第3章時域連續(xù)信號的采樣與重構(gòu)

第三章信號的采樣與重構(gòu)雖然自然界中存在離散時間信號，但是最常見的還是連續(xù)時間信號。在某些合理條件限制下，一個連續(xù)時間信號也確實能用其樣本來給予完整表示。對于連續(xù)時間信號的處理分析往往也是經(jīng)由對之采樣后的離散時間序列處理完成的。本章將詳細(xì)討論連續(xù)時間信號的采樣過程和信號重構(gòu)過程，以及其中離散時間序列處理的關(guān)鍵問題和方法

。時域采樣導(dǎo)致了信號頻域發(fā)生了何種變化？采樣后信號是否包含了連續(xù)信號的所有信息？如何無失真恢復(fù)原始信號？采樣的信號是否包含冗余信息？是否可以進(jìn)行速率的變化？離散處理如何用于實際連續(xù)信號的處理應(yīng)用？哪些技術(shù)手段可以提高信號處理的性能？目的3.1周期采樣3.2采樣定理3.3信號重構(gòu)理論3.4變速率處理技術(shù)3.5連續(xù)信號的離散處理3.6過采樣和噪聲成形技術(shù)3.1理想周期采樣對連續(xù)時間信號進(jìn)行周期采樣是獲得離散時間信號的典型方法。典型的周期采樣為沖激脈沖采樣，亦稱理想采樣，形式如下：

實現(xiàn)上述周期性采樣的系統(tǒng)稱為理想連續(xù)時間到離散時間(C／D)轉(zhuǎn)換器：A/D采樣系統(tǒng)可以看作是對理想C／D轉(zhuǎn)換器的近似。C/D物理模型沖激串到離散時間序列的轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)模型沖激串調(diào)制器+沖激串到序列的轉(zhuǎn)換注意：在某種意義上xc(nT)還是一個連續(xù)時間信號(即一個沖激串的沖激面積)，它除了在整倍數(shù)的時刻以外都為零，其變量包含有物理時間的概念；序列x(n)是以整數(shù)變量n給出的，事實上這就引入了時間歸一化的過程，也即x(n)已沒有任何明顯的有關(guān)采樣率的信息。一個連續(xù)時間信號兩種采樣注1、理想連續(xù)到離散(C／D)轉(zhuǎn)換器僅是采樣的一種理想化物理模型和數(shù)學(xué)上的表示。硬件能否構(gòu)成對其的近似是次要的問題。2、引入此中數(shù)學(xué)和物理表示，是因為它能給出采樣過程相關(guān)結(jié)論的簡單推導(dǎo)，并且可以得到許多重要的細(xì)節(jié)和內(nèi)涵（頻域表示，量化誤差等）3.2采樣定理采樣一般是不可逆的為保證采樣不丟失信息，該做何約束？一、采樣的頻域表示考慮沖擊脈沖串調(diào)制傅里葉變換是由的傅里葉變換按整數(shù)倍的采樣頻率移位，然后疊加起來得到，即周期性延拓。假設(shè)有一個（實）帶限信號，其正頻帶限制在（0，）內(nèi)，B=，如果以不小于的采樣速率對信號進(jìn)行等間隔采樣，則得到離散時間采樣信號可以不失真的完全恢復(fù)原始信號。

二、奈氏低通采樣定理三、奈氏帶通采樣定理奈氏低通采樣定理只討論了頻譜分布在(0，)上的基帶信號的采樣問題如果信號的頻率分布在某一有限的頻帶(，)上時，那么該如何對這樣的帶限信號進(jìn)行采樣呢?當(dāng)時，也就是當(dāng)信號的最高頻率遠(yuǎn)大于帶寬時，如果仍然按奈氏低通采樣率進(jìn)行采樣，則：其采樣頻率很高，現(xiàn)實中很難實現(xiàn)；后處理的速度也滿足不了要求；有用信號僅處于有限頻段，資源浪費能否采用比奈氏低通采樣率更低的速率來采樣呢?存在的問題1、當(dāng)時，很明顯采樣后的信號頻譜發(fā)生的混疊，從而很難重新恢復(fù)出原始信號。f0fLfHBfs討論：f0fLfHBfs2、當(dāng)時，并不一定能夠由采樣后的信號恢復(fù)原始信號，如圖所示：實信號頻譜區(qū)間是正負(fù)對稱的，從而其搬移之后的頻譜亦是正負(fù)對稱的，要使其頻譜不發(fā)生混疊，只能符合以下的兩種情況：a)

b)

f0fLfHBkfsfsfs/4f0fLfHBkfsfs-fs/4當(dāng)時，若采樣率滿足（n=0,1,2…）則可以無失真的從采樣信號中恢復(fù)原始信號當(dāng)時，取n=0，即為奈氏低通采樣速率。奈氏帶通采樣定理（欠采樣）由帶通采樣定理可知，若要用最低采樣速率即兩倍帶寬對信號進(jìn)行采樣，其信號中心頻率必須滿足：信號最高(或最低)頻率是帶寬的整數(shù)倍。推論：任何一個中心頻率為(n=0，1，2，3，…),帶寬為B的帶通信號均可以用同樣的采樣頻率對信號進(jìn)行采樣，這些采樣均能準(zhǔn)確地表示或者重新恢復(fù)出位于不同頻段(中心頻率不同)的原信號。前提：只允許在其中的一個頻帶上存在信號，而不允許在不同的頻帶上同時存在信號，否則將會引起信號混疊。跟蹤濾波器采樣當(dāng)需要對某一個中心頻率的帶通信號進(jìn)行采樣時，就先把跟蹤濾波器調(diào)到與之對應(yīng)的中心頻率上，濾出所感興趣的帶通信號，然后再進(jìn)行采樣，以防止信號混疊，亦稱之為抗混疊濾波器。如果濾波器理想的話，采用同一采樣速率就能實現(xiàn)對全頻域信號進(jìn)行數(shù)字化，然后用軟件方法進(jìn)行解調(diào)分析，這正是軟件無線電的根本出發(fā)點。帶通采樣把位于不同頻帶的信號都用位于(0，B)上相同的基帶信號來表示，但是：奇數(shù)通帶上的高頻分量對應(yīng)基帶上的低頻分量，奇數(shù)通帶上的低頻分量對應(yīng)基帶上的高頻。偶數(shù)頻帶與采樣后的數(shù)字基帶譜是高、低頻率分量一一對應(yīng)的。3.3信號重構(gòu)理論一、理想重構(gòu)根據(jù)采樣定理，恢復(fù)過程如下序列到?jīng)_激串轉(zhuǎn)換

理想重構(gòu)濾波器采樣周期T信號的重構(gòu)系統(tǒng)物理模型理想重構(gòu)濾波器的增益為T(用以補(bǔ)償采樣損耗)，截止頻率為截止頻率通常選取。理想重構(gòu)濾波器的頻率響應(yīng)為：理想重構(gòu)信號