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2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水,若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒(méi)最上面的球,如圖所示.則球的半徑是()A.1cm B.2cmC.3cm D.4cm2.的展開式中的系數(shù)為()A.5 B.10 C.20 D.303.函數(shù)向右平移個(gè)單位后得到函數(shù),若在上單調(diào)遞增,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知函數(shù),則()A. B. C. D.5.已知的展開式中沒(méi)有項(xiàng),,則的值可以是()A.5 B.6 C.7 D.86.已知集合,或,則()A. B.C. D.7.已知,且.則展開式中的系數(shù)為()A.12 B.-12 C.4 D.-48.魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作九章算術(shù)注中,稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”,劉徽通過(guò)計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為:若正方體的棱長(zhǎng)為2,則“牟合方蓋”的體積為A.16 B. C. D.9.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別,,焦距為4,若以原點(diǎn)為圓心,為直徑的圓恰好與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn),則此橢圓的方程為()A. B.C. D.10.某班4名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測(cè)試,每人通過(guò)測(cè)試的概率均為,且彼此相互獨(dú)立,若X為4名同學(xué)通過(guò)測(cè)試的人數(shù),則D(X)的值為()A.1 B.2 C.3 D.411.已知,,且,則向量在方向上的正射影的數(shù)量為A.1 B.C. D.12.若直線的傾斜角為,則()A.等于 B.等于 C.等于 D.不存在二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)fx=x?lnx,且0<x1<x2,給出下列命題:①fx1-f14.已知直線的一個(gè)法向量,則直線的傾斜角是_________(結(jié)果用反三角函數(shù)表示);15.在的二項(xiàng)展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為_____(結(jié)果用數(shù)值表示).16.3名醫(yī)生和9名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢,每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和3名護(hù)士,不同的分配方法共有________種.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)時(shí),.18.(12分)已知正項(xiàng)數(shù)列中,且(1)分別計(jì)算出的值,然后猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.19.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).20.(12分)已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.(1)求的值;(2)求的單調(diào)區(qū)間.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若不等式對(duì)于任意恒成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)甲、乙兩人做定點(diǎn)投籃游戲,已知甲每次投籃命中的概率均為,乙每次投籃命中的概率均為,甲投籃3次均未命中的概率為,甲、乙每次投籃是否命中相互之間沒(méi)有影響.(Ⅰ)若甲投籃3次,求至少命中2次的概率;(Ⅱ)若甲、乙各投籃2次,設(shè)兩人命中的總次數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
設(shè)出球的半徑,根據(jù)題意得三個(gè)球的體積和水的體積之和,等于柱體的體積,結(jié)合體積公式求解即可.【詳解】設(shè)球半徑為,則由,可得,解得,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何體的體積公式的應(yīng)用,考查學(xué)生空間想象能力以及計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.2、D【解析】
根據(jù)乘法分配律和二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,列式求得的系數(shù).【詳解】根據(jù)乘法分配律和二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,題目所給表達(dá)式中含有的為,故展開式中的系數(shù)為,故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式的應(yīng)用,考查乘法分配律,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
首先求函數(shù),再求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,區(qū)間是函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的子集,建立不等關(guān)系求的取值范圍.【詳解】,令解得,若在上單調(diào)遞增,,解得:時(shí),.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)和平移變換,屬于中檔題型.4、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)解析式,結(jié)合指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算,即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】函數(shù)則,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的求值,指數(shù)冪與對(duì)數(shù)式的運(yùn)算應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
