第三章信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)理論2

第三章信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)理論2第一頁(yè)，共44頁(yè)。貝葉斯判決表示式第二頁(yè)，共44頁(yè)。3.4派生貝葉斯準(zhǔn)則貝葉斯準(zhǔn)則是通用檢測(cè)準(zhǔn)則。如果對(duì)先驗(yàn)概率，代價(jià)因子作某些約束，會(huì)得到派生貝葉斯準(zhǔn)則。本節(jié)討論二元信號(hào)檢測(cè)的幾種派生貝葉斯準(zhǔn)則。第三頁(yè)，共44頁(yè)。本節(jié)主要內(nèi)容最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則最大似然準(zhǔn)則最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則極小化極大準(zhǔn)則奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則第四頁(yè)，共44頁(yè)。3.4.1最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則(特例)1.最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則的概念先驗(yàn)概率已知；代價(jià)因子則平均代價(jià)為稱(chēng)為平均錯(cuò)誤概率，記為。第五頁(yè)，共44頁(yè)。

這樣，在先驗(yàn)概率已知，代價(jià)因子下使平均錯(cuò)誤概率最小的準(zhǔn)則，稱(chēng)為最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則。

該準(zhǔn)則適用于通信、計(jì)算機(jī)間數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)。

2.最佳判決式利用則得為使最小，將所有滿足第六頁(yè)，共44頁(yè)。的值劃歸域，判決成立；反之，判決成立。從而得似然比檢驗(yàn)判決式最佳判決式化簡(jiǎn)為或

最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則和貝葉斯準(zhǔn)則相比,當(dāng)對(duì)貝葉斯準(zhǔn)則選擇如上代價(jià)因子,則貝葉斯準(zhǔn)則就成為最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則.

第七頁(yè)，共44頁(yè)。3.最大似然準(zhǔn)則若先驗(yàn)概率，則有

稱(chēng)等先驗(yàn)概率條件下的最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則為最大似然準(zhǔn)則?；蛘邔?xiě)成兩個(gè)似然函數(shù)直接比較，哪個(gè)大就判其相應(yīng)的假設(shè)成立的假設(shè)成立，即第八頁(yè)，共44頁(yè)。第九頁(yè)，共44頁(yè)。第十頁(yè)，共44頁(yè)。第十一頁(yè)，共44頁(yè)。第十二頁(yè)，共44頁(yè)。第十三頁(yè)，共44頁(yè)。第十四頁(yè)，共44頁(yè)。3.4.2最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則或者等價(jià)的表示為3.4.13第十五頁(yè)，共44頁(yè)。因?yàn)?條件概率和概率的乘法公式)且當(dāng)dx很小時(shí)第十六頁(yè)，共44頁(yè)。從而得這樣判決式3.4.13式可以表示為3.4.20第十七頁(yè)，共44頁(yè)。不等式3.4.21的左邊和右邊分別是在已獲得觀測(cè)量x的條件下,假設(shè)Hj(j=0,1)為真的概率,稱(chēng)為后驗(yàn)概率,因此,貝葉斯準(zhǔn)則在下列代價(jià)因子的約束條件下就成為最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則.第十八頁(yè)，共44頁(yè)。

3.4.3極大極小準(zhǔn)則應(yīng)用條件：代價(jià)已知，先驗(yàn)概率未知。極大極小準(zhǔn)則：在無(wú)法知道先驗(yàn)概率的情況下，可以先猜測(cè)一個(gè)先驗(yàn)概率，若這個(gè)先驗(yàn)概率等于實(shí)際的先驗(yàn)概率，就可以得到最小的平均代價(jià)。若不等于實(shí)際的先驗(yàn)概率，那么將付出更大的代價(jià)。極大極小準(zhǔn)則可以使最大可能的代價(jià)極小化。第十九頁(yè)，共44頁(yè)。

