上海市延安中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，為的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，則的面積為（）A．1 B．2 C． D．42．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝（）A． B．C． D．23．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，是正弦函數(shù)，因此是奇函數(shù)，以上推理（）A．結(jié)論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．大前提、小前提、結(jié)論都不正確4．設(shè)，則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．函數(shù)的極值情況是（）．A．有極大值，極小值2 B．有極大值1，極小值C．無極大值，但有極小值 D．有極大值2，無極小值7．函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則A．672 B．673 C．1345 D．13468．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A． B． C． D．9．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知直線與圓相交所得的弦長為，則圓的半徑（）A． B．2 C． D．411．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中m，n均大于0，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．1612．某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)采訪了9位代表，將數(shù)據(jù)制成莖葉圖如圖，若用樣本估計總體，年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是（精確到）（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，其中，若只有一個零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．14．函數(shù)與函數(shù)在第一象限的圖象所圍成封閉圖形的面積是_____．15．在1x-116．在極坐標(biāo)系中，曲線被直線所截得的弦長為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2（1+sin2θ）＝2，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（，）．（1）求點(diǎn)M的直角坐標(biāo)和C2的直角坐標(biāo)方程；（2）已知直線C1與曲線C2相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，求|MN|的值．18．（12分）數(shù)列滿足）.（1）計算，并由此猜想通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，，點(diǎn)在上．（1）求證：；（2）若，求三棱錐的體積．20．（12分）以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”，設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足，.（1）求橢圓及其“準(zhǔn)圓"的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時，試求直線交“準(zhǔn)圓”所得的弦長；（3）射線與橢圓的“準(zhǔn)圓”交于點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線，與橢圓都只有一個公共點(diǎn)，且與橢圓的“準(zhǔn)圓”分別交于，兩點(diǎn)，試問弦是否為”準(zhǔn)圓”的直徑?若是，請給出證明：若不是，請說明理由.21．（12分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)（用數(shù)字作答）．（1）全體排成一行，其中男生甲不在最左邊；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰.22．（10分）已知某廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品的使用壽命（單位：小時）服從正態(tài)分布，且，．（1）現(xiàn)從該廠隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，求其使用壽命在的概率；（2）現(xiàn)從該廠隨機(jī)抽取三件產(chǎn)品，記抽到的三件產(chǎn)品使用壽命在的件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)題中條件可得到拋物線方程，由直線和拋物線相切得到切點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求得面積.【詳解】點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,可得到p=2,方程為：，切點(diǎn)N（x,y）,滿足，過點(diǎn)的直線設(shè)為和拋物線聯(lián)立得到，，取k=1,此時方程為的面積為:故答案為：B.【點(diǎn)睛】這個題目考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，當(dāng)直線和拋物線相切時，可以聯(lián)立直線和拋物線，使得判別式等于0，也可以設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)求導(dǎo)得到該點(diǎn)處的斜率.2、C【解析】

先求出的表達(dá)式，然后對其化簡，求出復(fù)數(shù)的模即可.【詳解】由題意，，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模的計算，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】分析：根據(jù)題意，分析所給推理的三段論，找出大前提，小前提，結(jié)論，再判斷正誤即可得到答案.詳解：根據(jù)題意，該推理的大前提：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，正確；小前提是：是正弦函數(shù)，因為該函數(shù)不是正弦函數(shù)，故錯誤；結(jié)論：是奇函數(shù)，，故錯誤.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查演繹推理的基本方法，關(guān)鍵是理解演繹推理的定義以及三段論的形式.4、A【解析】

通過分類討論可證得充分條件成立，通過反例可知必要條件不成立，從而得到結(jié)果.【詳解】若，則；若，則；若，則，可知充分條件成立；當(dāng)，時，則，此時，可知必要條件不成立；是的充分不必要條件本題正確選項：【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由漸近線方程得出的值，結(jié)合可求得【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為，∴，∴，解得，即離心率為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線和離心率，解題時要注意，要與橢圓中的關(guān)系區(qū)別開來．6、A【解析】

求導(dǎo)分析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn),進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)性再判斷即可.【詳解】由題,函數(shù)定義域為,,令有.故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.且當(dāng)時,；當(dāng)時,故有極大值,極小值2.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)極值的求解,需要求導(dǎo)分析單調(diào)性.同時注意函數(shù)在和上分別單調(diào)遞減.屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)函數(shù)周期的定義，得到函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，進(jìn)而求得的值，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的定義域為，且，則函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，又由當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，由函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，則則，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)周期性的應(yīng)用，以及函數(shù)值的計算，其中解答中根據(jù)函數(shù)周期性的定義，求得函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

化簡拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求解準(zhǔn)線方程．【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，準(zhǔn)線方程．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．9、A【解析】

首先解一元二次不等式，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷充分條件、必要條件；【詳解】解：因為，所以或，即因為，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法，充分條件、必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

圓心到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意：圓心到直線的距離，故，解得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)弦長求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.11、C【解析】

試題分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出A的坐標(biāo)，代入直線方程可得m、n的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式求解即可．解：∵x=﹣2時，y=loga1﹣1=﹣1，∴函數(shù)y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，=（）（2m+n）=4+++2≥4+2?=8，當(dāng)且僅當(dāng)m=，n=時取等號．故選C．考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．12、A【解析】

