青島市育才必修二第一章《立體幾何初步》測試(包含答案解析)

一、選擇題1．現(xiàn)有一個三棱錐形狀的工藝品PABC，點在底面的投影為，滿足ABCQP12QAQBQC222，SSSS△PBC1△QAB△QACS△QBC93，若要將此工藝，ABCSAB2BC2CA23S△PAB△PAC品放入一個球形容器（不計此球形容器的厚度）中，則該球形容器的表面積的最小值為（）42．44．48．49D．ABCPABCD中，設(shè)直線與直線、平面ABCD所成的角分別2DC．如圖，在正四棱錐PB角PCDB的大小為，則（）為、，二面,．,AB．,D．,C．3．《九章算術(shù)》與《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》卷五商功篇中介紹了羨除（此處是指三面為等腰梯形，其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體）體積的求法.AA3m，上寬BD4m，深在如圖所示的羨除中，平面是鉛垂面，下寬ABDA3m，平面是水平面，末端寬CE5m，無深，BDEC6m長（直線到BD的距離），CE體積為（）則該羨除的A24m．B．30m3C36m．D42m．3334體稱為“鱉臑”．在“鱉臑”ABCD中，．在我國古代，將四個角都是直角三角形的四面4AB平面BCD，BDCD且ABBDCD，若該四面體的體積為，則該四面體3）．8．A5B．12C14D．16ABCDABCD2AACDE的棱長為，E為棱的中點，截面交棱AB11．已知正方體1111CDFD于點，則四面體的外接球表面積為（）F14339．41．A6BC．12MNPQBDABAD，中，，，，分別為，，，的中CD111D．444ABCDABCD．在正方體11111MNPQ點，則異面直線與所成角的大小是（）．．DABC．6．243．如圖，在四棱錐ABCDEABCD中，底面是正方形，且平面ABCD平面，AEB7則（）DEC90．可能為AB．若△AEB是等邊三角形，則DEC也是等邊三角形2．若是等邊三角形，則異面直線和AB所成角的余弦值為4C△AEBDEBE．若是直角三角形，則平面D△AEBADE8．一個底面為正三角形的棱柱的三視圖如圖所示，若在該棱柱內(nèi)部放置一個球，則該球的最大體積為（）．43D．83A6B．12C．9．如圖所示，，為正方體的兩個頂點，M，N為其所在棱的中點，則異面直線ABAB與MN所成角的大小為（）A．30°10．如圖，在正方體B．45°C．60°D．90°ABCDABCDFBC中，點是線段上的動點，則下列說法錯誤11111的是（）AF．無論點在上怎么移動，都有BCAFBD111AE1EF2BFBCAFBDE．當(dāng)點移動至中點時，才有與相交于一點，記為點，且111CFBCAFBDC平面所成角且為160°．當(dāng)點移動至中點時，直線與最大11DFBCAFCD30°．無論點在上怎么移動，異面直線與所成角都不可能是1111．一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設(shè)BC的中點MGHN為，的中點為，下列結(jié)論正確的是（）A．MN//平面ABEB．MN//平面ADEC．MN//平面BDHD．MN//平面CDE12．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）1．61．32．3ABCD．2二、填空題13．如圖，平面四邊形ABCD中，ABAD1，BD2,CD3,BDCD將其四面體ABCD，使平面ABD平面BCD，則四面體ABCD的沿對角線BD折成外接球的的距離等于__________．球心到平面ACDABCABC中，11114．如圖，在三棱臺ACB90,ACBC4,ABCC22AABB，平面11平面，則該三棱ABC111___________.臺外接球的表面積為1524．已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為，則這個球的____________.體積為16．日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為O），地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在A水平面是指過點A且與OA.A平面所成角，點處的垂直的平面在點處放置一個日晷，緯度為北緯40，則晷針與點A處的水平面所成角的若A晷面與赤道所在平面平行，點處的_________.