電路第四章網(wǎng)絡定理

電路第四章網(wǎng)絡定理第1頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二第四章

網(wǎng)絡定理

4.l疊加定理4.2替代定理4.3戴維南定理和諾頓定理4.4特勒根定理4.5互易定理第2頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二4.1疊加定理

線性網(wǎng)絡：由獨立電源和線性元件組成。具有線性性質(zhì):1.齊次性：單個激勵(獨立源)作用時，響應與激勵成正比；2.可加性：多個激勵同時作用時，總響應等于每個激勵單獨作用(其余激勵置零)時所產(chǎn)生的響應分量的代數(shù)和。第3頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二電路響應與激勵之間的這種線性關系稱為疊加性，它是線性電路的一種基本性質(zhì)。若有網(wǎng)絡激勵e1(t)、e2(t)、…

en(t)，則其響應r(t)

可表示為：疊加定理

r(t)=k1

e1(t)+

k2

e2(t)+…+kn

en(t)第4頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二圖(a)電路的回路方程：

得R1上電流

i1第5頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二其中由兩項相加而成。由兩個獨立電源共同產(chǎn)生的響應，等于每個獨立電源單獨作用所產(chǎn)生響應之和。第6頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二

疊加定理

由全部獨立電源在線性電阻電路中產(chǎn)生的任一響應(電壓或電流)，等于每一個獨立電源單獨作用所產(chǎn)生的相應響應(電壓或電流)的代數(shù)和。第7頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二注意：2.

某一激勵單獨作用時，其他激勵置零，即獨立電壓源短路，獨立電流源開路；電路其余結(jié)構(gòu)都不改變3.任一激勵單獨作用時，受控源均應保留。4.受控源不能單獨作用。1.

適用于線性網(wǎng)絡，非線性網(wǎng)絡不適用；5.疊加的結(jié)果為代數(shù)和，注意電壓或電流的參考方向。6.

用于電壓和電流，不能用于功率和能量的計算，它們是電壓或電流的二次函數(shù)。第8頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二注意：1.適用于線性網(wǎng)絡。非線性網(wǎng)絡不適用。2.某一激勵單獨作用時，其他激勵置零，即獨立電壓源短路，獨立電流源開路；電路其余結(jié)構(gòu)都不改變。3.任一激勵單獨作用時，該電源的內(nèi)阻、受控源均應保留。第9頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二6.只適用于電壓和電流，不能用于功率和能量的計算，它們是電壓或電流的二次函數(shù)。4.受控源不能單獨作用。5.疊加的結(jié)果為代數(shù)和，注意電壓或電流的參考方向。第10頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二

例1已知us＝12V，is＝6A，試用疊加定理求支路電流i。解當us單獨作用時，is因置零而被開路，如圖(b)，可得故

i'=1A

usus第11頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二當is單獨作用時，us因置零而被短路，如圖(c)，可得響應分量

i

’’=

3A根據(jù)疊加定理，可得us和is共同作用下的響應為

i=i’+i’’=1+3=4A第12頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二例2No為線性無源網(wǎng)絡。當us＝1V，is＝1A時，u＝0；當us＝10V，is＝0時，u＝1V；求:當us＝20V，is＝10A時，u＝？解

線性網(wǎng)絡的響應u可表示為

k1,k2為常數(shù)No+-uSiS+u-第13頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二由已知條件可得：

k1×1＋k2×1＝0

k1

×10＋k2×0＝1解方程組可得：

k1

＝0.1，

k2＝－0.1

因此,當us＝20V，is＝10A時

u＝k1×20＋k2×10

＝1V第14頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二例3

r=2，用疊加定理求i和功率p3

解：12V和6A單獨作用如圖(b)和(c)。(每個電路內(nèi)均保留受控源，但控制量分別改為分電路中的相應量)。由圖(b)列出KVL方程求得：

第15頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二由(c)列出KVL方程求得:最后得到：則：第16頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二4－2替代定理

