星星之火可以燎原淺談指向核心素養(yǎng)的深度學習 論文

“星星之火可以燎原”-淺談指向核心素養(yǎng)的“深度學習”摘要：21世紀以全球化，知識社會，信息時代為重要特征，人類的知識獲取方式，經(jīng)濟運作模式以及職業(yè)領域等都發(fā)生了劇烈轉變。為了應對挑戰(zhàn)，各國紛紛圍繞個體面向21世紀生存和發(fā)展的“核心素養(yǎng)”（keycompetencies）開展基礎教育課程改革，我國也不例外，而核心素養(yǎng)的習得依賴于深度學習，但是現(xiàn)實中的高三復習課堂就題論題，不能進行知識的聯(lián)系，思維方法的提煉，這樣的講評課只是“頭痛醫(yī)頭，腳痛醫(yī)腳”，往往讓學生“只見樹木，不見森林”，治標不治本。新課程改革大力推進高效課堂，這就要求學生從短期目標向遠景目標轉變、從碎片化知識向結構化圖示的轉變、由抽象知識的學習向“基于問題或項目”學習的轉變。關鍵詞：深度學習；項目學習；結構化；高效課堂。作者簡介：

杜曉明（1988－），男（漢族），安徽淮北人，現(xiàn)為安徽省淮北市天一中學數(shù)學教研組組長，中學二級教師，主要從事高中數(shù)學一線教學工作。0引言

導數(shù)中不等式綜合問題是近幾年高考一直考查的重點，熱點和難點，常常充當壓軸題的角色.本文對2021年新課標全國1卷第22題“函數(shù)與導數(shù)”壓軸題進行思考與探究，揭示其解題思想方法，挖掘內(nèi)涵，展開聯(lián)想，應用提升，讓復習課變得更加有針對性，時效性和吸引力[1]。1題目

（2021年高考新課標1卷第22題）已知函數(shù)f(x)x1(lnx.)blnalnbab，證明211e.（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）設a，b為兩個不相等的正數(shù)，且ab2分析本題函數(shù)f(x)是以一次函數(shù)結構與對數(shù)函數(shù)結構的運算形式出現(xiàn)，是我們常見的一種組合方式，學生是比較熟悉的。對于（1），求完導后，fx)lnx，可直接根據(jù)f(x)的符號直接判斷；對于（2），由結構分析可得，這是個雙變量問題，這又是一個雙變量問題中典型的極值點偏移問題。不少同學因為無法把本題的雙變量轉化為同函數(shù)結構，導致本題無法轉化為標準的極值點偏移模型，造成思路紊亂，使解題陷入困境而失分。本題可通過湊出同結構后再構造差函數(shù)f(x)f(2x)和f(x)f(ex)，將變量轉化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行大小比較，基于這種思路，得到下述解答。3解答（1）fx)lnx，當x()1,0時，fx)0，此時f(x)是單調(diào)遞增的；當x,1()時，fx)0，此時f(x)是單調(diào)遞減的；綜上：f(x)在()1,0上單調(diào)遞增，在,1()上單調(diào)遞減。（2）由blnalnbab可得1ln11ln1

