方法分析的也進(jìn)行展示。引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到要把鉛筆擺放的所有方式都列舉出來(lái)，為了不遺漏要做到有序列舉（課件展示），指出這種思考方法叫“枚舉法”。[設(shè)計(jì)意圖]經(jīng)歷探究鴿巢原理的過(guò)程，初步學(xué)習(xí)枚舉的分析方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。（2）假設(shè)法請(qǐng)學(xué)生展示并解說(shuō)其他的方法，如果學(xué)生沒(méi)有想到，教師示范：假設(shè)老師的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，沒(méi)有任何筆筒里有2支或2支以上的鉛筆，那么每個(gè)筆筒里只放1支，剩下1支放入任意一個(gè)筆筒中，這個(gè)筆筒中就有2支筆了。所以總有一個(gè)筆筒中至少有2支鉛筆。集體討論：讓學(xué)生充分質(zhì)疑，充分發(fā)表意見(jiàn)，教師適時(shí)點(diǎn)撥。教師可連續(xù)發(fā)問(wèn)：先在每個(gè)筆筒中放1支鉛筆，實(shí)際上就是在怎樣分？為什么一開(kāi)始就平均分呢？只考慮平均分這一種情況，其他的擺放方法不用考慮了嗎？引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：先在每個(gè)筆筒中放1支鉛筆，實(shí)際上就是在平均分；平均分，就可以使每個(gè)筆筒的鉛筆盡可能的少，也就有可能找到和老師說(shuō)法不一樣的情況；平均分已經(jīng)使每個(gè)筆筒中的筆盡可能少了，如果這樣都符合要求，那另外的情況肯定也是符合要求的了。可以用除法算式表示這種分析方法，指出這種思考方法叫做“假設(shè)法”。[設(shè)計(jì)意圖]經(jīng)歷探究鴿巢原理的過(guò)程，理解學(xué)習(xí)假設(shè)的分析方法，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。（3）請(qǐng)學(xué)生評(píng)價(jià)這兩種方法。師生共同總結(jié)結(jié)論并板書(shū)。[設(shè)計(jì)意圖]培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)化意識(shí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到枚舉法的優(yōu)越性和局限性.假設(shè)法的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。（二）繼續(xù)解決問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型1.初建模型師：如果把6支鉛筆放入5個(gè)筆筒，不管怎么放，總有一個(gè)杯子里至少有幾支鉛筆？生1：還是總有一個(gè)筆筒里至少有兩支鉛筆。師：你是怎么分的？生1：先把每個(gè)杯子里放一支，還剩一支，再把剩下的一支放入其中任意一個(gè)筆筒。師：如果把7支鉛筆放入6個(gè)筆筒呢？你們能接著往下說(shuō)嘛？齊說(shuō)師：把8支鉛筆放入7個(gè)筆筒呢？生：結(jié)論不變，總有一個(gè)杯子里至少有2支鉛筆。把1000支鉛筆放入999個(gè)筆筒呢？生：都是總有一個(gè)筆筒里至少有兩支鉛筆。師：觀(guān)察鉛筆的數(shù)量和筆筒的數(shù)量，你有什么發(fā)現(xiàn)？生：我們發(fā)現(xiàn)了當(dāng)鉛筆的數(shù)量比筆筒的數(shù)量多1師：當(dāng)鉛筆的數(shù)量比筆筒的數(shù)量多1時(shí)，不管怎么放，就會(huì)怎么樣？總有一個(gè)筆筒里至少有兩支鉛筆。師：其實(shí)在我們生活中還有很多類(lèi)似問(wèn)題，比如（1）把6個(gè)蘋(píng)果放進(jìn)5個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少放2個(gè)蘋(píng)果。。。。。。