圖3.5

第二十頁(yè)，共44頁(yè)。以雷達(dá)系統(tǒng)為背景：：有目標(biāo)：無(wú)目標(biāo)檢測(cè)概率：(有目標(biāo)判為有目標(biāo)的概率）漏報(bào)概率：(有目標(biāo)判為無(wú)目標(biāo)的概率）由圖易知：第二十一頁(yè)，共44頁(yè)。正確不發(fā)現(xiàn)概率：（無(wú)目標(biāo)判為無(wú)目標(biāo)的概率）虛報(bào)概率：（無(wú)目標(biāo)判為有目標(biāo)的概率）由圖易知：第二十二頁(yè)，共44頁(yè)。第二十三頁(yè)，共44頁(yè)。第二十四頁(yè)，共44頁(yè)。第二十五頁(yè)，共44頁(yè)。第二十六頁(yè)，共44頁(yè)。第二十七頁(yè)，共44頁(yè)。第二十八頁(yè)，共44頁(yè)。3.4.4奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則本節(jié)主要內(nèi)容1.奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則的概念;2.奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則解的存在性說(shuō)明;3.奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則的判決表示式;4.奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則的求解步驟.第二十九頁(yè)，共44頁(yè)。3.4.4奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則貝葉斯準(zhǔn)則需要知道先驗(yàn)概率和代價(jià)因子。如果不知道先驗(yàn)概率，則可用極小化極大準(zhǔn)則；如果先驗(yàn)概率已知，代價(jià)因子約束條件為則采用最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則；實(shí)際上還有這類(lèi)信號(hào)檢測(cè)問(wèn)題:先驗(yàn)概率未知,且無(wú)法給定代價(jià)因子；最關(guān)心的判決概率是,;希望正確判決概率大，錯(cuò)誤判決概率小.第三十頁(yè)，共44頁(yè)。第三十一頁(yè)，共44頁(yè)。

2.奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則解的存在性概念說(shuō)明

123第三十二頁(yè)，共44頁(yè)。

歸納：一般地說(shuō)，有無(wú)限多種劃分判決域的方法，它們都能滿足約束條件，但各自對(duì)應(yīng)的檢測(cè)概率互不相等。這樣，必有一種劃分，在約束下，使最大。所以，奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則的解是存在的。第三十三頁(yè)，共44頁(yè)。3.奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則的最佳判決式在的約束下，使最大，與使最小是等同的。我們利用拉格朗日乘子，構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，即當(dāng)約束后，使最小，則最小，因而最大。第三十四頁(yè)，共44頁(yè)。

變換積分域，則有

式中，第一項(xiàng)是非負(fù)的，欲使最小，應(yīng)滿足當(dāng)時(shí)，判決假設(shè)成立；反之，判決假設(shè)成立。從而得最佳判決式

為了滿足的約束，選擇使于是，對(duì)于給定的，可由上式解出。第三十五頁(yè)，共44頁(yè)。第三十六頁(yè)，共44頁(yè)。

說(shuō)明：奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則的判決式仍然是似然比檢驗(yàn)；如果在貝葉斯準(zhǔn)則中，令它就演變成奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則，所以，奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則也是貝葉斯準(zhǔn)則的特例；為了統(tǒng)一起見(jiàn)，仍用表示。第三十七頁(yè)，共44頁(yè)。

4.奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則的求解步驟由于奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則的最佳判決式仍為似然比檢驗(yàn)。所以，其求解步驟為：求觀測(cè)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)描述

第三十八頁(yè)，共44頁(yè)。

建立似然比判決式，并化簡(jiǎn)為或，式中待求；求檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的概率密度函數(shù)；根據(jù)的約束條件，有或由此可解得檢測(cè)門(mén)限；利用或求得正確判決概率。第三十九頁(yè)，共44頁(yè)。例3.4.3

考慮二元數(shù)字通信問(wèn)題。若其中，；要求，設(shè)計(jì)奈曼皮爾遜