在具有唯一解的任意集總參數(shù)網(wǎng)絡中，若某條支路

k

與網(wǎng)絡中的其他支路無耦合，并設已知該支路的支路電壓

uk（支路電流

ik），則該支路可以用一個電壓為

uS

=

uk

的獨立電壓源（或電流為

iS

=

ik

的獨立電流源）替代，替代前后電路中各支路電壓和電流保持不變。第17頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二注意：1.適用于任意集總參數(shù)網(wǎng)絡（線性的、非線性的，時不變的、時變的）3.“替代”與“等效變換”是不同的概念?！疤娲笔翘囟l件下支路電壓或電流已知時，用相應元件替代支路。等效變換是兩個具有相同端口伏安特性的電路間的相互轉(zhuǎn)換，與變換以外電路無關。

2.所替代的支路與其它支路無耦合第18頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二4.已知支路可推廣為已知二端網(wǎng)絡（有源、無源）。大網(wǎng)絡成小網(wǎng)絡N1N1N2N2+-u+-u+-uN1N1N2N2iii第19頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二例4

無源網(wǎng)絡No的22’端開路時，11’端的輸入電阻為5Ω;如左圖11'端接1A時，22'端電壓u=1V。求右圖11'端接5Ω、10V的實際電壓源時，22'端的電壓u’=?1A11’22’+u-No5Ω11’22’+u’-No+10V-i'第20頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二解：22’端開路時，11’端的輸入電阻為5Ω，因此右圖中流過實際電壓源支路的電流i'為i'=1A實際電壓源支路用1A的電流源替代，u'不變，替代后的電路與左圖相同，故

u'=u

=1V1A11’22’+u-No5Ω11’22’+u’-No+10V-i'第21頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二例5圖(a)電路中g(shù)=2S。試求電流I。

解：用分壓公式求受控源控制變量U

用gU=12A的電流源替代受控源，圖(b)不含受控電源，求得第22頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二例在圖(a)電路中,若要求。試求電阻

＋－RSUSRx1IIx0.50.50.5(a)解：由題意和替代定理，得圖(b)。Ux1I0.50.50.5－＋(b)第23頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二在圖(b)電路中,應用疊加定理：

Ux1I0.50.50.5－＋(b)電流源I單獨作用Ux’1I0.50.50.5－＋第24頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二得Ux’1I0.50.50.5－＋第25頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二電流源單獨作用Ux”10.50.50.5－＋得第26頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二4－3戴維南定理和諾頓定理

任一線性有源二端網(wǎng)絡N，就其兩個輸出端而言總可與一個獨立電壓源和線性電阻串聯(lián)的電路等效，其中獨立電壓源的電壓等于該二端網(wǎng)絡N輸出端的開路電壓，電阻Ro等于N內(nèi)所有獨立源置零時從輸出端看入的等效電阻。4-3-1戴維南定理

第27頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二端口電壓電流關聯(lián)第28頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二證明如下:。端口支路用電流源i

替代,如圖(a)，根據(jù)疊加定理，電流源單獨作用產(chǎn)生u’=Roi[圖(b)]，網(wǎng)絡內(nèi)部全部獨立電源共同作用產(chǎn)生u”=uoc[圖(c)]。由此得到第29頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二例6

求圖(a)網(wǎng)絡的戴維南等效電路。

解：開路電壓uoc的參考方向如圖(a)，由i=0，可得

電壓源用短路代替，電流源用開路代替，得圖(b)，求得

可畫出戴維南等效電路，如圖(c)。

第30頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二

例7

r=2，試求戴維南等效電路。

解：求uoc：求Ro：電壓源置零，保留受控源，圖(b)。加電流，求電壓u。由于i1=0，所以u=2i1=0。由此求得等效為一個4V電壓源，如圖(c)。第31頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二求R0小結(jié)：1.串、并聯(lián)法2.加壓求流法，或加流求壓法。3.開短路法。4.兩點法。ui第32頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二4-3-2諾頓定理

任一線性有源網(wǎng)絡N，就端口而言，可以等效為一個電流源和電阻的并聯(lián)。電流源的電流等于網(wǎng)絡外部短路時的端口電流isc；電阻Ro是網(wǎng)絡內(nèi)全部獨立源為零時，No的等效電阻。第33頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二

isc——短路電流。Ro——諾頓電阻。電流源isc和電阻Ro的并聯(lián)，稱為網(wǎng)絡的諾頓等效電路。電壓電流采用關聯(lián)參考方向時，第34頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二例8