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：鉛筆.蘋(píng)果.籃球.鴿子都是待分物體，筆筒.抽屜.球筐.鴿巢都可以看作盛放待分物體的“鴿巢”；待分物體都比“鴿巢”多1，都是總有一個(gè)“鴿巢”至少放2個(gè)待分物體。引導(dǎo)學(xué)生用字母表示：如果“鴿巢”個(gè)數(shù)用n來(lái)表示，待分物體就有（n+1）個(gè)，那么請(qǐng)你把這四個(gè)關(guān)鍵詞并用一句完整的話(huà)來(lái)描述：把m個(gè)待分物體放進(jìn)(m-1)個(gè)鴿巢里，總有一個(gè)鴿巢里至少放了2個(gè)待分物體。揭示課題：這就是老師所說(shuō)的那個(gè)著名的數(shù)學(xué)原理——鴿巢原理。（板書(shū)課題）[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生經(jīng)歷將具體問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程，建立鴿巢原理最簡(jiǎn)單情況的數(shù)學(xué)模型，初步形成模型思想，發(fā)展學(xué)生的抽象能力和概括能力。2.普及數(shù)學(xué)史知識(shí)知道鴿巢原理最早是由誰(shuí)提出的嗎？課件出示：這個(gè)原理是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要原理，它最早由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷提出并運(yùn)用于解決數(shù)論中的問(wèn)題，所以該原理又稱(chēng)“狄利克雷原理”。該原理有兩個(gè)經(jīng)典案例，一個(gè)是把10個(gè)蘋(píng)果放進(jìn)9個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜里至少放了2個(gè)蘋(píng)果，所以這個(gè)原理又稱(chēng)為“抽屜原理”；另一個(gè)是6只鴿子飛進(jìn)5個(gè)鴿巢，總有一個(gè)鴿巢至少飛進(jìn)2只鴿子，所以也稱(chēng)為“鴿巢原理”（指名讀）。令人遺憾的是我國(guó)學(xué)者雖然很早就會(huì)用抽屜原理來(lái)分析具體問(wèn)題，但是在古代文獻(xiàn)中并未發(fā)現(xiàn)關(guān)于抽屜原理的概括性文字，沒(méi)有人將它抽象為一條普遍的原理，最后還不得不將這一原理冠以數(shù)百年后西方學(xué)者狄利克雷的名字。老師在此也希望在座的大家也能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理，用自己的名字來(lái)命名為祖國(guó)爭(zhēng)光，有信心嗎？[設(shè)計(jì)意圖]了解鴿巢原理的由來(lái)，進(jìn)一步強(qiáng)化鴿巢原理基本形式的數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)的魅力，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值,激發(fā)愛(ài)國(guó)情懷。3.完善模型教學(xué)例2師：如果待分物體不是鴿巢的數(shù)量多1，而是多2，多3，多4又會(huì)怎樣呢？.師:把7本書(shū)放進(jìn)3個(gè)抽屜,不管怎么放,總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書(shū)？為什么?學(xué)生獨(dú)立思考后,組織全班交流師:我們已經(jīng)學(xué)了平均分的方法，不要再列舉了，說(shuō)說(shuō)你想怎么分？生:假設(shè)把書(shū)盡量的“平均分”給各個(gè)抽屜,把7本書(shū)平均放進(jìn)3個(gè)抽屜,每個(gè)抽屜放2本書(shū),還剩1本;把剩下的1本不管放到哪個(gè)抽屜,總有一個(gè)抽屜至少放3本書(shū)。師：你能用算式表示這一平均分的過(guò)程和結(jié)果嗎?生:7÷3=2……1

