電路分析基礎

電路分析基礎第1頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4.1動態(tài)元件

4.1.2電容元件一、電容的定義滿足電荷量q與其端電壓的關系為q(t)=Cu(t)的元件稱為電容。電荷q—庫侖（c）電壓u—伏特（v）電容C—法拉（F）線性時不變電容元件：該曲線為u-q平面上通過原點的一條直線，

且不隨時間變化。第2頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二二、電容的VAR電容上的電流1、電容元件VAR的微分形式：(2)電流為有限值，u必定是t的連續(xù)函數(shù)，而不能躍變。“電容電壓不可突變”(1)通過電容的電流與該時刻的電壓變化率成正比。直流電壓，電容相當于開路。

“隔直通交”第3頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二從-∞到t進行積分，并設u(-∞)=0，得2、電容元件VAR的積分形式：t時刻的電容電壓與t時刻以前的電流的“全部歷史有關”。

————“記憶”電流，電容是記憶性元件

初始時刻t0：初始時刻t=0：？第4頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二3、電容的功率和能量電容儲存的能量≥0，且電容不消耗能量，它只與電源進行能量交換。電容是無源元件。ui參考方向關聯(lián)第5頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二解：例1電路中,us(t)如圖示,C=0.5F，求電流i，功率p(t)和儲能wC(t)，繪出波形。第6頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二電容儲能公式：

C=0.5F第7頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4.1.1電感元件

一、電感的定義滿足磁鏈與其端電流的關系為Ψ(t)=Li(t)的元件稱為電感。線性時不變電感元件：曲線為i-ψ平面上過原點的一條直線， 且不隨時間變化。－磁鏈，單位：韋伯（Wb）i－電流，單位：安培（A）L－電感，單位：亨利（H）第8頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二二、電感的VAR1、電感元件VAR的微分形式：電感電壓：電壓為有限值，i必定是t的連續(xù)函數(shù)，而不能躍變?！半姼须娏鞑豢赏蛔儭敝绷麟娏?，電感相當于短路。

“電感直流無效”(1)電感兩端電壓與該時刻電流變化率成正比。第9頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二從-∞到t進行積分，并設i(-∞)=0，得2、電感元件VAR的積分形式：初始時刻t0：初始時刻t=0：？t時刻的電感電流與t時刻以前的電壓的“全部歷史有關”。

————“記憶”電壓，電感是記憶性元件

第10頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二3、電感的功率和能量ui參考方向關聯(lián)電感儲存的能量≥0，電感不消耗能量，電感是無源元件。第11頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二解：例2電路中,i

(t)如圖示,L=2H，求電流i(t)

，功率p(t)和儲能wC(t)，繪出波形。第12頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二

L=2H第13頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二例3電路中，求t>0時的電壓。第14頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4.1.3電感、電容的串、并聯(lián)1、電感串聯(lián)

等效電感：擴展應用：串聯(lián)電感電感串聯(lián)分壓：擴展應用：串聯(lián)電感分壓，正比第15頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4.1.3電感、電容的串、并聯(lián)2、電感并聯(lián)

等效電感：擴展應用：并聯(lián)電感電感并聯(lián)分流：擴展應用：并聯(lián)電感分流，反比第16頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4.1.3電感、電容的串、并聯(lián)3、電容串聯(lián)

等效電容：擴展應用：串聯(lián)電容電容串聯(lián)分壓：擴展應用：串聯(lián)電容分壓，反比第17頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4.1.3電感、電容的串、并聯(lián)4、電容并聯(lián)

等效電容：擴展應用：并聯(lián)電容電容并聯(lián)分流：擴展應用：并聯(lián)電容分流，正比第18頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二總結(jié)電容元件

1、電容的VAR電容電壓不可突變

隔直通交記憶電流，電容是記憶性元件

2、電容串聯(lián)

電容串聯(lián)，越串越小，分壓，反比。3、電容并聯(lián)

電容并聯(lián)，越并越大，分流，正比。第19頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二總結(jié)電感元件

1、電感的VAR2、電感串聯(lián)

電感串聯(lián)，越串越大，分壓，正比。3、電感并聯(lián)

