2023年江西省新余市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．，則B．，則C．，則D．，則2．若隨機(jī)變量的分布列為（）且，則隨機(jī)變量的方差等于（）A． B． C． D．3．已知平面向量，則（）A． B．3 C． D．54．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．5．袋中有6個不同紅球、4個不同白球，從袋中任取3個球，則至少有兩個白球的概率是（）．A． B． C． D．6．已知函數(shù)f(x)＝則)等于()A．4 B．－2C．2 D．17．若cos(α+π4)=1A．718 B．23 C．4-8．已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則A．2 B．4 C．6 D．89．若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，，則、、滿足（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．11．設(shè)函數(shù),（）A．3 B．6 C．9 D．1212．函數(shù)f(x)=ln(A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量與的夾角為，，，則__________.14．某高中十佳校園主持人比賽上某一位選手得分的莖葉統(tǒng)計圖如圖所示，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為______．15．拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為______.16．設(shè)集合，，，（1）的取值范圍是；（2）若，且的最大值為9，則的值是．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中,為側(cè)面的對角線的交點(diǎn),分別為棱的中點(diǎn).(1)求證:平面//平面；(2)求二面角的余弦值.18．（12分）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式：（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．19．（12分）如圖，一張坐標(biāo)紙上已作出圓及點(diǎn)，折疊此紙片，使與圓周上某點(diǎn)重合，每次折疊都會留下折痕，設(shè)折痕與直線的交點(diǎn)為，令點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線與軌跡交于、兩點(diǎn),且直線與以為直徑的圓相切，若，求的面積的取值范圍．20．（12分）已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，過F的直線l與橢圓相交于，，兩點(diǎn).（1）若，求弦的長；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，滿足，求直線l的方程.21．（12分）已知.(1)若在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,求的極小值;(2)當(dāng)時,恒有,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)f(x)=xlnx，（I）判斷曲線y=f(x)在點(diǎn)1,f(1)處的切線與曲線y=g(x)的公共點(diǎn)個數(shù)；（II）若函數(shù)y=f(x)-g(x)有且僅有一個零點(diǎn)，求a的值；（III）若函數(shù)y=f(x)+g(x)有兩個極值點(diǎn)x1,x2，且

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

依據(jù)空間中點(diǎn)、線、面的位置逐個判斷即可.【詳解】直線所在的方向向量分別記為，則它們分別為的法向量，因，故，從而有，A正確.B、C中可能平行，故B、C錯，D中平行、異面、相交都有可能，故D錯.綜上，選A.【點(diǎn)睛】本題考查空間中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假判斷，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】分析：先根據(jù)已知求出a,b的值，再利用方差公式求隨機(jī)變量的方差.詳解：由題得所以故答案為D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查分布列的性質(zhì)和方差的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)對于離散型隨機(jī)變量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，那么＝＋＋…＋,稱為隨機(jī)變量的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機(jī)變量的期望．3、A【解析】

先由的坐標(biāo)，得到的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的模.【詳解】因?yàn)?，所以，因?故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模，熟記向量的坐標(biāo)表示即可，屬于?？碱}型.4、A【解析】

根據(jù)三視圖得出幾何體為一個圓柱和一個長方體組合而成，由此求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體由圓柱和長方體組合而成，故體積為，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查圓柱、長方體體積計算，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

事件“至少有兩個白球”包含“兩個白球一個紅球”和“三個都是白球”，然后利用古典概型的概率的計算公式可求出所求事件的概率．【詳解】事件“至少有兩個白球”包含“兩個白球一個紅球”和“三個都是白球”，由古典概型的概率公式知，事件“兩個白球一個紅球”的概率為，事件“三個都是白球”的概率為，因此，事件“至少有兩個球是白球”的概率為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式以及概率的加法公式，解題時要弄清楚事件所包含的基本情況，結(jié)合概率的加法公式進(jìn)行計算，考查分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中等題．6、B【解析】，則，故選B.7、C【解析】分析：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin(π4+α)詳解：因?yàn)閏os(則0<π4+α<則sin[(故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及兩角差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，其中熟記三角恒等變換的公式是化簡求值的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.8、B【解析】本試題主要考查雙曲線的定義，考查余弦定理的應(yīng)用．由雙曲線的定義得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故選B．9、B【解析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，并比較出三個正數(shù)、、的大小關(guān)系，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系，解題時要利用自變量的大小關(guān)系并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10、B【解析】分析：將方程恰有兩個不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為方程恰有兩個不同的實(shí)根，在轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的圖象與一條折線的位置關(guān)系，即可得到答案.詳解：方程恰有兩個不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為方程恰有兩個不同的實(shí)根，令，，其中表示過斜率為1或的平行折線，結(jié)合圖象，可知其中折線與曲線恰有一個公共點(diǎn)時，，若關(guān)于的方程恰有兩個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了方程根的存在性及根的個數(shù)的判斷問題，其中把方程的實(shí)根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個數(shù)，作出函數(shù)的圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想方法，以及分析問題和解答問題的能力.11、C【解析】.故選C.12、C【解析】因?yàn)閒x=lnx2-4x+4x-23=lnx-22x-23，所以函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）對稱，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6.【解析】