2+1=3師板書(shū)。解釋算式的含義師：商2指的是什么？余數(shù)1又指的是什么呢？生：商2指的是每個(gè)抽屜放進(jìn)去的2本書(shū)，余數(shù)1指剩下的那一本書(shū)。師:結(jié)合這個(gè)有余數(shù)的除法算式說(shuō)明把這個(gè)問(wèn)題完整說(shuō)一說(shuō)?生:把7本書(shū)平均放進(jìn)3個(gè)抽屜,每個(gè)抽屜放2本書(shū),還剩1本;把剩下的1本不管放到哪個(gè)抽屜,總有一個(gè)抽屜至少放3本書(shū)。師:如果有8本書(shū)會(huì)怎樣呢?請(qǐng)2名同學(xué)們黑板扮演，比較。師：誰(shuí)想說(shuō)說(shuō)你們的想法，你們的結(jié)論？先讓得出“總有一個(gè)抽屜里至少有4本書(shū)”的學(xué)生說(shuō)。生1：把8本書(shū)放入3個(gè)抽屜，先每個(gè)抽屜放2本，還剩2本，把這兩枝放入一個(gè)抽屜。算式是8÷3

=

2……2

2+2=4再讓得出“總有一個(gè)抽屜里至少有3本書(shū)”的學(xué)生說(shuō)。生2：我們是這樣想的，把8本書(shū)平均放進(jìn)3個(gè)抽屜,每個(gè)抽屜放2本書(shū),還剩2本;把剩下的2本中的1本不管放到哪個(gè)抽屜,總有一個(gè)抽屜至少放3本書(shū)。算式是8÷3

=

2……2

2+1=3師：大家注意到了嗎？他們都是先把8本書(shū)平均分，每個(gè)抽屜放2本，只是對(duì)于余下的2本書(shū)有了不同的放法，你們同意誰(shuí)的意見(jiàn)。剩下的2本為什么還要放進(jìn)不同的抽屜？生：依據(jù)還是把余下的也盡量平均，盡可能分成最多的份數(shù)，才能保證出現(xiàn)至少數(shù)。師:10本書(shū)呢?生:10÷3=3……1,可知把10本書(shū)平均放進(jìn)3個(gè)抽屜,每個(gè)抽屜放3本書(shū),還剩1本;把剩下的1本不管放到哪個(gè)抽屜,總有一個(gè)抽屜至少放4本書(shū)。師：如果讓你繼續(xù)增加書(shū)和抽屜的數(shù)量，還會(huì)算嗎，試一試？師：觀(guān)察黑板上這些算式？這個(gè)至少數(shù)到底是怎么推算出來(lái)的呢？生1：我們通過(guò)用物體的數(shù)量÷抽屜的數(shù)量=商……余數(shù)，總有一個(gè)鴿巢里至少有商+1個(gè)物體。師：你們發(fā)現(xiàn)了嗎？齊說(shuō)師板書(shū)：商+1=至少數(shù)齊讀師:物體數(shù)除以抽屜數(shù),那么總會(huì)有一個(gè)抽屜里放進(jìn)比商多1的物體個(gè)數(shù)。余數(shù)不論是多少，都加1。[設(shè)計(jì)意圖]在這個(gè)環(huán)節(jié)里抓住假設(shè)法的核心思路，用有余數(shù)除法的形式來(lái)表示，讓學(xué)生直觀(guān)的理解，如果把書(shū)盡量多的平均分給各個(gè)抽屜，看看每個(gè)抽屜里能分到多少，余下的多少都能保證總有一個(gè)抽屜里的數(shù)量比平均數(shù)多1。三、利用模型，解決問(wèn)題師：現(xiàn)在，你能利用這一原理揭密課前的魔術(shù)了嗎？生：五張牌相當(dāng)于鴿子，四種花色相當(dāng)于鴿巢，五張牌中至少有兩張是同一花色的。師：其實(shí)在我們生活中有很多“鴿巢原理”的應(yīng)用。1.隨意找13位老師，他們中至少有幾個(gè)人的屬相相同。為什么？個(gè)人坐8把椅子，總有一把椅子上至少坐幾人？為什么？只鴿子飛進(jìn)4個(gè)鴿巢，至少有幾只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿巢里。為什么？4.六（8）班有38名同學(xué)，可以肯定，在這38人中，至少有幾個(gè)人的生日在同一個(gè)月。想一想，為什么？[設(shè)計(jì)意圖]能初步運(yùn)用鴿巢原理解釋相關(guān)的現(xiàn)象。讓學(xué)生真正掌握并運(yùn)用鴿巢原理解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的靈活性和遷移能力。四、課末總結(jié)，梳理提升師:同學(xué)們美好的時(shí)光總是過(guò)得這么快，這節(jié)課大家表現(xiàn)都非常好，下面說(shuō)說(shuō)你這節(jié)課都有哪些收獲呀？[設(shè)計(jì)意圖]培養(yǎng)學(xué)生反思?xì)w納的學(xué)習(xí)習(xí)慣。師:其實(shí)在我們的生活中還存在很多可以用鴿巢原理去解決的問(wèn)題,最后薛老師還給大家推薦一個(gè)有關(guān)鴿巢原理的二桃殺三士的故事，我們課下可以去看看，期待同學(xué)們下次更精彩的表現(xiàn)!【板書(shū)設(shè)計(jì)】鴿巢原理物體的數(shù)量÷抽屜的數(shù)量=商……余數(shù)

至少數(shù)=商+1鉛筆數(shù)量

筆筒數(shù)量