電感并聯(lián)，越并越小，分流，反比。電感電流不可突變電感直流無效記憶電壓，電感是記憶性元件

第20頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二換路、暫態(tài)與穩(wěn)態(tài)的概念換路：電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)發(fā)生突然變化。穩(wěn)態(tài)：在指定條件下電路中的電壓、電流已達到穩(wěn)定值。有兩類穩(wěn)態(tài)電路：直流穩(wěn)態(tài)電路：電路中電流電壓均為恒定量。正弦穩(wěn)態(tài)電路：電路中電流電壓均為正弦交流量。第21頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二包含至少一個動態(tài)元件（電容或電感）的電路為動態(tài)電路。

含有一個獨立的動態(tài)元件的電路為一階電路。（電路方程為一階常系數(shù)微分方程）含有二個獨立的動態(tài)元件的電路為二階電路。（電路方程為二階常系數(shù)微分方程）含有三個或三個以上獨立的動態(tài)元件的電路為高階電路。（電路方程為高階常系數(shù)微分方程）4.2動態(tài)電路方程第22頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二暫態(tài)：電路換路后從一種穩(wěn)態(tài)到另一種穩(wěn)態(tài)的過渡過程。過渡過程產(chǎn)生的原因：外因換路；內(nèi)因有儲能元件。穩(wěn)態(tài)暫態(tài)暫態(tài)第23頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4.2.1電路微分方程1、RC串聯(lián)電路2、RL并聯(lián)電路討論：t≥0時，電容電壓討論：t≥0時，電感電流第24頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二3、RLC串聯(lián)電路討論：RLC串聯(lián)電路內(nèi)，電容電壓。一般而言，若電路中含有n個獨立的動態(tài)元件，那么描述該電路的微分方程是n階的，稱為n階電路。二階線形常系數(shù)微分方程二階電路第25頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4.2.2電路量的初始值計算為什么要進行初始值計算？例：一階線性常系數(shù)微分方程的求解求通解（滿足（1-1）式且含有一個待定常數(shù)的解。）設則得到微分方程特征方程特征根所以有通解：確定待定常數(shù)K初始條件代入通解得：第26頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二例：求解方程解：特征方程特征根通解代入初始條件，得原問題的解為初始值用來完全確定微分方程的解。動態(tài)電路中，要得到待求量，就必須知道待求量的初始值。而相應的微分方程的初始條件為電流或電壓的初始值。第27頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二動態(tài)電路的初始狀態(tài)與初始值t0+和t0-路換時刻：t0，則t0-為換路前的瞬間，t0+為換路后的瞬間（稱為換路后的初始時刻）。研究問題：電路的狀態(tài)變量動態(tài)元件為電容，則研究變量為uC(t)；動態(tài)原件為電感，則研究變量為iL(t)；初始狀態(tài)：uC(0＋),iL(0＋)初始值：t0+時刻其它u

(0＋),i

(0＋)值。4.2.2初始值的計算第28頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4.2.2初始值的計算電容電壓不可突變電感電流不可突變換路時刻，iC和uL為有限值，uC和iL在該處連續(xù)，不可躍變。除過uC和iL，電路中其他的u、i可以在換路前后發(fā)生躍變。換路定律第29頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二(1)由t＜0時的電路，求出uC(0-),iL(0-)；(3)畫出0+等效電路：在t=0+時，用電壓等于uC(0+)的電壓源替代電容元件，用電流等于iL(0+)的電流源替代電感元件，獨立電源均取t=0+時的值。(4)由0+等效電路，求出其他部分的電流、電壓的初始值。(2)根據(jù)換路定律求出uC(0+)、iL(0+)。求初始值的簡要步驟如下：0+等效電路的應用第30頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二例1換路前電路處穩(wěn)態(tài)，C、L均未儲能。求：電路中各電壓和電流的初始值。解：(1)由換路前電路求由已知條件知換路瞬間，電容視為短路。換路瞬間，電感視為開路。(2)由0+電路，求其余u，i的初始值第31頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二例2圖示電路，開關閉合前，電路已處于穩(wěn)定。t=0時開關閉合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和iC(0+)。解：(1)求開關閉合前的uC(0-)(2)0+等效電路。根據(jù)換路定律有(3)第32頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二例3圖示電路，t=0時開關S由1板向2，t＜0時電路處于穩(wěn)定。求初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。解：(1)由t＜0時的電路，求iL(0-)：(2)0+等效電路。根據(jù)換路定律：(3)第33頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二例4電路在t＜0時已處于穩(wěn)定，t=0時開關S由1扳向2。求初始值i2(0+)，iC(0+)。解：(1)(2)0+等效電路。根據(jù)換路定律有(3)第34頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二例5：已知換路前已達穩(wěn)態(tài)，求uL(0＋)、i