大小為ABCABCAA3AB2，，一只螞蟻自A點出發(fā)經(jīng)117．已知正三棱柱木塊，其中111過線段BB1C最短路徑，截開木塊時，兩部分幾何上的一點M到達(dá)點，當(dāng)沿螞蟻走過的1______.體的體積比為18__________．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是．ABCDABCD19PAB中，為線段上的任意一點，有下面三個命題：1．在正方體1111CCDD②BDAC③①PB//平面；BDPC．上述命題中正確命題的序號為1；111__________（寫出所有正確命題的序號）．20823．將底面直徑為，高為的圓錐體石塊打磨成一個圓柱，則該圓柱側(cè)面積的最大值______.為三、解答題21ABCDEFABCD多面體中，底面為∠DAB=πAB=2EF//AC，，，．如圖，在菱形，且3EA=ED=3，BE=5.1ABCDEAD⊥（）求證：平面平面；2F-BCD.（）求三棱錐的體積ABCDABCDABBC2AAO，是底面的中ABCD11111122．如圖，在長方體中，1111心.Ⅰ（）求證：平面；OB//1ACD1Ⅱ（）求二面角DACD的平面角的余弦值.1ABCDABCDADAA1,AB2E，點是AB的中23．如圖所示，在長方體中，11111.點1（）證明：平面；BD//1ADE1DEAD；112（）證明：DECD的正切值.3（）求二面角124．如圖，三棱錐V—ABCVA=VBAC=BC=2，＝AB23，．VC=1中，＝（）證明：AB⊥VC；12（）求三棱錐V—ABC的體積．25．已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，母線長為23.1（）求圓錐的底面積；2.（）在該圓錐內(nèi)按如圖所示放置一個圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，求圓柱的體積AD426．如圖，四邊形ABCD為矩形，且，AB22，PA平面ABCD，PA2，E為BC的中點.（）求證：PCDE；1M為的中點，求三棱錐MPAB的體積PC2.（）若***【參考答案】試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．DD解析：【分析】1ABQMS122作QMAB，連接，易證ABPM，由S△PM,得到QAB1ABPM△PAB2SSSS△QBC12PM2QM，再根據(jù)，由對稱性得到ABBCAC，然△△QABQACSS△PAB△PAC△PBCQAQB2QC21AB2BC2CA232后根據(jù)，在△AOQ，S93，求得AB6,AQ23ABC中，由AOOQ2AQ.求解半徑即可22【詳解】如圖所示：作QMAB與M，連接，因為PQ平面ABC，PM所以PQAB，又QMPQQ，所以AB平面PQM，所以ABPM，1ABQMS12,△QAB2所以1SABPM△PAB2PM2QM,SSS△QAB△QAC△QBC1因為，2SSS△PAB△PAC△PBC由對稱性得ABBCAC,QA2QB2QC21AB2BC2CA23，S93，ABC又因為所以S12AB2sin6093，ABCAB6,AQ23，解得QM3,PM23,PQ3，所以r設(shè)外接球的半徑為，23r23在△AOQ中，AOOQ2AQ2，即2，r227解得r，2，S4r49所以外接球的表面積為2.即該球形容器的表面積的最小值為49D故選：【點睛】S關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是由S△QACS△QBC1得到三棱錐是正棱錐，從而找到2△QABSS△PACS△PBC△PAB..外接球球心的位置而得解2．AA解析：【分析】連接AC、BD交于O，連PO，取CD的中點E，連OE,PE，根據(jù)正棱錐的性質(zhì)可PCO，PEO，知，PCE.