概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)字特征與極限處理協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第4章數(shù)字特征與極限定理第5講協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)第五講協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)前面我們介紹了一維隨機(jī)變量地?cái)?shù)學(xué)期望與方差,對于二維隨機(jī)變量,除每個(gè)分量各自地概率特性外,相互之間可能還有某種聯(lián)系,我們現(xiàn)在要討論地就是反映分量之間關(guān)系地?cái)?shù)字特征——協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)2本講內(nèi)容01協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地概念02協(xié)方差地計(jì)算03協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地性質(zhì)01協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地概念協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地概念?定義稱為X,Y地協(xié)方差.記為若D(X)>0,D(Y)>0,稱為X,Y地有關(guān)系數(shù)記為401協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地概念協(xié)方差地大小在一定程度上反映了X與Y相互間?解釋地關(guān)系,但它還受X與Y本身度量單位地影響.為了克服這一缺點(diǎn),對協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化,從而引入了有關(guān)系數(shù)地概念.5本講內(nèi)容01協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地概念02協(xié)方差地計(jì)算03協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地性質(zhì)02協(xié)方差地計(jì)算計(jì)算協(xié)方差地簡單公式由協(xié)方差地定義與期望地性質(zhì),可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).即702協(xié)方差地計(jì)算?例1設(shè)保險(xiǎn)公司對投保地汽車保險(xiǎn)與財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)分別設(shè)定了免賠額(單位:元),現(xiàn)任選一位同時(shí)投保汽車保險(xiǎn)與財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)地客戶,X表示其汽車保單地免賠額,Y表示其財(cái)產(chǎn)保單地免賠額,隨機(jī)變量地聯(lián)合分布律為Y0100200X1002500.20.10.20.30.050.15求cov(X,Y),802協(xié)方差地計(jì)算Y0100200X1002500.20.10.20.30.50.50.50.050.250.150.25902協(xié)方差地計(jì)算1002協(xié)方差地計(jì)算?例2設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度其它求1102協(xié)方差地計(jì)算其它1202協(xié)方差地計(jì)算?例3設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）在區(qū)域上服從均勻分布,求解因?yàn)閰^(qū)域D地面積為所以(X,Y)地概率密度為則1302協(xié)方差地計(jì)算同理故1402協(xié)方差地計(jì)算二維正態(tài)分布地?cái)?shù)字特征設(shè)(X,Y)~N(,;2,2;1212)利用二維正態(tài)分布與協(xié)方差有關(guān)系數(shù)地計(jì)算公式可得15本講內(nèi)容01協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地概念02協(xié)方差地計(jì)算03協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地性質(zhì)03協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地性質(zhì)協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地性質(zhì)存在常數(shù)a,b(a≠0),使P(Y=aX+b)=1,即X與Y以概率1線性有關(guān)1703協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地性質(zhì)稱X,Y不有關(guān).若X,Y相互獨(dú)立X,Y不有關(guān)顯然,若X與Y獨(dú)立,Cov(X,Y)=0,反之,X與Y之間沒有線性關(guān)系并不表示沒有關(guān)系！?例4X,Y不有關(guān)顯然是不相互獨(dú)立地1803協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地性質(zhì)有關(guān)系數(shù)意義與重要結(jié)論X,Y相互獨(dú)立X,Y不有關(guān)若(X,Y)服從二維正態(tài)分布,X,Y相互獨(dú)立X,Y不有關(guān)1903協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地性質(zhì)?例5已知求利用性質(zhì)簡化計(jì)算解由方差,協(xié)方差地性質(zhì)與有關(guān)系數(shù)定義2003協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地性質(zhì)?例6若X~N(0,1)且Y=X2,問X與Y是否不有關(guān)？是否相互獨(dú)立？解為偶函數(shù),因?yàn)閄~N(0,1),密度函數(shù)所以于是由得這說明X與Y是不有關(guān)地,但Y=X2顯然,X與Y是不相互獨(dú)立地.2103協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地性質(zhì)?例7設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布已知求U與V地有關(guān)系數(shù)其a,b為常數(shù),利用性質(zhì)簡化計(jì)算思考:還有其它方法嗎？解因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以則由協(xié)方差地性質(zhì)2203協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地性質(zhì)則由協(xié)方差地性質(zhì)2303協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)地