(0＋)、i1(0＋)和iL(0＋)。解：由0＋等效電路可求得第35頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二求初始值的簡要步驟如下：(1)由t＜0時的電路，求出uC(0-),iL(0-)；(2)畫出0+等效電路；(3)由0+等效電路，求出各電流、電壓的初始值。

第36頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4.3一階電路的零輸入響應動態(tài)電路的零輸入響應：外加激勵為零，僅由動態(tài)元件初始儲能所產(chǎn)生的電流和電壓。一階電路：含有一個動態(tài)元件（C或L）的電路。動態(tài)電路的零狀態(tài)響應：電路的初始儲能為零，僅由t≥0時的外加激勵所產(chǎn)生的響應。動態(tài)電路的全響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應第37頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4.3.1一階RC電路的零輸入響應1、定性分析：電容的沖放電過程。(實質(zhì))動態(tài)電路的全響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應初始條件：2、電路方程的建立：第38頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二方程的通解為：特征方程：特征根：電路的放電電流：一階常系數(shù)微分方程：3、求解微分方程：第39頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4、參量圖形分析

uC(t)從初始值按指數(shù)規(guī)律衰減i(t)從初始值按指數(shù)規(guī)律衰減電容充放電分析：1、t＜0時，充電，穩(wěn)定后，uC＝R0Is。2、換路后，電容放電，uC指數(shù)規(guī)律下降

“過渡過程”，“暫態(tài)過程”。3、當t→∞時，放電結(jié)束，uC＝0。4、時間常數(shù)τ=RC。第40頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二5、時間常數(shù)τ單位:秒（S）反映了電路暫態(tài)過程的快慢。物理意義：當t=τ時工程上認為，電容放電基本結(jié)束。理論上認為時電路達穩(wěn)態(tài)。t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U第41頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二5、時間常數(shù)τ電容充放電分析：1、t＜0時，充電，穩(wěn)定后，uC＝R0Is。2、換路后，電容放電，uC指數(shù)規(guī)律下降“過渡過程”，“暫態(tài)過程”。3、當t→∞時，放電結(jié)束，uC＝0。4、時間常數(shù)τ=RC。τ的大小反映了電容沖放電快慢（過渡過程的快慢），τ越大，越慢。不同時間常數(shù)的uC波形第42頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4.3.2一階RL電路的零輸入響應1、電路方程的建立：初始條件：2、求解微分方程：方程的通解為：特征方程：特征根：第43頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二3、電路其他參量：零輸入響應總是按指數(shù)規(guī)律逐漸衰減到零。