將條件轉(zhuǎn)化為的展開式中不含常數(shù)項(xiàng),不含項(xiàng),不含項(xiàng),然后寫出的展開式的通項(xiàng),即可分析出答案.【詳解】因?yàn)榈恼归_式中沒(méi)有項(xiàng),所以的展開式中不含常數(shù)項(xiàng),不含項(xiàng),不含項(xiàng)的展開式的通項(xiàng)為:所以當(dāng)取時(shí),方程無(wú)解檢驗(yàn)可得故選:C【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式定理的知識(shí),在解決二項(xiàng)式展開式的指定項(xiàng)有關(guān)的問(wèn)題的時(shí)候,一般先寫出展開式的通項(xiàng).6、C【解析】
首先解絕對(duì)值不等式,從而利用“并”運(yùn)算即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意得,等價(jià)于,解得,于是,故答案為C.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合與不等式的綜合運(yùn)算,難度不大.7、D【解析】
求定積分得到的值,可得的值,再把按照二項(xiàng)式定理展開式,可得中的系數(shù).【詳解】∵,且,則展開式,故含的系數(shù)為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查求定積分,二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
由已知求出正方體內(nèi)切球的體積,再由已知體積比求得“牟合方蓋”的體積.【詳解】正方體的棱長(zhǎng)為2,則其內(nèi)切球的半徑,正方體的內(nèi)切球的體積,又由已知,.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查球的體積的求法,理解題意是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.9、A【解析】
已知,又以原點(diǎn)為圓心,為直徑的圓恰好與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn),這兩個(gè)公共點(diǎn)只能是橢圓短軸的頂點(diǎn),從而有,于是可得,從而得橢圓方程。【詳解】∵以原點(diǎn)為圓心,為直徑的圓恰好與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn),∴這兩個(gè)公共點(diǎn)只能是橢圓短軸的頂點(diǎn),∴,又即,∴,∴橢圓方程為。故選:A。【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解題關(guān)鍵時(shí)確定的值,本題中注意橢圓的對(duì)稱軸,從而確定關(guān)系。10、A【解析】
由題意知X~B(4,),根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式進(jìn)行求解即可.【詳解】∵每位同學(xué)能通過(guò)該測(cè)試的概率都是,且各人能否通過(guò)測(cè)試是相互獨(dú)立的,∴X~B(4,),則X的方差D(X)=4(1)=1,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的方差的計(jì)算,根據(jù)題意得到X~B(4,)是解決本題的關(guān)鍵.11、D【解析】
由與、可得出,向量在方向上的正射影的數(shù)量=【詳解】向量在方向上的正射影的數(shù)量=【點(diǎn)睛】本題考查兩向量垂直,其數(shù)量積等于0.向量在方向上的正射影的數(shù)量=.12、C【解析】分析:根據(jù)畫出的直線得直線的傾斜角.詳解:直線x=1的傾斜角為故答案為:C.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查特殊直線的傾斜角,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)任意一條直線都有傾斜角,但是不是每一條直線都有斜率.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、②③【解析】
根據(jù)每一個(gè)問(wèn)題構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而判斷命題正誤.【詳解】∵f當(dāng)0<x<1e時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>1e時(shí),f'(x)>0,①令g(x)=f(x)-x=xlnx-x,則g'(x)=ln∴g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,當(dāng)x2>x∴f(x2)-②令g(x)=f(x)x=lnx∵0<x1<x2③當(dāng)lnx>-1時(shí),則x>1e,∴f(x)在(∴x1f(∴x④令h(x)=f(x)+x=xlnx+x,則∴x∈(0,1e2)時(shí),h'設(shè)x1,x2∈(0,∴x【點(diǎn)睛】證明函數(shù)不等式問(wèn)題,經(jīng)常與函數(shù)性質(zhì)中的單調(diào)性有關(guān).解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于構(gòu)造什么樣函數(shù)?14、【解析】
由法向量與方向向量垂直,求出方向向量,得直線的斜率,從而得傾斜角?!驹斀狻恐本€的一個(gè)法向量,則直線的一個(gè)方向向量為,其斜率為,∴傾斜角為。故答案為:?!军c(diǎn)睛】本題考查求直線的傾斜角,由方向向量與法向量的垂直關(guān)系可求得直線斜率,從而求得傾斜角,注意傾斜角范圍是,而反正切函數(shù)值域是。15、1【解析】
通過(guò)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng),利用的指數(shù)為2,求出展開式中的系數(shù).【詳解】解:展開式的通項(xiàng)為.令得到展開式中的系數(shù)是.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題,考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問(wèn)題.考查計(jì)算能力.16、10080【解析】
