華師大版九年級(jí)下第27章圓2圓中的計(jì)算問題公開課比賽一等獎(jiǎng)

《圓中的計(jì)算問題》同步練習(xí)一、選擇題1.已知圓心角為60°的扇形面積為24π，那么扇形的半徑為（） π π2.如圖，在⊙O中，弦BC＝1，點(diǎn)A是圓上一點(diǎn)，且∠BAC＝30°，則的長(zhǎng)是（）A.π B. C. D.3.如圖，點(diǎn)A、B、C在半徑為6的⊙O上，的長(zhǎng)為2π，則∠ACB的大小是（）° ° ° °4.如圖，CD為⊙O的弦，直徑AB為4，AB⊥CD于E，∠A＝30°，則扇形BOC的面積為（）A. B. C.π D.5.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝6，陰影部分圖形的面積為（）π π π D.π二、填空題6.一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是，它的面積是，這個(gè)扇形的圓心角度數(shù)是。7.如圖，A，B，C是⊙O上三點(diǎn)，若∠ABC＝120°，⊙O的半徑為2，則劣弧AC的長(zhǎng)為。8.如圖，在矩形ABCD中，連接AC，以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)E，已知BE＝3，BC＝3，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）。9.如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，以D為圓心，BD長(zhǎng)為半徑畫一弧交AC于E點(diǎn)，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝2，則扇形BDE的面積為。10.矩形ABDC中，對(duì)角線相交于O，以C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC于F，點(diǎn)O在圓弧上，若AB＝6，則陰影部分的面積為。三、解答題11.如圖，已知AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，OC∥BD，交AD于點(diǎn)E，連結(jié)BC。（1）求證：AE＝ED；（2）若AB＝8，∠CBD＝30°，求圖中陰影部分的面積。12.如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝12，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，∠DAB＝30°。（1）求扇形OAC的面積；（2）求弦CD的長(zhǎng)。13.如圖，A，B，C是⊙O上三點(diǎn)，其中＝2，過點(diǎn)B畫BD⊥OC于點(diǎn)D。（1）求證：AB＝2BD；（2）若AB＝2，CD＝1，求圖中陰影部分的面積。14.文藝復(fù)興時(shí)期，意大利藝術(shù)大師達(dá)。芬奇研究過用圓弧圍成的部分圖形的面積問題。已知正方形的邊長(zhǎng)是2，就能求出圖中陰影部分的面積。證明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝，S5＝，S6＝+，S陰影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝。15.如圖，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，經(jīng)過A，B，E三點(diǎn)的圓O交BC于點(diǎn)D，且D點(diǎn)是弧BE的中點(diǎn)，（1）求證AB是圓的直徑；（2）若AB＝8，∠C＝60°，求陰影部分的面積；（3）當(dāng)∠A為銳角時(shí)，試說明∠A與∠CBE的關(guān)系。

參考答案一、選擇題1.【分析】利用扇形的面積公式計(jì)算即可。【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r。由題意：＝24π，∴r2＝144，∵r＞0，∴r＝12，故選：A?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積公式，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積公式：S扇形＝。2.【分析】連接OB，OC。首先證明△OBC是等邊三角形，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可。【解答】解：連接OB，OC?！摺螧OC＝2∠BAC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB＝OC＝BC＝1，∴的長(zhǎng)＝＝，故選：B?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型。3.【分析】連結(jié)OA、OB。先由的長(zhǎng)為2π，利用弧長(zhǎng)計(jì)算公式求出∠AOB＝40°，再根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半得到∠ACB＝∠AOB＝20°?！窘獯稹拷猓哼B結(jié)OA、OB。設(shè)∠AOB＝n°?！叩拈L(zhǎng)為2π，∴＝2π，∴n＝60，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°。故選：B?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算、圓周角定理的應(yīng)用，掌握弧長(zhǎng)的公式l＝是解題的關(guān)鍵。4.【分析】連接AC，由垂徑定理的CE＝DE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AC＝AD，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAB＝∠DAB＝30°，由圓周角定理得到∠COB＝60°，根據(jù)扇形面積的計(jì)算公式即可得到結(jié)論?！窘獯稹拷猓哼B接AC，∵CD為⊙O的弦，AB是⊙O的直徑，∴CE＝DE，∵AB⊥CD，∴AC＝AD，∴∠CAB＝∠DAB＝30°，∴∠COB＝60°，∴扇形BOC的面積＝＝，故選：B?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形的面積的計(jì)算，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解答此題的關(guān)鍵。5.【分析】連接BC，OD，設(shè)CD交AB于E。想辦法證明BC∥OD，推出S△BCD＝S△BCO，S陰＝S扇形OBC，即可解決問題；【解答】解：連接BC，OD，設(shè)CD交AB于E。∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等邊三角形，∴∠CBO＝60°，∵CD⊥AB，CD＝6，∴＝，CE＝ED＝3，∴∠BOC＝∠BOD＝60°，EO＝，OC＝2，∴∠CBO＝∠BOD，∴BC∥OD，∴S△BCD＝S△BCO，∴S陰＝S扇形OBC＝＝2π。故選：C?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積公式，平行線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型。二、填空題6.【分析】設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為n°。利用扇形面積公式求出r，再利用弧長(zhǎng)公式求出圓心角即可?！窘獯稹拷猓涸O(shè)扇形的半徑為r，圓心角為n°。由題意：?π?r＝π，∴r＝4，∴＝π，∴n＝120，故答案為120°【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積的計(jì)算，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型。7.