人教B版-必修三-第七章 三角函數(shù)-本章小結(jié)

《綜合復(fù)習(xí)與測(cè)試》學(xué)案新課標(biāo)新學(xué)法課程標(biāo)準(zhǔn)：1.借助單位圓理解正弦函數(shù)的定義以及周期性、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì).2.能用五點(diǎn)法畫出正弦函數(shù)的圖像．教學(xué)重點(diǎn)：掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)．教學(xué)難點(diǎn)：正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用.核心概念掌握【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】知識(shí)點(diǎn)一正弦函數(shù)的性質(zhì)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都滿足eq\o(□,\s\up3(11))f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱為這個(gè)函數(shù)的eq\o(□,\s\up3(12))周期．對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就稱為f(x)的eq\o(□,\s\up3(13))最小正周期．知識(shí)點(diǎn)二正弦函數(shù)的圖像(1)一般地，y＝sinx的函數(shù)圖像稱為eq\o(□,\s\up3(01))正弦曲線．(2)我們作正弦曲線的簡(jiǎn)圖時(shí)，在精確度要求不高的情況下，一般都是先找出確定圖像形狀的關(guān)鍵的五個(gè)點(diǎn)，然后再描點(diǎn)作圖，這種作圖方法稱為eq\o(□,\s\up3(02))五點(diǎn)法．(3)利用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)y＝sinx在區(qū)間[0,2π]上的圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是eq\o(□,\s\up3(03))(0,0)，eq\o(□,\s\up3(04))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，eq\o(□,\s\up3(05))(π，0)，eq\o(□,\s\up3(06))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，eq\o(□,\s\up3(07))(2π，0)．【新知拓展】1．作正弦函數(shù)圖像時(shí)，函數(shù)自變量要用弧度制，以保證自變量與函數(shù)值都為實(shí)數(shù)．2．如果y＝sinx的定義域不是全體實(shí)數(shù)，那么它的值域就可能不是[－1,1]．如y＝sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，此時(shí)y∈[0,1]．3．正弦曲線的對(duì)稱軸一定經(jīng)過正弦曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，此時(shí)，正弦函數(shù)取最大值或最小值．4．正弦曲線的對(duì)稱中心一定是正弦曲線與x軸的交點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值為0.5．正弦函數(shù)在其定義域上不是單調(diào)的．6．奇偶性的判斷步驟是：(1)求定義域；(2)觀察f(－x)與±f(x)的關(guān)系；(3)下結(jié)論．7．周期性除用定義外還要重視圖像法．評(píng)價(jià)自評(píng)1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)由于sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(2π,3)))＝sineq\f(π,6)，則eq\f(2π,3)是函數(shù)y＝sinx的一個(gè)周期．()(2)畫正弦函數(shù)圖像時(shí)，函數(shù)自變量要用弧度制．()(3)正弦函數(shù)在定義域上不是單調(diào)函數(shù)．()答案(1)×(2)√(3)√2.做一做(1)下列區(qū)間中，是函數(shù)y＝sinx的單調(diào)增區(qū)間的是()A．[0，π] \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) D．[π，2π](2)函數(shù)y＝2－sinx的最大值為________，取最大值時(shí)x的值為________．(3)函數(shù)y＝sinx，x∈[0，π]時(shí)，值域?yàn)開_______．答案(1)C(2)3－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z(3)[0,1]核心素養(yǎng)養(yǎng)成題型一判斷正弦函數(shù)的奇偶性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝eq\f(3,4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3π,2)))；(2)f(x)＝eq\f(1－sinx,1＋sinx).[解](1)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，f(x)＝eq\f(3,4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3π,2)))＝－eq\f(3,4)cosx.所以f(－x)＝－eq\f(3,4)cos(－x)＝－eq\f(3,4)cosx＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(3,4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3π,2)))為偶函數(shù)．(2)函數(shù)應(yīng)滿足1＋sinx≠0，所以函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z)))).因?yàn)楹瘮?shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．金版點(diǎn)睛函數(shù)奇偶性的判斷方法(1)看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(2)看f(x)與f(－x)的關(guān)系．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練1])判斷函數(shù)f(x)＝xsin(π＋x)的奇偶性．解函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx.f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù).題型二正弦函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用例2(1)比較下列各組數(shù)的大小：①sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))與sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))；②sineq\f(7,4)與coseq\f(5,3).(2)求函數(shù)y＝－2sinx－1的單調(diào)遞增區(qū)間．[解](1)①因?yàn)椋璭q\f(π,2)<－eq\f(π,10)<－eq\f(π,18)<0，正弦函數(shù)y＝sinx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上是增函數(shù)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))).