，再比較三個角的正弦值可得結(jié)果【詳解】連接AC、BD交于O，連PO，取CD的中點E，連OE,PE，如圖：AB//CD，所以PBAPCE，四棱錐，又因為PABCD因為為正四棱錐，所以性質(zhì)可知，PO平面ABCD，所以PCO由正四棱錐的，易得OECD，，所以PECDPEO，因為sinPEPCsin，POPC，且PEPO，所以sinsin，又,都是銳角，所以，POPOPC因為sinsin，，且PCPE，所以sinsin，因為,都是銳PE角，所以.A故選：【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)正棱錐的性質(zhì)，利用異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角的定義得到這三個角是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.3．CC解析：【分析】BBCC3m，連接B，C，使得，，BC，把ACAB在BD，CF上分別取點幾何體分割成一個三棱柱和一個四棱錐，然后由棱柱、棱錐體積公式計算．【詳解】在BD，CF上分別取點，，ACBBCC3m，連接AB如圖，B，C，使得VVV四棱錐BC，則三棱柱ABCABC是斜三棱柱，該羨除的體積三棱柱ABCABC.11213636336m3ABDEC232C故選：．【點睛】思路點睛：本題考查求空間幾何體的體積，解題思路是觀察幾何體的結(jié)構(gòu)特征，合理分割，將不規(guī)則幾何體體積的計算轉(zhuǎn)化為錐體、柱體體積的計算．考查了空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力．4．BB解析：【分析】由題意計算ABBDCD2,分析該幾何體可以擴(kuò)充為長方體，所以只用求長方體的外接球即可.【詳解】平面BCD，BDCD且ABBDCD，因為ABVABCD43，,所以ABBDCD2，而V1132BDCDAB43ABCD.所以該幾何體可以擴(kuò)充為正方體方體，所以只用求正方體的外接球即可設(shè)外接球的半徑為，則2R23,RS4R212所以外接球的表面積為B故選：【點睛】多面體的外接球問題解題關(guān)鍵是找球心和半徑，求半徑的方法有：(1)(2)(3)(4)公式法；多面體幾何性質(zhì)法；補(bǔ)形法；尋求軸截面圓半徑法；確定球心位置(5)法．5．BB解析：【分析】△DFCOG，的外接圓的球心為，四面體1DD可證為AB的中點，設(shè)的中點為F1CDFD的外接球的球心為，連接三角形的方法可求OOG,OF,OO,AB，利用解111△DFCCDFD.的外接圓的半徑，從而可求四面體的外接球的半徑1【詳解】OG，的外接圓的圓心為，△DD設(shè)的中點為DFCCDFD四面體的外接球的球心為111O，連接OG,OF,OO,AB，11AABB//DDCCCDEAABBEF，平面，平面平面11111因為平面11CDEDDCCDCEF//DC，故，1平面平面1111EF//AB而，故，故為AB的中點，AB//DCF1111042555，3cosDFC所以DFCF145，故4內(nèi)角，故sinDFC，故的外接圓的因為∠DFC為三角形的△DFC半徑為5125454，2OODDOO//DD1平面ABCD，平面ABCD，故，111GDOO1OGDD,ODDDOG//OD，，故1在平面中，111GDOO1OO//GDOOGD，故四邊形為平行四邊形，故，112541，4CDFD所以四面體的外接球的半徑為11164141，44CDFD故四面體的外接球表面積為161故選：B.【點睛】方法點睛：三棱錐的外接球的球的半徑，關(guān)鍵是球心位置的確定，通常利用“球心在過底面外接圓的圓心且垂直于底面的直線上”來確定.6．B解析：B【分析】由M也是AB的中點，也是P1AD1中點，得平行線，從而找到異面直線MN與PQ所成角，在三角形中可得其大小．【詳解】ADAB如圖，連接，，顯然M也是AB的中點，也是AD中點，P1111又N是BD1中點，所以MN//AD，PQ//AC，中點，是CDQ1大小為．所以CAD是異面直線MN與PQ所成角（或補(bǔ)角），4故選：B．【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是0,2補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．7．