，即f1af1b

。aabb記x11，x21，待證不等式等價轉化為2x1x2e。ab不妨令x1x2，由（1）知f(x)在()1,0上單調(diào)遞增，在,1()上單調(diào)遞減，又當x(,0e)時，f(x)0，且f(e)0，所以0x11x2e。先證明x1x22：設g(x)f(x)f(2x)，則gx)ln(2x2x)，當x()1,0時，2xx2()1,0，gx)0，所以g(x)在()1,0上單調(diào)遞增，所以g(x)g)1(0，即f(x1)f(2x1)0，所以f(2x1)f(x1)f(x2)，因為x2,1()，2x1,1()，又f(x)在,1()上單調(diào)遞減，所以2x1x2，也即x1x22。再證明x1x2e：當x2e1時，結論顯然成立。當x2(e,1e)時，ex2()1,0。令h(x)f(x)f(ex)，則hx)ln(ex2x)，當x(e,1e)時，(x)exx2(,0e)1，且(x)單調(diào)遞減，∴h(x)在(e,1e)上先減后增；又h(e)1f(e)1f)1(0，當x e時，h(x) 0，∴當x(e,1e)時，h(x)0；∴h(x2)f(x2)f(ex2)0，即f(ex2)f(x2)f(x1)，∵f(x)在()1,0上單調(diào)遞增，∴ex2x1，即x1x2e。綜上所述，2x1x2e，所以原不等式得證。4結論由上述解答，得到幾點思考：一般地，極值點偏移問題的題設形式：①【標準形式】若函數(shù)f(x)中存在x1,x2且x1x2滿足f(x1)f(x2)，求證：x1x22x0或者x1x22x0（0x為函數(shù)f(x)的極值點）；②【含參形式】若函數(shù)f(x)存在兩個零點x1,x2且x1x2，求證：x1x22x0或者x1x22x0（0x為函數(shù)f(x)的極值點）；③【等價形式一】若函數(shù)f(x)中存在x1,x且x1x2滿足f(x1)f(x2)，令x0x1x2，求證：22f('x00或者fx00。④【等價形式二】若函數(shù)f(x)存在兩個零點x1,x2且x1x2，令x0x1x2，求證：f('x002或者fx00；由上述題設結構特征學生要能夠判斷出本題是極值點偏移問題；一般地，處理極值點偏移的常用方法可按照上文敘述的思路完成：（1）求出函數(shù)f(x)的極值點0x；f(x)、f(2x0x)的大小關系，進而得到2x（2）構造一元差函數(shù)F(x)f(x)f(2x0x)；（3）確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性；（4）結合F(x00，判斷F(x)的符號，從而確定與2x0x1的大小。此類方法應用了導數(shù)知識求F(x)的最值或值域來實現(xiàn)解題目標.其中常常涉及到研究函數(shù)的單調(diào)性，對稱性，圖像特征，極值和構造新函數(shù)或多次構造新函數(shù)等等，融直觀想象，邏輯推理和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)于一體，是高考經(jīng)久不衰的考查熱點.5聯(lián)想

此題是一個雙變量問題，如何啟發(fā)學生想對方向很重要。筆者認為我們可以引導學生進一步歸納總結高中階段所遇到的常見雙變量問題，讓學生由點及面全方位覆蓋高中重點題型，努力做到“既見樹木，又見森林”，那么我們常見的雙變量問題有哪些呢？聯(lián)想一：任意存在型問題引例1：已知函數(shù)f(x)x4，g(x)2xa，1x121,，x2，使得f(x1)g()，x2求a的取值范圍。上單調(diào)遞減，在,2上單調(diào)遞增，因此當1x121,時，解析：f(x)為對勾函數(shù)，在f(xmaxf1217.g(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，故當x2時，g(x)8a.由此得到2max8a17a1。22注：任意存在型問題歷來是高考考查的一個熱點，也是高考復習的一個難點，題型多樣，方法多變，對思維能力與運算能力要求較高，破解的關鍵在于將它們等價轉化為熟悉的基本初等函數(shù)的最值或值域問題。引例1也旨在拋磚引玉，希望讓學生聯(lián)想到曾經(jīng)接觸過的此類問題，而正確區(qū)分雙變量“任意性”和“存在性”的搭配問題也是解題的關鍵所在?！绢愵}展示】：【廣東省揭陽市2019屆高三二模】設函數(shù)f(x)x2axax(aR).設g(x)x2x1，若對于任意的t，存在s使得f(s)的取值范圍.g(t)成立，求a聯(lián)想二：獨立雙變量，化為同函數(shù)結構引例2：設函數(shù)f(x)lnk，kR，若對于任意的xx20，都有f(x)f()xxx11212恒成立，求k的取值范圍.x1f(x2)x2恒成立，解析：題目條件等價于對任意x1x20，都有f(x1)設h(x)f(x)xlnxkx(0).x則h(x)在()上單調(diào)遞減，則hx)1k10在()恒成立，xx2得kx2x12

