人教課標(biāo)實驗A版-選修4-5-第三講 柯西不等式與排序不等式-三　排序不等式同課異構(gòu)

《不等式的證明》同步練習(xí)1．設(shè)二次函數(shù)，求證：中至少有一個不小于2．設(shè)0<a,b,c<1，求證：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同時大于3．已知，求證：（且）．4．若x,y>0，且x+y>2，則和中至少有一個小于25．已知≤≤，求證：≤≤6．設(shè)，，求證：7．求證：8．求證9．設(shè)為大于1的自然數(shù)，求證10．若是自然數(shù)，求證11．求證：≥12．求證：放縮法：“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小是由題目分析．多次嘗試得出,要注意放縮的適度.常用的方法是：①添加或舍去一些項，如：，，②將分子或分母放大（或縮?。壅娣?jǐn)?shù)的性質(zhì)：“若，，則”④利用基本不等式，如：；⑤利用函數(shù)的單調(diào)性⑥利用函數(shù)的有界性：如：≤；≥；⑦利用常用結(jié)論：Ⅰ．，Ⅱ．；（程度大）Ⅲ．；（程度?。嘟^對值不等式：≤≤；⑨應(yīng)用二項式定理．構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)．方程．?dāng)?shù)列．向量或不等式來證明不等式．貝努利不等式例如，對于任何和任何正整數(shù)，由牛頓二項式定理可得舍掉等式右邊第三項及其以后的各項，可以得到不等式：．在后面章節(jié)的學(xué)習(xí)中，我們將會用數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式的正確性.該不等式不僅當(dāng)是正整數(shù)的時候成立，而且當(dāng)是任何大于1的有理數(shù)的時候也成立.這就是著名的貝努利不等式.在今后的學(xué)習(xí)中,可以利用微積分證明更一般的貝努利不等式：設(shè)，則在或時，，在時，例4證：∵n>2∴∴∴n>2時,例5證明：由（是大于2的自然數(shù)）得例6證：記m=∵a,b,c,dR+∴∴1<m<2即原式成立.練習(xí)1．證明：假設(shè)都小于，則（1）另一方面，由絕對值不等式的性質(zhì)，有（2）．（2）兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來的結(jié)論正確.注意：諸如本例中的問題，當(dāng)要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個滿足某個不等式時，通常采用反證法進行.議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指所推出的結(jié)果與已知公理．定義．定理或已知條件．已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況.試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段．方法有什么特點？2．證：設(shè)(1a)b>,(1b)c>,(1c)a>,則三式相乘：ab<(1a)b?(1b)c?(1c)a<①又∵0<a,b,c<1∴同理：,以上三式相乘：(1a)a?(1b)b?(1c)c≤與①矛盾．∴原式成立4提示：反設(shè)≥2，≥2∵x,y>0，可得x+y≤2與x+y>2矛盾.10證明：