②因?yàn)閏oseq\f(5,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(5,3)))，又eq\f(π,2)<eq\f(7,4)<eq\f(π,2)＋eq\f(5,3)<eq\f(3π,2)，而y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是減函數(shù)，所以sineq\f(7,4)>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(5,3)))，即sineq\f(7,4)>coseq\f(5,3).(2)因?yàn)閥＝－2sinx－1，所以函數(shù)y＝－2sinx－1的遞增區(qū)間就是函數(shù)y＝sinx的遞減區(qū)間．所以eq\f(π,2)＋2kπ≤x≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以函數(shù)y＝－2sinx－1的遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)．金版點(diǎn)睛利用正弦函數(shù)單調(diào)性比較大小的步驟(1)一定：利用誘導(dǎo)公式把角化到同一單調(diào)區(qū)間上．(2)二比較：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練2])(1)下列關(guān)系式中正確的是()A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°D．sin168°<cos10°<sin11°(2)函數(shù)y＝2sinx＋eq\f(π,6)(x∈[0，π])為增函數(shù)的區(qū)間是________．答案(1)C(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))解析(1)∵cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°，且y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))是增函數(shù)，∴sin80°>sin12°>sin11°，即cos10°>sin168°>sin11°.(2)y＝2sinx＋eq\f(π,6)在x∈[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間與y＝sinx在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間相同，為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).題型三求正弦函數(shù)的值域或最值例3求使下列函數(shù)取得最大值和最小值時(shí)的x值，并求出函數(shù)的最大值和最小值：(1)y＝2sinx－1；(2)y＝－sin2x＋eq\r(2)sinx＋eq\f(3,4).[解](1)由－1≤sinx≤1知，當(dāng)x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z時(shí)，函數(shù)y＝2sinx－1取得最大值，ymax＝1；當(dāng)x＝eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z時(shí)，函數(shù)y＝2sinx－1取得最小值，ymin＝－3.(2)y＝－sin2x＋eq\r(2)sinx＋eq\f(3,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(\r(2),2)))2＋eq\f(5,4)，因?yàn)椋?≤sinx≤1，所以當(dāng)sinx＝eq\f(\r(2),2)，即x＝eq\f(π,4)＋2kπ或x＝eq\f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)取得最大值，ymax＝eq\f(5,4)；當(dāng)sinx＝－1，即x＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)取得最小值，ymin＝－eq\f(1,4)－eq\r(2).金版點(diǎn)睛與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域(或最值)的求法(1)求形如y＝asinx＋b的函數(shù)的最值或值域時(shí)，可利用正弦函數(shù)的有界性(－1≤sinx≤1)求解．(2)求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函數(shù)的值域或最值時(shí)，可以通過換元，令t＝sinx，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值．求解過程中要注意正弦函數(shù)的有界性．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練3])設(shè)f(x)＝asinx＋b的最大值是1，最小值是－3，試確定g(x)＝b2sinx＋a2的最大值．解由題意，a≠0，當(dāng)a>0時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,－a＋b＝－3，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1，))此時(shí)g(x)＝sinx＋4的最大值為5.當(dāng)a<0時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝－3，,－a＋b＝1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1，,))此時(shí)g(x)＝sinx＋4的最大值為5.綜上知，g(x)的最大值為5.題型四用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)的圖像例4作函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]與函數(shù)y＝－1＋sinx，x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖，并研究它們之間的關(guān)系．[解]按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－10－1＋sinx－10－1－2－1利用正弦函數(shù)的性質(zhì)描點(diǎn)作圖，如圖：由圖像可以發(fā)現(xiàn)，把y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得y＝－1＋sinx，x∈[0,2π]的圖像．金版點(diǎn)睛用五點(diǎn)法作函數(shù)y＝sinx的圖像的步驟(1)列表，由x＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π求出y的值，得到“五點(diǎn)”坐標(biāo)．(2)在同一坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)．(3)用光滑曲線連接這些點(diǎn)，所成圖像即為所求．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練4])用五點(diǎn)法作出函數(shù)y＝sinx＋5在[0,2π]上的圖像，并寫出它的最值．解列表如下：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－10y56545描點(diǎn)連線，如圖所示．得到函數(shù)y＝sinx＋5的圖像，其最大值為6，最小值為4.