求出樣本平均值與方差，可得年齡在內(nèi)的人數(shù)有5人，利用古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】,,年齡在內(nèi)，即內(nèi)的人數(shù)有5人，所以年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是等于，故選A.【點(diǎn)睛】樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)公式．樣本方差公式，標(biāo)準(zhǔn)差.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

把表示成分段函數(shù)，將一個零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成一個交點(diǎn)問題，作出圖形，從而得到答案.【詳解】由題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，；而的只有一個零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為與直線只有一個交點(diǎn)，作出圖形，，此時，斜率越來越小時，無交點(diǎn)，斜率越來越大時，有一個交點(diǎn)，故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的圖像，零點(diǎn)問題，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成交點(diǎn)問題是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的作圖能力，分析能力，難度中等.14、【解析】

先求出直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，封閉圖形的面積是函數(shù)y＝x與y＝在x∈[0，1]上的積分．【詳解】解：聯(lián)立方程組可知，直線y＝x與曲線y＝的交點(diǎn)為（0，0）（1，1）；∴所圍成的面積為S＝.故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了定積分，找到積分區(qū)間和被積函數(shù)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15、1【解析】

先求出二項式x+1【詳解】二項式x+15的展開式的通項為∴1x-1x故答案為1．【點(diǎn)睛】對于含有兩個括號的展開式的項的問題，求解時可分別求出每個二項式的展開式的通項，然后采用組合（即“湊”）的方法得到所求的項，解題時要做到細(xì)致、不要漏掉任何一種情況．16、【解析】

將直線和曲線的方程化為普通方程，可知曲線為圓，然后計算圓心到直線的距離和半徑，則直線截圓所得弦長為。【詳解】曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線，所以圓心到直線的距離為，所求弦長為.故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，考查直線與圓相交時弦長的計算，而計算直線截圓所得弦長，有以下幾種方法：①幾何法：計算圓心到直線的距離，確定圓的半徑長，則弦長為；②弦長公式：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去或，得到關(guān)于另外一個元的二次方程，則弦長為或（其中為直線的斜率，且）；③將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)，為直線的傾斜角）與圓的普通方程聯(lián)立，得到關(guān)于的二次方程，列出韋達(dá)定理，則弦長為。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）M的極坐標(biāo)為（1，），C2的直角坐標(biāo)方程為x2+2y2＝2（2）【解析】

（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，得到M的直角坐標(biāo)，利用，得到曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，得到，而所求的，從而得到答案.【詳解】（1）由點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（，），可得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（1，），由ρ2（1+sin2θ）＝2，得ρ2+ρ2sin2θ＝2，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C2的直角坐標(biāo)方程為x2+2y2＝2；（2）把（t為參數(shù)）代入x2+2y2＝2，得7t2+24t+16＝1．設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則，又N點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為，∴|MN|．【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題.18、（1），；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）分別令，可求解的值，即可猜想通項公式；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明.試題解析：（1），由此猜想；（2）證明：當(dāng)時，，結(jié)論成立；假設(shè)（，且），結(jié)論成立，即當(dāng)（，且）時，，即，所以，這表明當(dāng)時，結(jié)論成立，綜上所述，.考點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式及數(shù)學(xué)歸納法的證明.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）證明，轉(zhuǎn)化成證明平面即可．（2）根據(jù)，可得，從而得出體積．【詳解】證明：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，則，，四邊形為平行四邊形，，又，，，又，，平面，．解：（2），，三棱錐的體積為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直的證明，通常轉(zhuǎn)化成證明線面垂直．三棱錐體積的計算，選擇不同的底對應(yīng)的頂點(diǎn)，得到的體積相同．那么通常選擇已知的高和底從而求出體積．20、（1）；（2）；（3）是準(zhǔn)圓的直徑，具體見解析【解析】

（1）根據(jù)所給條件可知，，根據(jù)面積公式可知，最后解方程組求解橢圓方程；（2）設(shè)直線為，與橢圓方程聯(lián)立，，表示根與系數(shù)的關(guān)系，并且代入的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求，最后代入直線和圓相交的弦長公式；（3）首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)直線與橢圓有一個交點(diǎn)時，，得到，可知，可知兩條切線互相垂直，根據(jù)圓的性質(zhì)可得答案.【詳解】（1），，，，準(zhǔn)圓.（2），設(shè)：，，，，，即，圓心與該直線距離，弦長.（3），整理為：因為直線與圓只有1個交點(diǎn)，整理為：橢圓切線與垂直，即，在準(zhǔn)圓上，，也在準(zhǔn)圓上，，是準(zhǔn)圓的直徑【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合問題，涉及橢圓中三角形面積的最值的求法，第二問中設(shè)而不求的基本方法也使得求解過程變得簡單，在解決圓錐曲線與動直線問題中，韋達(dá)定理，弦長公式都是解題的基本工具.21、（1）全體排在一行，其中男生甲不在最左邊的方法總數(shù)為4320種；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起的方法總數(shù)為576種；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰的方法總數(shù)為1440種；【解析】

（1）特殊位置用優(yōu)先法，先排最左邊，再排余下位置。（2）相鄰問