C解析：C【分析】對A，直角三角形的斜邊大于直角邊可判斷；對B，由ECEBDC可判斷；對C，可得CDE即異面直線和AB所成角，即可求出；對D，EAB（或EBA）為直角DE時，BE與平面【詳解】不垂直.ADE對A，由題意，若DEC90，則DCEC，但ECBCCD，故A不正確；是等邊三角形，顯然有ECEBDC，所以DEC不會是等邊三角對B，若△AEB形，故B不正確；對C，若△AEB是等邊三角形，設(shè)邊長為2，則DEEC22，AB//CD，則CDE即異面直線DE和AB所成角，12，故C正確；224易求cosCDEAEB為直角的直角三角形時，BE平面，當(dāng)△AEBADE是以對D，當(dāng)△AEB是以EAB（或EBA）為直角的直角三角形時，BE與平面ADE不垂直，故D不正確．故選：C.【點睛】本題考查四棱錐的有關(guān)位置關(guān)系的判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解長度關(guān)系，正確理解位置關(guān)系的變化.8．CC解析：【分析】先由三視圖計算底面正三角形內(nèi)切圓的半徑，內(nèi)切圓的直徑和三棱柱的高比較大小，確定球的半徑的最大值，計算球的最大體積.【詳解】由三視圖知該直三棱柱的高為4，底面正三角形的高為33，易得底面正三角形內(nèi)切圓的半徑為高的三分之一，即r3，由于234，所以該棱柱內(nèi)部可放置球的半徑的最大4.343值為3，它的體積V33C故選：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的第一個關(guān)鍵是由三視圖確定底面三角形的高是33，第二個關(guān)鍵是確定球的最大半徑.9．CC解析：【分析】由MN與正方體的面對角線平行，可得異面直線所成的角，此角是正三角形的內(nèi)角，由此可得．【詳解】作如圖所示的輔助線，由于M，N為其所在棱的中點，所以MN//PQ，又因為AC//PQ，所以AC//MN，所以CAB即為異面直線AB與MN所成的角（或補(bǔ)角），.易得ABACBC，所以CAB60C故選：．10．CC解析：【分析】AE1EFA.通過證明線面垂直，證得線線垂直；B.利用相似三角形，求的值；C.首先構(gòu)造直線AF1BDC與平面所成角，再通過數(shù)形結(jié)合分析最大角，以及最大角的余弦值，判選項；1D.將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，求解判斷.【詳解】A.ACBD，，AC平面，ACBD，AC//AC，1BBDACBB1111BDACBDBCACBCCBDABCAF，平面，平面11111，同理1，1111111ABC，BDAF，故A正確；1111ADCB四邊形是平行11B.ADBCBCAB//DC,且ABDC連結(jié)，交于點，，1111F111AEAD2，故B正確；EFBFAD//BC四邊形，所以11ADEFBE，得1，1111C.AOBDCABACAD，點OBDC平面，是等邊三角形的中心，1111111ABC1ABCBDCBCAFBC是等邊三角形，當(dāng)點是F的中點時，，此時1111111設(shè)直線與平面所成角為，此時AF1ABCAFBDC是點和上的點連線的最短距離，1111AO1AFOF11,最大角大AF32sincos于60，故C不最大，所以此時最大，所以11正確；AB//CD，CD與所成的角，轉(zhuǎn)化為的大D.AFBAFBAF小，的最小角是1111111tanBAFFB12，此時3，所以3BA11ABCBAF與平面所成的角，11即1111AB211BAF11D.的最小角大于30，故正確C故選：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用幾何的綜合應(yīng)用，包含線線，線面角，垂直關(guān)系，首先會作平面BDC，點OBDC是等邊三角形的1AO圖，關(guān)鍵選項是C和D，選C項的關(guān)鍵是11D.中心，選項的關(guān)鍵是知道先與平面中線所成角中，其中線面角是其中的最小角11．CC解析：【分析】根據(jù)題意，得到正方體的直觀圖及其各點的標(biāo)記字母，取FH的中點O,連接ON,BO，可以證明MN‖BO,利用BO與平面ABE的關(guān)系可以判定MN與平面ABE的關(guān)系，進(jìn)而對選擇支A作出判定；根據(jù)MN與平面BCF的關(guān)系，MN與平面ADE的進(jìn)而對選擇支B作出判定；利用線面平行的MN與平面BDE的平利用面面平行的性質(zhì)可以判定關(guān)系，判定定理可以證明行關(guān)系，進(jìn)而判定C；利用M,N在平面CDEF的兩側(cè)，可以判定MN與平面CDE的關(guān)系，進(jìn)而對D作出判定.