【分析】在優(yōu)弧AC上取一點(diǎn)D，連接AD，CD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADC＝60°，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝2∠ADC＝120°，根據(jù)弧長(zhǎng)的公式計(jì)算即可?！窘獯稹拷猓涸趦?yōu)弧AC上取一點(diǎn)D，連接AD，CD，∵∠ABC＝120°，∴∠ADC＝60°，∴∠AOC＝2∠ADC＝120°，∴劣弧AC的長(zhǎng)＝＝π，故答案為：π。【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵。8.【分析】連接BF，作BH⊥AC于H，根據(jù)正切的定義得到∠BAC＝60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABF＝60°，AF＝AB＝3，根據(jù)扇形面積公式、三角形的面積公式計(jì)算，【解答】解：如圖，連接BF，作BH⊥AC于H，由題意得，BA＝BE＝3，tan∠BAC＝＝，則∠BAC＝60°，又BA＝BF，∴△ABF是等邊三角形，∴∠ABF＝60°，AF＝AB＝3，則BH＝AB×sin∠BAC＝，∴圖中陰影部分的面積＝﹣×3×＝﹣，故答案為：﹣。【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是矩形的性質(zhì)、扇形面積計(jì)算、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵。9.【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠BDE，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算?！窘獯稹拷猓骸摺螦＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝20°，∵BD＝DC＝1，DE＝DB，∴DE＝DC＝1，∴∠DEC＝∠C＝20°，∴∠BDE＝40°，∴扇形BDE的面積＝＝，故答案為：?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式S扇形＝πR2是解題的關(guān)鍵。10.【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD＝BC，OD＝AD，OC＝BC，推出△OCD是等邊三角形，得到∠DCO＝60°，求得BD＝18，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論?！窘獯稹拷猓骸咚倪呅蜛BCD是矩形，∴AD＝BC，OD＝AD，OC＝BC，∴OD＝OC，∵CD＝OC，∴△OCD是等邊三角形，∴∠DCO＝60°，∵AB＝CD＝6，∴BD＝18，∴陰影部分的面積＝S△BCD﹣S扇形COD＝×18×6﹣＝54﹣18π，故答案為：54﹣18π?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積公式，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用扇形的面積公式以及三角形的面積公式，本題屬于中等題型。三、解答題11.【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AEO＝90°，再利用垂徑定理證明即可。（2）根據(jù)S陰＝S扇形OAD﹣S△ADO計(jì)算即可。【解答】證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；（2）連接CD，OD，∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD＝30°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，∵∠COD＝2∠CBD＝60°，∴∠AOD＝120°，∴S陰＝S扇形OAD﹣S△ADO＝﹣?4×2＝﹣4【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積公式，垂徑定理，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型。12.【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到＝，根據(jù)圓周角定理求出∠CAB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AOC，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算；（2）根據(jù)正弦的定義求出CE，根據(jù)垂徑定理計(jì)算即可?！窘獯稹拷猓海?）∵弦CD⊥AB，∴＝，∴∠CAB＝∠DAB＝30°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOC＝120°，∴扇形OAC的面積＝＝12π；（2）由圓周角定理得，∠COE＝2∠CAB＝60°，∴CE＝OC×sin∠COE＝3，∵弦CD⊥AB，∴CD＝2CE＝6。【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積計(jì)算，圓周角定理，垂徑定理的應(yīng)用，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵。13.【分析】（1）如圖，延長(zhǎng)BD交⊙O于E，根據(jù)垂徑定理得到BE＝2BD，＝2，求得＝，于是得到結(jié)論；（2）如圖，連接OB，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理列方程得到r＝2，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠BOC＝60°，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論?！窘獯稹拷猓海?）如圖，延長(zhǎng)BD交⊙O于E，∵BD⊥OC，∴BE＝2BD，＝2，∵＝2，∴＝，∴AB＝BE，∴AB＝2BD；（2）如圖，連接OB，設(shè)⊙O的半徑為r，∵AB＝2，CD＝1，∴BD＝，在Rt△OBD中，r2＝（r﹣1）2+（）2，解得：r＝2，∵sin∠BOC＝，∴∠BOC＝60°，∴陰影部分的面積＝﹣××1＝﹣。【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，扇形的面積，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵。14.【分析】利用圖形的拼割，正方形的性質(zhì)，尋找等面積的圖形，即可解決問題；【解答】證明：由題意：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2，S5＝S3，S6＝S4+S5，S陰影面積＝S1+S6＝S1+S2+S3＝2。故答案為：S2，S3，S4，S5，2。【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、扇形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型。15.【分析】（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AD⊥BC，根據(jù)圓周角定理的推論證明；（2）連接OE，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可；（3）由（1）知AB是直徑，得到∠BEA＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠EBC＝∠CAD，等量代換即可得到結(jié)論?！窘獯稹拷猓海?）連結(jié)AD，∵D是中點(diǎn)，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AB＝AC，∴AD⊥BD