星星之火可以燎原淺談指向核心素養(yǎng)的深度學習 論文

“星星之火可以燎原”-淺談指向核心素養(yǎng)的“深度學習”摘要：21世紀以全球化，知識社會，信息時代為重要特征，人類的知識獲取方式，經(jīng)濟運作模式以及職業(yè)領(lǐng)域等都發(fā)生了劇烈轉(zhuǎn)變。為了應(yīng)對挑戰(zhàn)，各國紛紛圍繞個體面向21世紀生存和發(fā)展的“核心素養(yǎng)”（keycompetencies）開展基礎(chǔ)教育課程改革，我國也不例外，而核心素養(yǎng)的習得依賴于深度學習，但是現(xiàn)實中的高三復習課堂就題論題，不能進行知識的聯(lián)系，思維方法的提煉，這樣的講評課只是“頭痛醫(yī)頭，腳痛醫(yī)腳”，往往讓學生“只見樹木，不見森林”，治標不治本。新課程改革大力推進高效課堂，這就要求學生從短期目標向遠景目標轉(zhuǎn)變、從碎片化知識向結(jié)構(gòu)化圖示的轉(zhuǎn)變、由抽象知識的學習向“基于問題或項目”學習的轉(zhuǎn)變。關(guān)鍵詞：深度學習；項目學習；結(jié)構(gòu)化；高效課堂。作者簡介：

杜曉明（1988－），男（漢族），安徽淮北人，現(xiàn)為安徽省淮北市天一中學數(shù)學教研組組長，中學二級教師，主要從事高中數(shù)學一線教學工作。0引言

導數(shù)中不等式綜合問題是近幾年高考一直考查的重點，熱點和難點，常常充當壓軸題的角色.本文對2021年新課標全國1卷第22題“函數(shù)與導數(shù)”壓軸題進行思考與探究，揭示其解題思想方法，挖掘內(nèi)涵，展開聯(lián)想，應(yīng)用提升，讓復習課變得更加有針對性，時效性和吸引力[1]。1題目

（2021年高考新課標1卷第22題）已知函數(shù)f(x)x1(lnx.)blnalnbab，證明211e.（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且ab2分析本題函數(shù)f(x)是以一次函數(shù)結(jié)構(gòu)與對數(shù)函數(shù)結(jié)構(gòu)的運算形式出現(xiàn)，是我們常見的一種組合方式，學生是比較熟悉的。對于（1），求完導后，fx)lnx，可直接根據(jù)f(x)的符號直接判斷；對于（2），由結(jié)構(gòu)分析可得，這是個雙變量問題，這又是一個雙變量問題中典型的極值點偏移問題。不少同學因為無法把本題的雙變量轉(zhuǎn)化為同函數(shù)結(jié)構(gòu)，導致本題無法轉(zhuǎn)化為標準的極值點偏移模型，造成思路紊亂，使解題陷入困境而失分。本題可通過湊出同結(jié)構(gòu)后再構(gòu)造差函數(shù)f(x)f(2x)和f(x)f(ex)，將變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行大小比較，基于這種思路，得到下述解答。3解答（1）fx)lnx，當x()1,0時，fx)0，此時f(x)是單調(diào)遞增的；當x,1()時，fx)0，此時f(x)是單調(diào)遞減的；綜上：f(x)在()1,0上單調(diào)遞增，在,1()上單調(diào)遞減。（2）由blnalnbab可得1ln11ln1