分析:首先為第一個(gè)學(xué)校安排醫(yī)生和護(hù)士,再為第二個(gè)安排醫(yī)生和護(hù)士,為第三個(gè)安排醫(yī)生和護(hù)士,根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理可得結(jié)果.詳解:為第一個(gè)學(xué)校安排醫(yī)生和護(hù)士有種結(jié)果;為第二個(gè)安排醫(yī)生和護(hù)士種結(jié)果;為第三個(gè)安排醫(yī)生和護(hù)士種結(jié)果,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得,故答案為.點(diǎn)睛:本題考查組合式的應(yīng)用、分步計(jì)數(shù)乘法原理的應(yīng)用以及分組與分配問(wèn)題,屬于中檔題.有關(guān)排列組合的綜合問(wèn)題,往往是兩個(gè)原理及排列組合問(wèn)題交叉應(yīng)用才能解決問(wèn)題,解題過(guò)程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”,在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí),既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏,這樣才能提高準(zhǔn)確率.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)先求函數(shù)定義域,由導(dǎo)數(shù)大于0,得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,得減區(qū)間;(2)由題意可得即證lnx<x﹣1<xlnx.由(1)的單調(diào)性可得lnx<x﹣1;設(shè)F(x)=xlnx﹣x+1,x>1,求出單調(diào)性,即可得到x﹣1<xlnx成立;【詳解】(1)由題設(shè),的定義域?yàn)?,,令,解得.?dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.(2)證明:當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),,即為lnx<x﹣1<xlnx.由(1)可得f(x)=lnx﹣x+1在(1,+∞)遞減,可得f(x)<f(1)=0,即有l(wèi)nx<x﹣1;設(shè)F(x)=xlnx﹣x+1,x>1,F(xiàn)′(x)=1+lnx﹣1=lnx,當(dāng)x>1時(shí),F(xiàn)′(x)>0,可得F(x)遞增,即有F(x)>F(1)=0,即有xlnx>x﹣1,則原不等式成立;【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查不等式的證明,注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法,求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,考查推理和運(yùn)算能力,屬于中檔題.18、(1);;(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)逐個(gè)計(jì)算計(jì)算出的值,再通過(guò)觀察可猜。(2)先檢驗(yàn)n=1滿足,再假設(shè)時(shí)(*)式成立,即,下證即可證明?!驹斀狻浚?)令得化簡(jiǎn)得,解得或.令得化簡(jiǎn)得,解得或令得化簡(jiǎn)得,解得或猜想(*).①當(dāng)時(shí),,(*)式成立;②假設(shè)時(shí)(*)式成立,即,那么當(dāng)時(shí),化簡(jiǎn)得所以當(dāng)時(shí),(*)式也成立.綜上:由①②得當(dāng)時(shí),【點(diǎn)睛】本題考查歸納-猜想-證明,這一常見(jiàn)思維方式,而與自然數(shù)相關(guān)的結(jié)論證明我們常用數(shù)學(xué)歸納法。19、(Ⅰ);(Ⅱ)分類討論,詳見(jiàn)解析.【解析】
(Ⅰ)由已知得,求得,,由點(diǎn)斜式方程可得解.(Ⅱ)由已知得,分類討論,,,四種情況下的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】解:(Ⅰ)∵,∴,∴,又,∴切線方程為.(Ⅱ)∵,當(dāng)時(shí),,即在上為增函數(shù),∵,,∴在上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí),,∵,,∴在上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí),在上為增函數(shù),上為減函數(shù),∵,,此時(shí)在上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí),易知在上為增函數(shù),上為減函數(shù),∵,,又有,當(dāng),即時(shí),在上有一個(gè)零,當(dāng)時(shí),在上有兩個(gè)零.綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有一個(gè)零;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了用導(dǎo)數(shù)求過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線方程和討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,考查了分類討論的思想,屬于難題.20、(1)1;(2)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】試題分析:(1)利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)切線的關(guān)系得到關(guān)于實(shí)數(shù)k的方程,解方程可得k=1;(2)結(jié)合(1)的結(jié)論對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行求導(dǎo)可得,研究分子部分,令,結(jié)合函數(shù)h(x)的性質(zhì)可得:的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)單調(diào)遞減區(qū)間是.試題解析:(1)由題意得又,故(2)由(1)知,設(shè),則即在上是減函數(shù),由知,當(dāng)時(shí),,從而當(dāng)時(shí),,從而綜上可知,的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)單調(diào)遞減區(qū)間是21、(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在和上單調(diào)遞增.(2)【解析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到,討論a和0和1的大小關(guān)系,從而得到單調(diào)區(qū)間;(2)原題等價(jià)于對(duì)任意,有成立,設(shè),所以,對(duì)g(x)求導(dǎo)研究單調(diào)性,從而得到最值,進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)椋偃?,則當(dāng)或時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞
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