培優(yōu)課　集合中的創(chuàng)新問題

培優(yōu)課集合中的創(chuàng)新問題集合中創(chuàng)新問題的類型有：（1）新定義概念；（2）新定義性質(zhì)；（3）新定義運算.解決集合的創(chuàng)新問題一般從要緊扣新概念，新性質(zhì)或新運算進行推理論證，把問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的問題來解決.解決此類問題的通性通法可歸納為三個步驟：提取——確定解題方向；加工——探求解題方法；輸出——轉(zhuǎn)化進而解題.類型一新定義集合的概念【例1】 若X是一個集合，工是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬于八空集。屬于7；②工中任意多個元素的并集屬于工；③工中任意多個元素的交集屬于工，則稱工是集合X上的一個拓撲.已知集合X={a,b,c},對于下面給出的四個集合T：①了={0,{a},{c},{a,b,c}}；②z={0,,{c},{b,c},{a,b,<?}}；③工={0，{。}，{。，b}，{。，c}};@t—{0,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.其中是集合X上的一個拓撲的集合T的所有序號是（）A.①② B.①③C.①②④ D.②④答案D解析①工={。，⑷，{c},{a,b,c}},但是{a}U{c}={a,c}67，所以①錯;②④都滿足集合X上的一個拓撲集合工的三個條件，所以②④正確;③{a"}U{a,c}={a,b,c}47,所以③錯.故選D.類型二新定義集合的性質(zhì)X【例2】非空集合A具有下列性質(zhì)：①若x,小4則②若x,小4則下列判斷一定成立的是（）則xy^A；― 2020 什(l)-HA;(2)202ie^；(3)若則xy^A；(4)若x, 貝ljx—)B.(D(4)B.(D(4)D。)⑶(4)B.(D(4)D。)⑶(4)A.(l)(3)C.⑴⑵⑶答案C解析對于⑴，若一IGA,則—=1￡A,因此B.(D(4)D。)⑶(4)—1 xy=O￡A時，7-顯然無意義，不滿足所以一故(1)正確；Y對于(2),若xWO且x￡A,則1=一￡4,X???2=1+1￡A,3=2+l￡A,依此類推可得知，V“￡N*,n^A,2020 八A2020eA,202ieA,(2)正確；乙\JJ.對于(3),若x, 則尤WO且yWO,由(2)可知，1WA,1 Y則產(chǎn)A,所以，孫=1￡A,(3)正確;y對于(4),由(2)得，1,2&A,取x=2,y=l,則％—y=l￡A,所以(4)錯誤.類型三新定義集合的運算【例3】設(shè)S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”(即對任意的q,b￡S,對于有序元素對(q,b),在S中有唯一確定的元素q*Z?與之對應(yīng)).若對任意的a,b《S,有。*(》*“)=/?,則下列等式不能恒成立的是( )A.3*Z?)*Q=4 =4C.b*(b*b)=b D.(Q*Z?)*g*(〃*Z?)]=Z?答案A解析根據(jù)定義對任意的a,bGS,有a*(b*a)=b,故對于A選項，(Q*h)*Q=a不滿足新定義的形式，故其不一定恒成立，故A選項不正確；對于B選項，[q*S*q)]*(q*Z?)=Z?*(q*Z?)=q,故B選項正確;對于C選項，下滿足定義，故C選項正確；對于D選項,把（。%）看成一個整體，故（a*Z?）*[b*（a*b）]=b,故正確.嘗試訓(xùn)練.定義一種新的集合運算△: 且依3}.若集合A={x|f—4x+3〈0},8={x|2WxW4},則按運算4,3ZXA等于（ ）A.{x|3<xW4} B.{x|3WxW4}C.{x|3<x<4} D.{x|2WxW4}答案B解析A={x\1<x<3}93={x|2W%W4},由題意知，B/\A={x\x^B9且解A}={尤|3WxW4}.TOC\o"1-5"\h\z.定義集合的商集運算為點尸2，m^A,〃仁已知集合A={2,4,6）,Bk 1 R=<XX=]—1,左則集合.UB中的元素個數(shù)為（ ）A.6 B.7C.8 D.9答案B3fli1 ]]B解析由題意知，B={0,1,2},彳=；°，》/不晨§卜則彳U8=Jill1 〕.?人一士0,3,不不1，§，2卜共有7個兀素..若集合A具有以下性質(zhì)：①0￡A,1GA；②若x￡A, 則x—y￡A,且xWO時，X則稱集合A是“好集”.給出下列說法：①集合5={—1,0,1}是“好集”；②有理數(shù)集Q是“好集”；③設(shè)集合4是“好集”，若％￡A,y￡A,則其中，正確說法的個數(shù)是（）A.O B.1C.2 D.3答案C解析①集合8不是“好集”，假設(shè)集合8是“好集”，因為一1￡3,所以一1—1=-2金B(yǎng),這與一248矛盾.②有理數(shù)集Q是“好集”，因為O￡Q,1￡Q,對任意的x￡Q,y￡Q,有x—y￡Q,且xWO時，;￡Q,所以有理數(shù)集Q是“好集”.③因為集合A是“好集"，所以O(shè)QA,若x￡A, 則0—y￡A,即一y￡A,所以了一（―y）￡A,即x+yWA..定義集合運算：A③8={z|z=（x+y）X（x—y）,x￡A, 設(shè)4={也，小},B={1,啦},則集合的真子集個數(shù)為（）A.8 B.7C.16 D.15答案B解析由4={g，5},B={19g},得A幻B有（啦+1）義（g一1）=1,（啦+啦）*（啦—地）=0,（小+1）X（/-1）=2,（小+6）義（小一也尸1四種運算情況，則由集合中元素的互異性可知，集合A保3中有3個元素1,0,2,故集合 的真子集為。，{1},{0},{2},{1,0},{1,2},{0,2},共7個..若非空數(shù)集G滿足“對于VmbGG,都有〃+0,〃一。，G,且當8W0時，『G",則稱G是一個“理想數(shù)集”，給出下列四個命題；①0是任何“理想數(shù)集”的元素；②若“理想數(shù)集”M有非零元素，則N*UM；③集合尸=國％=2左，左GZ}是一個“理想數(shù)集”；④集合T={九|x=〃+/乩a,b￡Z}是“理想數(shù)集”.其中真命題的個數(shù)是（）A.l B.2C.3 D.4答案B解析①G是非空數(shù)集，所以存在a￡G,所以0=〃一〃￡G,故選項①正確；②