1(0)恒成立，k1.244注：此類問題需要學生具備逆向思維，一般是根據(jù)兩邊式子結構構造同一函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解，極大考查學生的邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng)?！绢愵}展示1】：【天津市和平區(qū)耀華中學2019屆高三第一次校模擬】已知函數(shù)f(x)xxlnx.當nm4時，證明：mnnnmm.)x2【類題展示2】：【2021全國卷數(shù)學甲卷（理）】已知a0且a1，函數(shù)f(x(,x0)，2x要使yf(x)和y1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.聯(lián)想三：湊齊次式，換元構造新函數(shù)引例3：設x1x2，證明：ex1x2ex1ex2ex1ex2.22x1x2解析：要證明ex1x2ex1ex2ex1ex2，若不等號每一側同時除以xe，原不等式可轉化為222x1x2ex1x2ex1x21ex1x21，令tx1x2，則不等式進一步轉化為etet1et1在22x1x22t2t()上恒成立。先證et1et1，變形等價于證明(t2)ett20；t2令h(t)(t2)ett2(0)，則ht)(t)1te1，值得注意的是h0)0，繼續(xù)對h(t)求導可得h)tet，所以在t()上，ht)0恒成立，由此可得h(t)在t()單調(diào)遞增，∴ht)h0)0恒成立，∴h(t)在t()單調(diào)遞增，所以h(t)h(0)0，et1et1得證；t2同理etet1可用同樣的方法證明，在此筆者就不一一贅述。2t注：此類雙變量問題，可以是自由變量，也可以是又相互依賴關系，只要能構造成齊次結構，“偷梁換柱，見招拆招”利用換元構造新函數(shù)證明不等式即可?！绢愵}展示】：設x1x20，證明：x12x2lnx1lnx21x2。x2x1x1聯(lián)想四：非常規(guī)極值點偏移問題引例4：已知函數(shù)f(x)lnxax，a為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個零點x1,x2，證明：x1x2e2解析：思路1：本題所證明問題明顯不是極值點問題的標準形式，所以需要聯(lián)想能否把所要研究的問題轉化為“和”的結構；由x1x2e2兩邊同時取對數(shù)可得lnx1lnx22；處的函數(shù)值令t1lnx1，t2lnx2，待證不等式可化為t1t22，只要能得到某個函數(shù)在1t和2t相等即可把本題轉化為標準的極值點偏移問題；∵f(x)lnxax的零點為1x和2x，∴l(xiāng)nx1lnx2a；x1x2∵t1lnx1，∴etx，同理，etx2，∴l(xiāng)nx1lnx2a可化為t1t2a；1x1x2et1et2令h(t)t ，則原題可轉化為：

tte已知函數(shù)h(t)t，存在t，2t且t1t滿足h(t1)h(t)，證明：t1t2。te1222這個問題就變成了一個標準的極值點偏移問題，下略.思路2：利用參數(shù)a作為媒介，換元后構造新函數(shù)：.不妨設x1x2，∵lnx1ax10，lnx2ax20，∴l(xiāng)nx1lnx2a(x1x2)，lnx1lnx2a(x1x2)∴l(xiāng)nx1lnx2a，欲證明x1x2e2，即證lnxlnx22.x1x21∵lnx1lnx2a(x1x)，∴即證ax12x，22)1，構造∴原命題等價于證明lnx1lnx2x12x2，即證：lnx12(x1x2)，令tx1，(x1x2x2x1x2x2gt)=lnt-2(t-1),t>1，此問題等價轉化成為引例3中的解決辦法，下略。t+1思路3：∵lnx1lnx2a，令(x)lnx，則(x1)(x2)；x1x2x由于x)1lnx，不難發(fā)現(xiàn)(x)的極值點為xe，(x)lnx在上單調(diào)遞增，在x2x,e,上單調(diào)遞減；所以1x與2x應分布在兩個區(qū)間內(nèi)，不妨令0x1ex2，所以題目結構已經(jīng)具備接近極值點偏移的雛形，只不過為1x與2x不是以和的形式呈現(xiàn)，而是以乘積的形式呈現(xiàn)；我們可以類比聯(lián)想能否構造函數(shù)F(x)(x)e2x

；Fx)1lnx1lne2e2

，化簡可得：Fx)lnxe2x2，xx2e4x2x2e2x2當x(,0e)時，F(xiàn)x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增；當xe()時，F(xiàn)x)0，F(xiàn)(x)也為單調(diào)遞增；當xe時，F(xiàn)e)0；綜上：F(x)在()上為增函數(shù)?！?x1ex2，而F(x)在((,0e)上為增函數(shù)，所以F(1)F(e)0，也即(x1)e2x1

0；∵(x1)(x2)，所以(x2)e2x1

0，即：(x2)e2x1

；由0x1ex2得：x2e,)，e2e,)；x1而(x)lnx在,e上單調(diào)遞減，所以，由(x2)e2x1

可推x2e2，也即x1x2e2，證畢。xx1注：含參數(shù)的極值點偏移問題，在原有的兩個變元xx1 2的基礎上