求圖示電路a、b端子間的諾頓等效電路。

解：(1)求isc(2)求R0(3)作出諾頓等效電路。

+-3V+-3V0.7A第35頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二含源線性電阻單口網(wǎng)絡的等效電路只要確定uoc,isc和Ro

就能求得兩種等效電路。第36頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二

戴維南定理和諾頓定理注意幾點：1.被等效的有源二端網(wǎng)絡是線性的，且與外電路之間不能有耦合關系2.求等效電路的Ro時，應將網(wǎng)絡中的所有獨立源置零，而受控源保留

3.當Ro≠0和∞時，有源二端網(wǎng)絡既有戴維南等效電路又有諾頓等效電路，并且、isc和Ro存在關系：，第37頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二4.作為定理，一個電路可以應用多次。5.一般端電壓與開路電壓不相等。

+－第38頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二例9用戴維南定理求電路中的電流i。解電路a、b以左電路部分化簡。1.求開路電壓uoc12i14

+10V--6i1+abi4(a)12i14

+10V--6i1+(b)+uoc-由圖b可得受控源的控制量i1為

i1

＝2A故

uoc＝6i1+4i1=20V第39頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二12i1’4-6i1’+(c)+u’-i’2.求電阻Ro圖b網(wǎng)絡的獨立電壓源置零,得圖c，設端口電壓為u'，端上電流為

i'則

u'＝6×i1'＋2×i'＋4×i1'由1Ω和4Ω分流關系可得i1'＝0.2i'因此u’＝4i’即Ro＝4Ω第40頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二3.求i由戴維南定理可將圖a化簡為圖d4

+20V-abi4(d)第41頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二

例：試求圖(a)的戴維南等效電路。

b1k0.5i1

i11k

+10V-a(a)解：節(jié)點法求開路電壓。解得第42頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二加壓求流法求等效內(nèi)阻。列方程：解得：1k0.5i1

i11k－

+abi

第43頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二如果要用開短路法，求短路電流。

+10V-1k0.5i1

i11kabiSC列方程：解得：第44頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二

例：圖(a)電路中，N為有源線性二端網(wǎng)絡，已知：若A、B開關都打開時，I=0.1A;若A打開，B閉合時，I=0.125A;試求：若A閉合，B打開時，I=?INAB6020解：法1：應用替代定理和疊加定理(a)第45頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二I=0.1AN8V

+－INAB6020(a)(b)由題意，A、B都打開時，應用替代定理，如圖(b)所示；設N中電源單獨作用時產(chǎn)生的電流為x;單位電壓源作用時產(chǎn)生的電流為y。則有第46頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二I=0.125AN7.5V

+－INAB6020(a)(c)同理，A打開，B閉合時，應用替代定理，如圖(c)所示；則，有方程為兩方程聯(lián)立第47頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二(a)解得：則，所求電流為法2：應用戴維南定理。則得圖(d):INAB6020RouOCI=0.1AN80RouOC(d)得方程第48頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二同理，得圖(e)：I=0.125AN60RouOC(e)得方程兩方程聯(lián)立：解得：解得：得：第49頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二4-3-3最大功率傳輸條件Ro+uoc-abiRL

負載電阻吸收的功率欲獲得最大功率，第50頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二可得最大功率傳輸條件：

RL＝Ro此時，負載獲最大功率為：此時對于等效電路而言:效率為50%。第51頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二例10

電路如圖所示。求當RL=?時，負載可獲最大功率，PLmax=？1k

5k

+100V

-4×10-4uabRL+u-i第52頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二解:

a、b

以左化為代文寧等效電路。

1.求開路電壓uoc(1/5+1)×10-3uoc＝

100/103

+

4×10-4

uoc解得uoc

＝125V1k

5k

+100V

-4×10-4uocab+uoc-i節(jié)點分析法，以b為參考節(jié)點第53頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二2.

