電動力學二四鏡象法

電動力學二四鏡象法1第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一目的：

學習一種求解靜電場的

特殊方法--鏡象法（簡潔明了）主要內容：

一、相關內容回顧

二、鏡象法的基本思想

三、鏡象法應用舉例

四、總結與討論2第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一唯一性定理給出靜電場可以唯一求解的條件唯一性定理：在可均勻分區(qū)的區(qū)域V內給定自由電荷分布，區(qū)域V內的電場由V的邊界S上的電勢或者電勢法向導數(shù)唯一地確定。一、相關內容回顧3第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一如果V內含有導體區(qū)域，將導體表面視為邊界面。如果不是給定導體邊界上的電勢或者電勢法向導數(shù)，而是給定每個導體上的總電荷，唯一性定理同樣成立。這是由電荷與電場之間的制約關系決定的。4第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一分離變量法：適用于所考慮的區(qū)域內沒有自由電荷分布的情況，求解拉普拉斯方程。分離變量法（）鏡象法（？）格林函數(shù)法（？）多極矩展開法（？）靜電學的基本問題是求滿足給定邊界條件的泊松方程的解。主要方法有四種。5第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一一種重要的特殊情形是：區(qū)域內只有一個或者幾個點電荷。區(qū)域的邊界是導體或者介質。這一個或者幾個電荷要在導體界面產生感應電荷，或者在介質表面產生束縛。二、鏡象法求解靜電場的基本思想6第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一上述特殊情形的泊松方程邊值問題，可以采用一種比較簡潔的特殊方法來求解。這種方法就是鏡象法。鏡象法的基本思想就是：在求解區(qū)域之外引入象電荷取代感應電荷，但不改變求解區(qū)域的邊值關系和邊界條件?；蛘哒f，只要不改變求解區(qū)域的電荷分布、邊值關系和邊界條件，象電荷可以取代感應電荷，象電荷在所考慮區(qū)域產生的電場就是感應電荷產生的電場。7第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一三、鏡象法應用舉例例1接地無限大平面導體板附近有一點電荷Q，求空間中的電場。8第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一解電荷：一個點電荷界面：接地無窮大導體區(qū)域：上半空間（下半空間電勢為零）已知界面電勢為零，滿足唯一性定理的要求，可以確定電勢。9第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一上半空間的電勢的特征：導體表面是等勢面電場線垂直于導體表面點電荷Q使導體表面產生異號的感應電荷Q

。整個電場是由Q和Q共同產生的。電荷分布和電場分布：10第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一設想在導體板下方與電荷Q對稱的位置上放一個假想電荷Q’=Q

，然后把導體板抽去。這樣，沒有改變所考慮空間的電荷分布（即沒有改變電勢服從的泊松方程）。Q假想電荷Q’與給定電荷Q激發(fā)的總電場如圖所示。由對稱性看出，在原導體板平面上，電場線處處與它正交，因而滿足邊界條件。11第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一導體板上部空間的電場可以看作原電荷與鏡象電荷共同激發(fā)的電場。場點P的電勢導體板上的感應電荷確實可以用板下方一個假想電荷Q’代替。12第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一選Q到導體板上的投影點O作為坐標原點，設Q到導體板距離為a，有可以看出，引入象電荷取代感應電荷，的確是一種求解泊松方程的簡潔方法。13第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一例2真空中有一半徑為R0的接地導體球，距球心為a（a>R0）處有一點電荷Q，求空間各點的電勢（如圖）。14第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一解電荷：一個點電荷界面：導體球面區(qū)域：球面外區(qū)域已知界面電勢為零，滿足唯一性定理的要求，可以確定電勢。15第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一點電荷Q使導體表面產生異號的感應電荷Q’

。電荷分布和電場分布：整個電場是由Q和Q’共同產生的。16第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一在球內區(qū)域（所考慮區(qū)域之外）引入象電荷，取代球面上的感應電荷，不改變體系方程。球面外區(qū)域電勢的特征：導體表面是等勢面電場線垂直于導體表面預計電場線如圖所示17第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一不改變邊值關系和邊界條件的要求為由對稱性，Q’應在OQ連線上?？紤]球面上任一點P（如圖）18第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一因此對球面上任一點，應有只要選Q’的位置使OPQ~OQ’P，則19第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一假想電荷Q’的大小為由兩三角形相似的條件可得假想電荷Q’的位置20第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一球外任一點P（如圖）的電勢為21第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一根據高斯定理，收斂于球面的電通量為Q’。Q’為球面的總感應電荷，它是受電荷Q的電場的吸引而從接地處傳至導體球上的。物理結果討論：然而|Q’|<Q，由電荷Q發(fā)出的電場線只有一部分收斂于球面上，剩下的一部分發(fā)散至無窮遠處。22第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一例3如上例，但導體球不接地而帶電荷Q0，求球外電勢，并求電荷Q所受的力。23第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一這里給出的條件為：（1）球面為等勢面（電勢待定）；（2）從球面發(fā)出的總電通量為Q0。在球內放置與上例相同的假想電荷Q’（電勢為零），在球心處再放一個假想電荷Q0－Q’（球面等勢），就可同時滿足上面兩個條件。解24第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一球外任一點P的電勢為因此電荷Q所受的力等于Q’和球心處的電荷Q0－Q’對它的作用力F，25第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一過渡到點電荷相互作用模型吸引力，趨于消失R00物理結果討論：26第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一aR0即使Q和Q0同號，只要Q距球面足夠近，就受到導體的吸引力。原因：雖然整個導體的電荷與Q同號，但在靠近Q的球面部分出現(xiàn)異號電荷。從而相互吸引起主要作用。吸引力起主要作用（數(shù)值大于第一項）27第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一根據唯一性定理要求的條件求解電磁場泊松方程邊值問題；在求解區(qū)域之外引入象電荷取代感應電荷，保持求解區(qū)域電荷分布不變；引入鏡象電荷，不改變求解區(qū)域邊值關系和邊界條件。1、鏡象法的基本要領四、總結與討論28第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一兩種方法都是根據邊值關系和邊界條件進行求解；可解的條件都是唯一性定理所要求的分區(qū)均勻介質和邊界條件。2、與分離變量法比較共同點：29第29頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一不同點：分離變量法鏡象法電荷分布求解區(qū)域沒有（或者經過變換沒有）自由電荷分布求解區(qū)域有一個或者幾個自由點電荷具體方法分離變量求解拉普拉斯方程求解區(qū)域之外引入象電荷取代感應電荷30第30頁，共32頁，2023年，2月20日，星期一從前兩節(jié)的例子可以看出，邊值關系和邊界條件對于求解電場問題具有重要性作用。邊界條件大致有一下幾種類型：1、兩絕緣介質界面上