時間常數(shù)中的R的計算類似于戴維南定理應用時，等效電阻的計算，即從儲能元件兩端看進去的等效電阻。第44頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二例1電路，t＜0時電路處于穩(wěn)定，t=0時開關打開。求t＞0時的電流iL和電壓uR、uL。解：得到0+等效電路，得：時間常數(shù)第45頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二也可以用下面方法求：第46頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二例2電路中，US=30V,RS=R1=3Ω,R2=2Ω,R3=4Ω,C=4.5F，t＜0時電路處于穩(wěn)定，t=0時S打開。求：1）電路零輸入響應uCx、i1x、i3x；2）驗證整個放電過程中，各電阻消耗的總能量等于電容的初始儲能。解：畫出0+等效電路：第47頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二1）電路零輸入響應uCx、i1x、i3x；2）驗證放電過程中，各電阻消耗的總能量等于電容的初始儲能。放電電路等效電阻：1）零輸入響應：第48頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4.4一階電路的零狀態(tài)響應4.4.1一階RC電路的零狀態(tài)響應動態(tài)電路的零狀態(tài)響應：電路的初始儲能為零，僅由t≥0時的外加激勵所產(chǎn)生的響應。1、定性分析：電容的沖放電過程。(實質(zhì))第49頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二2、電路方程的建立：初始條件：一階非齊次微分方程相應的齊次方程：3、求解微分方程：特解通解（齊次解）特征方程：特征根：得到：通解（齊次解）第50頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二3、求解微分方程：特解的求解：第51頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二3、求解微分方程：則方程全解：將初始條件代入，得：特解通解（齊次解）第52頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量電路達到穩(wěn)定狀態(tài)時的電壓僅存在于暫態(tài)過程中t-U+Uo第53頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4.4.2一階RL電路的零狀態(tài)響應初始條件1、定性分析：電感的沖放電過程。2、電路方程的建立：特解通解（齊次解）一階非齊次微分方程3、求解微分方程：第54頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二3、求解微分方程：初始條件相應的齊次方程的解：特征方程：特征根：得到：通解（齊次解）時間常數(shù)：特解的求解：全解第55頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二3、求解微分方程：初始條件全解第56頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二4.5一階電路的全響應全響應：電路的初始狀態(tài)不為零，同時又有外加激勵電源的作用，這時電路的響應稱為全響應。動態(tài)電路的零輸入響應：外加激勵為零，僅由動態(tài)元件初始儲能所產(chǎn)生的電流和電壓。動態(tài)電路的零狀態(tài)響應：電路的初始儲能為零，僅由t≥0時的外加激勵所產(chǎn)生的響應。動態(tài)電路的全響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應第57頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二uC(0-)=U0sRU+_C+_iuC零輸入響應零狀態(tài)響應全響應動態(tài)電路的全響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應第58頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量全響應=穩(wěn)態(tài)響應+暫態(tài)響應全響應穩(wěn)態(tài)值初始值uC(0-)=U0sRU+_C+_iuC第59頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二三要素公式：在直流電源作用下，計算一階線性電路完全響應的通用表達式。uC(0-)=U0sRU+_C+_iuC三要素公式三要素三要素法：利用求三要素的方法求解暫態(tài)過程第60頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二

求穩(wěn)態(tài)后電路中的電壓和電流，其中電容C視為開路,電感L視為短路，即求解直流電阻性電路中的電壓和電流。(1)穩(wěn)態(tài)值的計算“三要素”的確定uC+-t=0C10V5k1

FS例：5k+-t=03666mAS1H第61頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二1)由t=0-電路求2)根據(jù)換路定律求出3)由t=0+時的電路，求所需其它各量的或在換路瞬間t=(0+)的等效電路中：電容元件視為短路。其值等于(1)若電容元件用電壓源代替，其值等于I0,,電感元件視為開路。(2)若,電感元件用電流源代替，注意：(2)初始值的計算第62頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二對于較復雜的一階電路，R0為換路后的電路除去電源和儲能元件后，在儲能元件兩端所求得的無源二端網(wǎng)絡的等效電阻。(3)時間常數(shù)的計算對于一階RC電路對于一階RL電路注意：第63頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二R0U0+-CR0

R0的計算類似于應用戴維南定理解題時計算電路等效電阻的方法。即從儲能元件兩端看進去的等效電阻。R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3第64頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二計算一階電路響應的方法：1、三要素法求電感電流iLiL(0+)=I0iL(∞)=Us/Rτ=L/R第65頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二iLx(0+)=I0；iLx(∞)=0；τ=L/R2、全響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應iLf(0+)=0；iLf(∞)=Us/R；τ=L/R全響應零輸入響應：零狀態(tài)響應：第66頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二例1電路t=0時開關S閉合，閉合前電路穩(wěn)定，求t>0時的iL。解：三要素法第67頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二例2圖示電路，t<0時電路穩(wěn)態(tài)。t=0時S1打開，S2閉合。求電容電壓uC和電流i.

(1)求uC(0+)和i(0+)解：第68頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二例2圖示電路，t<0時電路穩(wěn)態(tài)。t=0時S1打開，S2閉合。求電容電壓uC和電流i.

解：(2)求uC(∞)和i(∞)(3)求τ第69頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二例2圖示電路，t<0時電路穩(wěn)態(tài)。t=0時S1打開，S2閉合。求電容電壓uC和電流i.