【詳解】FH的中點O,連接標(biāo)記字母如圖所示，根據(jù)題意，得到正方體的直觀圖及其各點的取ON,BO，平行且相等，四邊形ONMB易知ON與BMMN‖BO,為平行四邊形，∵BO與平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN與平面ABE相交，故A錯誤；∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN與平面ADE相交，故B錯誤；∵BO?平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN?平面BDHF,∴MN‖平面BDH,C顯然M,N在平面CDEF的兩側(cè)，所以MN與平面CDEF相交，故D錯誤.故正確；C.故選：【點睛】本題考查從面面平行的判定與性質(zhì)，涉及正方體的性質(zhì)，面面平行，線面平行的性質(zhì)，屬于小綜合題，關(guān)鍵是正確將正方體的表面展開圖還原，得到正方體的直觀圖及其各頂點的標(biāo)記字母，并利用平行四邊形的判定與性質(zhì)找到MN的平行線BO.12．C解析：C【分析】根據(jù)題中所給的幾何體的三視圖還原幾何體，得到相應(yīng)的三棱錐，之后利用椎體體積公式求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題中所給的幾何體的三視圖還原幾何體如圖所示：該三棱錐滿足底面△BCD是等腰三角形，且底邊和底邊上的高線都是2；且側(cè)棱AD底面BCD，AD1，112221=，3所以V=32故選：C.【點睛】方法點睛：該題考查的是有關(guān)根據(jù)所給幾何體三視圖求幾何體體積的問題，解題方法如下：1（）應(yīng)注意把握三個視圖的尺寸關(guān)系：主視圖與俯視圖長應(yīng)對正（簡稱長對正），主視圖與左視圖高度保持平齊（簡稱高平齊），左視圖與俯視圖寬度應(yīng)相等（簡稱寬相等），若不按順序放置和不全時，則應(yīng)注意三個視圖名稱；2（）根據(jù)三視圖還原幾何體；3.（）利用椎體體積公式求解即可二、填空題13．【分析】取的中點為可證明為四面體外接球的球心利用等體積可得答案【詳解】取的中點為連接因為平面平面平面平面平面故平面因為平面故因為故故又故平面因為平面故而為的中點故又所以故為四面體外接球的球心設(shè)球心到1解析：2【分析】ABCD外接球的球心，利用等體積可得答案.取BC的中點為M，可證明M為四面體【詳解】取BC的中點為M，連接AM,DM，BCDBD，面ABD平面面ABD平面，BDCD，平因為平BCDCD平面BCD，故CD平面ABD，因為BA平面ABD，故CDBA，因為ABAD1，BDABAD2，故BAAD，，故2BD22ADDCD，故BA平面ACD，因為AC平面ACD，又故ADAC，而M為BC的中點，故MAMBMC，又BDDC，所以MDMB，故M為四面體ABCD外接球的球心.的距離為h，設(shè)球心M到平面ACD1，所以31AB2S31，即因為VBACD2VMACDShACDh.ACD21故答案為：.2【點睛】本題考查四面體的外接球，此類問題一般是先確定球心的位置，再把球的半徑放置在可解的平面圖形中處理，如果球心的位置不易確定，則可以通過補(bǔ)體的方法來處理.14．【分析】取與中點根據(jù)平面平面可知平面球心必在直線上設(shè)球心為D則可求得球心恰好為點O從而求得外接球的半徑代入球的表面積公式計算【詳解】在三棱臺中可得都是等腰三角形四邊形為等腰梯形即如圖取與中點連接則可解析：32【分析】取AB與AB中點O,O，根據(jù)平面AABB平面ABC，可知OO平面ABC，球心1111必在直線OO上，設(shè)球心為D，則ODOO2OC2ODOC2，可求得球心恰12好為點O，從而求得外接球的半徑R，代入球的表面積公式計算.【詳解】在三棱臺ABCABC中，ACB90,ACBC4,ABCC22可得111111ABC,ABC111都是等腰三角形，ACBC2，四邊形AABB為等腰梯形即111111AABB，11如圖，取AB與AB中點O,O，連接CO,OO,CO，則可得CO22,CO2，1111OOAB，又平面AABB平面ABC，兩面交線為AB，所以O(shè)O平面ABC.11,OAOBOC,面ABC//面ABC,因為OAOBOC111111COOC中可求得OO6，所以球心必在直線OO上.