隨堂水平達(dá)標(biāo)1．函數(shù)y＝(sinx－2)2在R上的最大值為()A．4 B．9C．1 D．3答案B解析由y＝sinx在R上的最小值為－1，最大值為1，結(jié)合二次函數(shù)的圖像，可得當(dāng)sinx＝－1時(shí)，y＝(sinx－2)2取得最大值9.2．函數(shù)y＝sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，則y的范圍是()A．[－1,1] \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))答案C解析當(dāng)x＝eq\f(π,6)時(shí)，y取最小值eq\f(1,2)，當(dāng)x＝eq\f(π,2)時(shí)，y取最大值1.3．函數(shù)y＝3sinx＋5的最小正周期是________．答案2π解析∵y＝3sinx＋5和y＝sinx周期相同，∴最小正周期為2π.4．已知a∈R，函數(shù)f(x)＝sinx－|a|，x∈R為奇函數(shù)，則a等于________．答案0解析定義域x∈R，∵f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－sinx－|a|，又f(x)＝－f(－x)，∴sinx－|a|＝sinx＋|a|，∴|a|＝0，即a＝0.5．畫出函數(shù)y＝－sinx，x∈[0,2π]的圖像．解列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－10－sinx0－1010描點(diǎn)并用光滑的曲線連接起來，如圖，得到y(tǒng)＝－sinx，x∈[0，2π]的圖像．課后課時(shí)精練A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．以下對(duì)正弦函數(shù)y＝sinx的圖像描述不正確的是()A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)時(shí)的圖像形狀相同，只是位置不同B．介于直線y＝1與直線y＝－1之間C．關(guān)于x軸對(duì)稱D．與y軸僅有一個(gè)交點(diǎn)答案C解析由正弦函數(shù)y＝sinx在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)時(shí)的圖像可知C項(xiàng)不正確．2．不等式sinx≥eq\f(\r(2),2)，x∈(0,2π)的解集為()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))答案B解析∵sinx≥eq\f(\r(2),2)，x∈(0,2π)，結(jié)合y＝sinx的圖像知，eq\f(π,4)≤x≤eq\f(3π,4)，故不等式sinx≥eq\f(\r(2),2)的解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).3．函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的最小正周期為()\f(π,2) B．πC．2π D．4π答案B解析f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)＋2π))＝eq\r(3)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋π－\f(π,4)))＝f(x＋π)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.故選B.4．函數(shù)y＝eq\r(sinx)的定義域?yàn)?)A．[0，π]B．{第一或第二象限的角}C．{x|2kπ≤x≤(2k＋1)π，k∈Z}D．(0，π)答案C解析要使函數(shù)y＝eq\r(sinx)有意義，則需sinx≥0，由y＝sinx的圖像可得{x|2kπ≤x≤(2k＋1)π，k∈Z}．5．設(shè)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,2)))，x∈R，則f(x)是()A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù)D．最小正周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)答案D解析∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))－\f(π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,2)))＝f(x)，∴f(x)的最小正周期為eq\f(π,2).∵f(0)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝－1，∴函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱．∴f(x)為偶函數(shù)．6．與圖中曲線(部分)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是()A．y＝|sinx| B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx|答案C解析注意圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的正負(fù)，可排除選項(xiàng)A，D.當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，sin|x|>0，而圖中顯然小于零，因此排除選項(xiàng)B.故選C.二、填空題7．函數(shù)y＝－2sinx＋10取最小值時(shí)，自變量x的集合是________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,2)＋2kπ，k∈Z))))解析由題意知y＝－2sinx＋10取最小值時(shí)，就是sinx取最大值時(shí)，即x＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z.8．已知|x|≤eq\f(π,4)，則函數(shù)y＝cos2x＋sinx的最小值是________．答案eq\f(1－\r(2),2)解析y＝－sin2x＋sinx＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2＋eq\f(5,4).∵－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(\r(2),2)≤sinx≤eq\f(\r(2),2).∴當(dāng)sinx＝－eq\f(\r(2),2)時(shí)，ymin＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)－\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)＝eq\f(1－\r(2),2).三、解答題9．求下列函數(shù)的最小正周期T：(1)f(x)＝3sinx；(2)f(x)＝sin2x；(3)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4))).解(1)對(duì)任意x∈R，f(x)＝3sinx＝3sin(x＋2π)＝f(x＋2π)，∴函數(shù)的最小正周期為2π.(2)對(duì)任意x∈R，f(x)＝sin2x＝sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)＝f(x＋π)，∴函數(shù)的最小正周期為π.(3)對(duì)于任意x∈R，f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))＝2sineq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1())eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4)＋2πeq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1())＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋4π＋\f(π,4)))＝f(x＋4π)，∴函數(shù)的最小正周期為4π.10．比較下列各組數(shù)的大?。?1)sin194°與cos160°；(2)coseq\f(3,2)，sineq\f(1,10)，－coseq\f(7,4)；(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,8)))與sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,8))).解(1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°，∵0°<14°<70°＜90°，∴sin14°<sin70°，從而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.(2)∵sin