求電阻Roisc

＝0.1A

Ro＝uoc/

isc=

1.25kΩ由圖可知u=0，則受控源開路3.當RL=

Ro=1.25kΩ時，負載獲最大功率isc1k

5k

+100V

-4×10-4uab+u-i先求isc第54頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二4-4特勒根定理特勒根第一定理(功率守恒)：任意一個具有b條支路、n個節(jié)點的集總參數(shù)網(wǎng)絡，設它的各支路電壓和電流分別為和(k＝1、2、3、…b)，且各支路電壓和電流取關聯(lián)參考方向，則有

第55頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二特勒根第二定理(似功率守恒)：和支路電壓和電流取關聯(lián)參考方向且相同，則有NN’有向圖相同支路電壓支路電流第56頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二2422-2V+5Ai1i2i5i6i3i4242-4V+2Ai1’i2’i5’i6’i3’i4’

+4V-156234驗證：有相同的有向圖如右第57頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二N:u1＝6V，u2＝－4V，u3＝2V，u4＝4V，

u5＝2V，

u6＝－8V；

i1＝3A，

i2＝－2A，

i3＝1A，

i4＝1A，

i5＝4A，

i6＝5A。因此有，6×3＋(-4)×(-2)＋2×1＋4×1＋2×4＋(-8)×5＝0第58頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二N’:u1'＝4V，u2'＝0V，u3'＝4V，u4'＝8V，u5'＝4V，u6'＝－8V；

i1'＝2A，

i2'＝0A，

i3'＝－2A，

i4'＝2A，

i5'＝0A，

i6'＝2A。因此有，4×2＋0×0＋4×(-2)＋8×2＋4×0＋(-8)×2＝0這就驗證了特勒根第一定理。第59頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二=

6×2＋(-4)×0＋2×(-2)＋4×2＋2×0＋(-8)×2＝0=4×3＋0×(-2)＋4×1＋8×1＋4×4＋(-8)×5＝0這就驗證了特勒根第二定理。特勒根定理適用于任意集總參數(shù)電路第60頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二特勒根第二定理的證明：設N和N’兩網(wǎng)絡均有n個節(jié)點b條支；。各支路電壓、電流的參考方向關聯(lián)且相同。則N網(wǎng)絡的KCL方程為將上式分別乘以N’網(wǎng)絡的相應電壓，有第61頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二將上式右端全部加起來，得由故得同理第62頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二例11

NR僅由電阻組成，已知i1＝-2A，

i2＝1A；若電阻由4Ω改為8Ω，i1'＝-1.8A，

試求i2'?。NRi1'+3v-+u1'-i2'+u2'-8ΩNRi1+3v-+u1-i2+u2-4Ω解：第63頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二NR僅由電阻組成(k=3,…,b)得：故：第64頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二i1＝-2A，

i2＝1A，i1‘＝-1.8A代入NRi1'+3v-+u1'-i2'+u2'-8ΩNRi1+3v-+u1-i2+u2-4Ω第65頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二4-5互易定理互易性——線性不含獨立源、受控源的電路，在單一激勵情況下，激勵和響應的位置互換，相同激勵的響應不變互易網(wǎng)絡：具有互易性的網(wǎng)絡第66頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二R1R2abcdi+uS-R3R1R2abcdi’+uS-R3第67頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二互易定理有三種形式：該網(wǎng)絡是互易網(wǎng)絡第68頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二形式一：NR僅由電阻組成，獨立電壓源vs激勵與響應電流互換位置，響應電流相同。

即

i２＝i１'11’22’i2

+uS-NR+v1-i１+u2-

+uS-11’22’i2'NR+u1'-i１'+v2'-第69頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二形式二：NR僅由電阻組成，獨立電流源is激勵與響應電壓互換位置，響應電壓相同。

即

u２＝u1’11’22’

iSNR+u1-i１+u2-

iS11’22’i2'NR+u1'-+u2'-第70頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二形式三：NR僅由電阻組成，激勵電壓源vs與響應電壓互換位置，將此激勵換為相同數(shù)值的獨立電流源is，產(chǎn)生的響應電流在數(shù)值上與原響應電壓相等。即數(shù)值上:

i１'

＝

u２11’22’+uS-NR+u1-i１+u2-

iS11’22’i2'NR+u1'-+u2'-i1'第71頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二用特勒根定理證明：由例11知得第72頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二