求出即得解.【詳解】由題意，向量的夾角為，所以，所以.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查向量模的計算，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.14、【解析】

由題意，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)為83，84，85，86，87，先求出所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由此能求出所剩數(shù)據(jù)的方差．【詳解】解：某高中十佳校園主持人比賽上某一位選手得分的莖葉統(tǒng)計圖如圖所示，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)為：83，84，85，86，87，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，所剩數(shù)據(jù)的方差為：．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查方差的求法，考查莖葉圖、平均數(shù)、方差等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．15、5【解析】

先計算拋物線的準(zhǔn)線，再計算點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】拋物線，準(zhǔn)線為：點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5故答案為5【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于拋物線的理解.16、（1）（2）【解析】

由圖象可得由圖象得三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2).【解析】

（1）利用線線平行證明平面//平面，（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建系求解即可．【詳解】（1）證明分別為邊的中點(diǎn)，可得,又由直三棱柱可知側(cè)面為矩形，可得故有，由直三棱柱可知側(cè)面為矩形，可得為的中點(diǎn)，又由為的中點(diǎn)，可得.由，平面，，平面，得平面，平面，，可得平面平面.（2）為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)平面的一個法向量為，取，有同樣可求出平面的一個法向量，，結(jié)合圖形二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題，線線平行的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)定理要熟練掌握，利用空間向量的夾角公式求解二面角．18、(1)；(2)【解析】

（1）已知，可得，則，并驗(yàn)證時，是否滿足等式，從而知數(shù)列是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)即可。（2）因?yàn)?，是由等差數(shù)列和等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列，用錯位相減法即可求和?！驹斀狻浚?）因?yàn)椋偎援?dāng)時，②①-②得：，因?yàn)榈母黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，且，所以由①知，，即，又因?yàn)?，所以故，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列（2）由（1）得，所以，③④③-④得，當(dāng)且時，，；當(dāng)時，由③得綜上，數(shù)列的前項(xiàng)和【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列以及數(shù)列的求和。利用等比數(shù)列求和公式時，當(dāng)公比是字母時，要注意討論公式的范圍。屬于中檔題。19、（1）；（2）【解析】

分析：（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，可得，的軌跡的方程為；（2）與以為直徑的圓相切，則到的距離：，即，由，消去，得，由平面向量數(shù)量積公式可得，由三角形面積公式可得，換元后，利用單調(diào)性可得結(jié)果.詳解：（1）折痕為PP′的垂直平分線，則|MP|=|MP′|，由題意知圓E的半徑為，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|，∴E的軌跡是以E、P為焦點(diǎn)的橢圓，且，∴，∴M的軌跡C的方程為．（2）與以EP為直徑的圓x2+y2=1相切，則O到的距離：，即，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直線與橢圓交于兩個不同點(diǎn)，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又，∴，∴，設(shè)μ=k4+k2，則，∴，…10分∵S△AOB關(guān)于單調(diào)遞增，∴，∴△AOB的面積的取值范圍是點(diǎn)睛：本題主要考查利用定義求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形面積最值的.20、(1);(2)【解析】

（1）根據(jù)直線和橢圓的位置關(guān)系,以及弦長公式即可求出;（2）根據(jù)向量的數(shù)量積和三角形的面積公式,弦長公式以及點(diǎn)到直線的距離,即可求出.【詳解】(1)F是橢圓的右焦點(diǎn),即,則,當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為代入橢圓方程中,可得,解得..(2).當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程中,可得,點(diǎn)到直線的距離為,解得.直線的方程為;當(dāng)直線的斜率不存在時,則直線方程為,此時，,不滿足題意.綜上，直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查考查了弦長公式,點(diǎn)到直線的距離公式,三角形面積公式在解決直線和橢圓關(guān)系中的應(yīng)用,考查學(xué)生的計算求解能力,難度一般.21、（1）（2）【解析】

（1）先求導(dǎo)，再由題意可得f′（﹣1）＝0，從而求得2a＝1，從而化簡f′（x）＝（x+1）（ex﹣1），從而確定極小值點(diǎn)及極小值．（2）對f（x）的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分析，當(dāng)時，可得f（x）單增，求得f（x）的最小值為0，當(dāng)a>1時，可得f（x）在（0，lna）上單減，且f（0）=0，不滿足題意，綜合可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,上單調(diào)遞減,所以.因?yàn)?所以,.所以,所以在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以的極小值為.(2),令,則.若,則時，,為增函數(shù),而,所以當(dāng)時,,從而.若,則時,,為減函數(shù),,故時,,從而,不符合題意.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了單調(diào)性的應(yīng)用及函數(shù)極值的概念，考查了恒成立問題的轉(zhuǎn)化，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．22、（I）詳見解析；（II）a=3；（III）a>【解析】

（I）利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(1，f（1）)處的切線方程，和函數(shù)y=g(x)聯(lián)立后由判別式分析求解公共點(diǎn)個數(shù)；（II）寫出函數(shù)y=f(x)-g(x)表達(dá)式，由y