解：(4)求uC和i。第70頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二解：用三要素法求解例3：電路如圖，t=0時合上開關S，合S前電路已處于穩(wěn)態(tài)。試求電容電壓

和電流、。(1)確定初始值由t=0-電路可求得由換路定則t=0-等效電路9mA+-6kRS9mA6k2F3kt=0+-CR第71頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二(2)確定穩(wěn)態(tài)值由換路后電路求穩(wěn)態(tài)值(3)由換路后電路求時間常數(shù)t∞電路9mA+-6kR

3k第72頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二三要素第73頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二用三要素法求54V18V2kt=0+++--第74頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二用三要素法求解解:已知：S在t=0時閉合，換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。求:電感電流例4:t=0ˉ等效電路213AR12由t=0ˉ等效電路可求得(1)求uL(0+),iL(0+)第75頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二t=03AR3IS211H_+LSR2R12由t=0+等效電路可求得(2)求穩(wěn)態(tài)值t=0+等效電路212AR12+_R3R2t=等效電路212R1R3R2由t=等效電路可求得第76頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二(3)求時間常數(shù)t=03AR3IS211H_+LSR2R1221R12R3R2L穩(wěn)態(tài)值2A-4V0t第77頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二由t=0-時電路例5：電路如圖，開關S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時S閉合，試求：t>0時電容電壓uC和電流iC

i1和i2。解：用三要素法求解求初始值+-St=06V123+-t=0-等效電路12+-6V3+-第78頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二求時間常數(shù)求穩(wěn)態(tài)值+-St=06V123+-23+-第79頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二+-St=06V123+-第80頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二第四章動態(tài)電路時域分析4.1動態(tài)電路元件4.2動態(tài)電路方程4.3一階電路的零輸入響應4.4一階電路的零狀態(tài)響應4.5一階電路的完全響應

4.6階躍函數(shù)與電路的階躍響應階躍函數(shù)——階躍響應，從而，用此關系推出：一般函數(shù)——一般相應原件特性電路的微分方程的建立，暫態(tài)過程初始值的計算。有儲能無電源，放電過程有電源無儲能，充電過程有電源有儲能，充放電過程第81頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二總結(jié)電容元件

1、電容的VAR電容電壓不可突變

隔直通交記憶電流，電容是記憶性元件

2、電容串聯(lián)

電容串聯(lián)，越串越小，分壓，反比。3、電容并聯(lián)

電容并聯(lián)，越并越大，分流，正比。第82頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二總結(jié)電感元件

1、電感的VAR2、電感串聯(lián)

電感串聯(lián)，越串越大，分壓，正比。3、電感并聯(lián)

電感并聯(lián)，越并越小，分流，反比。電感電流不可突變電感直流無效記憶電壓，電感是記憶性元件

第83頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二講授體系目標：根據(jù)現(xiàn)有情況（電路結(jié)構(gòu)，有無激勵，有無儲能）， 得到動態(tài)元件的暫態(tài)變化（uC,iL），電路其他各處的 u，i。前提：1.動態(tài)元件特性2.微分方程的建立（依據(jù)：回路—KVL，節(jié)點—KCL）（定量，定性，串并聯(lián)）（待求未知數(shù)：uC,iL）（初始值的計算：u(0+),i(0+)）工作分類：1.一階電路的零輸入相應2.一階電路的零狀態(tài)相應3.一階電路的全相應第84頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二1.一階電路的零輸入相應2.一階電路的零狀態(tài)相應3.一階電路的全相應一階線性齊次微分方程1）電路方程的建立：2）求解過程：特征方程，特征根，帶未知系數(shù)的通解，未知系數(shù)的確定3）解的結(jié)構(gòu)：一階線性非齊次微分方程1）電路方程的建立：2）求解過程：全解=通解+特解3）解的結(jié)構(gòu)：第85頁，共97頁，2023年，2月20日，星期二實際求解思路（三要素法）目標：根據(jù)現(xiàn)有情況（電路結(jié)構(gòu)，有無激勵，有無儲能）， 得到動態(tài)過程的三要素，得到電路各處的u，i。過程：求解過程：換路定理—0+等效電路應用注意：uC,iL不突變，其他都可能突變；0+和0-要區(qū)別