對于形式一，u1

＝us，u2

＝0，u1'＝0，u2'＝vs，代入上式可得

usi1'＝usi2故

i2

＝i1'因此形式一成立。也可表示為：圖(a)的電壓源比電流等于交換位置后圖(b)的電壓源比電流。第73頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二對于形式二，i1＝is，i2＝0，i1‘＝0，i2’＝is

，代入上式可得

u2is

＝u1'is故

u2＝u1'因此形式二成立。也可表示為：圖(a)的電流源比電壓等于交換位置后圖(b)的電流源比電壓。第74頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二對于形式三，u1＝u，i2＝0，

u1’＝0，i2’＝is

，代入上式可得

uSi1’＝u2

is由于uS

與is數(shù)值相同，故數(shù)值上

u2

與i1’

相等。因此形式三成立。也可表示為：圖(a)的電壓源比電壓等于交換位置后圖(b)的電流源比電流。第75頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二注意：1.NR不含獨立源、受控源，外部只有單個激勵和響應；2.若互易前后激勵和響應的參考方向關系一致(都相同或都相反)，則對形式一和二有相同激勵產(chǎn)生的響應相同；對形式三則相同激勵產(chǎn)生的響應相差一個負號。第76頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二例12

試求i?2Ω2Ω3Ω8Ω4Ωi

-10V+2Ω2Ω3Ω8Ω4Ωi+10V-解：互易形式一223Ω84i+10V-i1i2i3第77頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二223Ω84i+10V-i1i2i3列KCL，得第78頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二例13已知圖（a）中i2＝0.1A;圖（b）中得i1'＝0.4A。試求R之值。NRi2+u2-20Ω1AR圖(a)NRi1’20Ω2AR圖(b)解：由圖(a)得u2=20i1=2V第79頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二1/2=2/u1’得u1’=4

V故R＝u1’/i1’=4/0.4=10ΩNR20Ω2AR圖(c)+u1’-互易定理形式二可得第80頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二例14已知圖（a）中u1＝10V,u2＝5V。i1=2A，試求圖（b）的i1'2’11’2NR+u1-+u2-i1a2A11’22’NR+u1'-+u2'-i1'2A5Ωb解一：特勒根定理求解第81頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二11’22’NR+u1'-+u2'-i1'2A5Ωb2’11’2NR+u1-+u2-i1a2Ai2得：i1'=0.5A第82頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二解二：戴維南定理+互易定理求解2’11’2NR+u1-+u2-i1a2Ai211’22’NR+uoc-+u2'-2A移去5Ω，由互易定理的形式二，得

uoc=5V第83頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二2’11’2NR+u1-+u2-i1a2Ai2求Ro：由圖（a）得Ro=5Ω

11’22’NR+u2'-Ro第84頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二5

+5V-i’1511’(b)圖化為：第85頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二例15已知圖（1）中，No為無源線性電阻網(wǎng)絡，流過uS的電流為Im；圖（2）的開路電壓為vo,Rab

=R0。NoaIm圖(1)b+uS-RkNoa圖(2)b+uS-Ro+uo-問:圖(3)的Rx為何值，才有Im=Im’。No+uo’-Rx圖(3)Im’+uS-Ix’第86頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二NoaIm圖(1)b+uS-RkNo+uo’-Rx圖(3)Im’+uS-Ix’解：特勒根定理求由于題目要求Im=Im

’，所以第87頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二對輸出端而言，圖（2）與（3）等效。因為，uS與Rx并聯(lián)可等效為uS，因此Noa圖(2)b+uS-Ro+uo-No+uo’-Rx圖(3)Im’+uS-Ix’圖(2)可知，圖（1）ab以左等效為R0串聯(lián)uo戴維南電路，所以第88頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二即：所以：則：第89頁，共99頁，2023年，2月20日，星期二例16NR網(wǎng)絡為純電阻網(wǎng)絡，在圖(a）中，當Us1＝70V時，I1＝0.5A，I2＝0.2A，U3＝14V。試求：圖（b）中Us2＝105V，Is3＝3.5A，R1’＝210時的I1’。

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