，即f1af1b

。aabb記x11，x21，待證不等式等價轉(zhuǎn)化為2x1x2e。ab不妨令x1x2，由（1）知f(x)在()1,0上單調(diào)遞增，在,1()上單調(diào)遞減，又當x(,0e)時，f(x)0，且f(e)0，所以0x11x2e。先證明x1x22：設(shè)g(x)f(x)f(2x)，則gx)ln(2x2x)，當x()1,0時，2xx2()1,0，gx)0，所以g(x)在()1,0上單調(diào)遞增，所以g(x)g)1(0，即f(x1)f(2x1)0，所以f(2x1)f(x1)f(x2)，因為x2,1()，2x1,1()，又f(x)在,1()上單調(diào)遞減，所以2x1x2，也即x1x22。再證明x1x2e：當x2e1時，結(jié)論顯然成立。當x2(e,1e)時，ex2()1,0。令h(x)f(x)f(ex)，則hx)ln(ex2x)，當x(e,1e)時，(x)exx2(,0e)1，且(x)單調(diào)遞減，∴h(x)在(e,1e)上先減后增；又h(e)1f(e)1f)1(0，當x e時，h(x) 0，∴當x(e,1e)時，h(x)0；∴h(x2)f(x2)f(ex2)0，即f(ex2)f(x2)f(x1)，∵f(x)在()1,0上單調(diào)遞增，∴ex2x1，即x1x2e。綜上所述，2x1x2e，所以原不等式得證。4結(jié)論由上述解答，得到幾點思考：一般地，極值點偏移問題的題設(shè)形式：①【標準形式】若函數(shù)f(x)中存在x1,x2且x1x2滿足f(x1)f(x2)，求證：x1x22x0或者x1x22x0（0x為函數(shù)f(x)的極值點）；②【含參形式】若函數(shù)f(x)存在兩個零點x1,x2且x1x2，求證：x1x22x0或者x1x22x0（0x為函數(shù)f(x)的極值點）；③【等價形式一】若函數(shù)f(x)中存在x1,x且x1x2滿足f(x1)f(x2)，令x0x1x2，求證：22f('x00或者fx00。④【等價形式二】若函數(shù)f(x)存在兩個零點x1,x2且x1x2，令x0x1x2，求證：f('x002或者fx00；由上述題設(shè)結(jié)構(gòu)特征學生要能夠判斷出本題是極值點偏移問題；一般地，處理極值點偏移的常用方法可按照上文敘述的思路完成：（1）求出函數(shù)f(x)的極值點0x；f(x)、f(2x0x)的大小關(guān)系，進而得到2x（2）構(gòu)造一元差函數(shù)F(x)f(x)f(2x0x)；（3）確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性；（4）結(jié)合F(x00，判斷F(x)的符號，從而確定與2x0x1的大小。此類方法應(yīng)用了導數(shù)知識求F(x)的最值或值域來實現(xiàn)解題目標.其中常常涉及到研究函數(shù)的單調(diào)性，對稱性，圖像特征，極值和構(gòu)造新函數(shù)或多次構(gòu)造新函數(shù)等等，融直觀想象，邏輯推理和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)于一體，是高考經(jīng)久不衰的考查熱點.5聯(lián)想

此題是一個雙變量問題，如何啟發(fā)學生想對方向很重要。筆者認為我們可以引導學生進一步歸納總結(jié)高中階段所遇到的常見雙變量問題，讓學生由點及面全方位覆蓋高中重點題型，努力做到“既見樹木，又見森林”，那么我們常見的雙變量問題有哪些呢？聯(lián)想一：任意存在型問題引例1：已知函數(shù)f(x)x4，g(x)2xa，1x121,，x2，使得f(x1)g()，x2求a的取值范圍。上單調(diào)遞減，在,2上單調(diào)遞增，因此當1x121,時，解析：f(x)為對勾函數(shù)，在f(xmaxf1217.g(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，故當x2時，g(x)8a.由此得到2max8a17a1。22注：任意存在型問題歷來是高考考查的一個熱點，也是高考復習的一個難點，題型多樣，方法多變，對思維能力與運算能力要求較高，破解的關(guān)鍵在于將它們等價轉(zhuǎn)化為熟悉的基本初等函數(shù)的最值或值域問題。引例1也旨在拋磚引玉，希望讓學生聯(lián)想到曾經(jīng)接觸過的此類問題，而正確區(qū)分雙變量“任意性”和“存在性”的搭配問題也是解題的關(guān)鍵所在。【類題展示】：【廣東省揭陽市2019屆高三二?！吭O(shè)函數(shù)f(x)x2axax(aR).設(shè)g(x)x2x1，若對于任意的t，存在s使得f(s)的取值范圍.g(t)成立，求a聯(lián)想二：獨立雙變量，化為同函數(shù)結(jié)構(gòu)引例2：設(shè)函數(shù)f(x)lnk，kR，若對于任意的xx20，都有f(x)f()xxx11212恒成立，求k的取值范圍.x1f(x2)x2恒成立，解析：題目條件等價于對任意x1x20，都有f(x1)設(shè)h(x)f(x)xlnxkx(0).x則h(x)在()上單調(diào)遞減，則hx)1k10在()恒成立，xx2得kx2x12

1(0)恒成立，k1.244注：此類問題需要學生具備逆向思維，一般是根據(jù)兩邊式子結(jié)構(gòu)構(gòu)造同一函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解，極大考查學生的邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng)?！绢愵}展示1】：【天津市和平區(qū)耀華中學2019屆高三第一次校模擬】已知函數(shù)f(x)xxlnx.當nm4時，證明：mnnnmm.)x2【類題展示2】：【2021全國卷數(shù)學甲卷（理）】已知a0且a1，函數(shù)f(x(,x0)，2x要使yf(x)和y1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.聯(lián)想三：湊齊次式，換元構(gòu)造新函數(shù)引例3：設(shè)x1x2，證明：ex1x2ex1ex2ex1ex2.22x1x2解析：要證明ex1x2ex1ex2ex1ex2，若不等號每一側(cè)同時除以xe，原不等式可轉(zhuǎn)化為222x1x2ex1x2ex1x21ex1x21，令tx1x2，則不等式進一步轉(zhuǎn)化為etet1et1在22x1x22t2t()上恒成立。先證et1et1，變形等價于證明(t2)ett20；t2令h(t)(t2)ett2(0)，則ht)(t)1te1，值得注意的是h0)0，繼續(xù)對h(t)求導可得h)tet，所以在t()上，ht)0恒成立，由此可得h(t)在t()單調(diào)遞增，∴ht)h0)0恒成立，∴h(t)在t()單調(diào)遞增，所以h(t)h(0)0，et1et1得證；t2同理etet1可用同樣的方法證明，在此筆者就不一一贅述。2t注：此類雙變量問題，可以是自由變量，也可以是又相互依賴關(guān)系，只要能構(gòu)造成齊次結(jié)構(gòu)，“偷梁換柱，見招拆招”利用換元構(gòu)造新函數(shù)證明不等式即可?！绢愵}展示】：設(shè)x1x20，證明：x12x2lnx1lnx21x2。x2x1x1聯(lián)想四：非常規(guī)極值點偏移問題引例4：已知函數(shù)f(x)lnxax，a為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個零點x1,x2，證明：x1x2e2解析：思路1：本題所證明問題明顯不是極值點問題的標準形式，所以需要聯(lián)想能否把所要研究的問題轉(zhuǎn)化為“和”的結(jié)構(gòu)；由x1x2e2兩邊同時取對數(shù)可得lnx1lnx22；處的函數(shù)值令t1lnx1，t2lnx2，待證不等式可化為t1t22，只要能得到某個函數(shù)在1t和2t相等即可把本題轉(zhuǎn)化為標準的極值點偏移問題；∵f(x)lnxax的零點為1x和2x，∴l(xiāng)nx1lnx2a；x1x2∵t1lnx1，∴etx，同理，etx2，∴l(xiāng)nx1lnx2a可化為t1t2a；1x1x2et1et2令h(t)t ，則原題可轉(zhuǎn)化為：

tte已知函數(shù)h(t)t，存在t，2t且t1t滿足h(t1)h(t)，證明：t1t2。te1222這個問題就變成了一個標準的極值點偏移問題，下略.思路2：利用參數(shù)a作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)：.不妨設(shè)x1x2，∵lnx1ax10，lnx2ax20，∴l(xiāng)nx1lnx2a(x1x2)，lnx1lnx2a(x1x2)∴l(xiāng)nx1lnx2a，欲證明x1x2e2，即證lnxlnx22.x1x21∵lnx1lnx2a(x1x)，∴即證ax12x，22)1，構(gòu)造∴原命題等價于證明lnx1lnx2x12x2，即證：lnx12(x1x2)，令tx1，(x1x2x2x1x2x2gt)=lnt-2(t-1),t>1，此問題等價轉(zhuǎn)化成為引例3中的解決辦法，下略。t+1思路3：∵lnx1lnx2a，令(x)lnx，則(x1)(x2)；x1x2x由于x)1lnx，不難發(fā)現(xiàn)(x)的極值點為xe，(x)lnx在上單調(diào)遞增，在x2x,e,上單調(diào)遞減；所以1x與2x應(yīng)分布在兩個區(qū)間內(nèi)，不妨令0x1ex2，所以題目結(jié)構(gòu)已經(jīng)具備接近極值點偏移的雛形，只不過為1x與2x不是以和的形式呈現(xiàn)，而是以乘積的形式呈現(xiàn)；我們可以類比聯(lián)想能否構(gòu)造函數(shù)F(x)(x)e2x

；Fx)1lnx1lne2e2

，化簡可得：Fx)lnxe2x2，xx2e4x2x2e2x2當x(,0e)時，F(xiàn)x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增；當xe()時，F(xiàn)x)0，F(xiàn)(x)也為單調(diào)遞增；當xe時，F(xiàn)e)0；綜上：F(x)在()上為增函數(shù)。∵0x1ex2，而F(x)在((,0e)上為增函數(shù)，所以F(1)F(e)0，也即(x1)e2x1

0；∵(x1)(x2)，所以(x2)e2x1

0，即：(x2)e2x1

；由0x1ex2得：x2e,)，e2e,)；x1而(x)lnx在,e上單調(diào)遞減，所以，由(x2)e2x1

可推x2e2，也即x1x2e2，證畢。xx1注：含參數(shù)的極值點偏移問題，在原有的兩個變元xx1 2的基礎(chǔ)上