所以在直角梯形1由題意可知，該三棱臺外接球的外接球的球心必在直線OO上，設(shè)球的半徑為R，球心為D，2則ODOOD6，所以球心恰好為點O，OC2ODOC2，得O12.所以球的半徑為22，所以該三棱臺外接球的表面積為4(22)232故答案為：32【點睛】方法點睛：定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助面面垂直的性質(zhì)，找到線面垂直，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.15．【分析】根據(jù)正方體的表面積可得正方體邊長然后計算外接球的半徑利用球的體積的公式可得結(jié)果【詳解】設(shè)正方體邊長正方體外接球的半徑為R由正方體的表面積為24所以則又所以所以外接球的體積為：故答案為：【點睛解析：43【分析】根據(jù)正方體的表面積，可得正方體邊長，然后計算外接球的半徑Ra3a，利用球的體2積的公式，可得結(jié)果.【詳解】a設(shè)正方體邊長，正方體外接球的半徑為R，，由正方體的表面積為24，所以6a2243則a2，又Ra，所以R3，23343.4343R3所以外接球的體積為：故答案為：43.【點睛】方法點睛：求多面體的外接球的表面積和體積問題關(guān)鍵是要求出外接球的半徑，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心.16．40°【分析】畫出過球心和晷針?biāo)_定的平面截地球和晷面的截面圖根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的定義判定有關(guān)截線的關(guān)系根據(jù)點處的緯度計算出晷針與點處的水平面所成角【詳解】畫出截面圖如下圖所示其中是赤解析：40°【分析】畫出過球心和晷針?biāo)_定的平面截地球和晷面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的定義判定有關(guān)截線的關(guān)系，根據(jù)點處的緯度，計算出晷針與點處的水平面所成AA角.【詳解】畫出截面圖如下圖所示，其中CD是赤道所在平面的截線；l是點處的水平面的截線，A可知OAl；AB是晷針?biāo)谥本€.是晷面的截線，題依意依m(xù)題依意題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知m//CD、根據(jù)線面垂直的定義可得ABm..由于AOC40,m//CD，所以O(shè)AGAOC40，由于OAGGAEBAEGAE90，所以BAEOAG40，也即晷針與點處的水平面所成角為BAE40.A40°.故答案為：【點睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學(xué)文化，解題的關(guān)鍵是將穩(wěn)文中的數(shù)據(jù)建立平面圖形，屬于中檔題.17．【分析】將正三棱柱的側(cè)面沿棱展開成平面連接與的交點即為滿足最小時的點可知點為棱的中點即可計算出沿著螞蟻走過的路徑截開木塊時兩幾何體的體積之比【詳解】將正三棱柱沿棱展開成平面連接與的交點即為滿足最小時解析：1:1【分析】將正三棱柱ABCABCBB的側(cè)面沿棱展開成平面，連接ACBB與的交點即為滿足111111AMMCBB最小時的點M，可知點M為棱的中點，即可計算出沿著螞蟻走過的路徑11截開木塊時兩幾何體的體積之比.【詳解】將正三棱柱ABCABC沿棱BBBB與的交點即為滿足1展開成平面，連接AC11111AMMC.最小時的點M1AA3由于AB2，，再結(jié)合棱柱的性質(zhì)，可得，1BBC一只螞蟻自A點出發(fā)經(jīng)過線段上的一點M到達(dá)點，當(dāng)沿螞蟻走過的最短路徑，11M為的中點，因為三棱柱是正三棱柱，所以當(dāng)沿螞蟻走過的最短路徑，截開木塊BB1時，V兩部分幾何體的體積比為：:V1:1.ACBMCCAMBA1111故答案為：1:1.【點睛】本題考查棱柱側(cè)面最短路徑問題，涉及棱柱側(cè)面展開圖的應(yīng)用以及幾何體體積的計算，考查分析問題解決問題能力，是中檔題．18．【分析】先根據(jù)三視圖得到幾何體是底面是直角三角形的一個三棱錐再根據(jù)錐體的體積計算公式求解即可【詳解】利用正方體法還原三視圖如圖所示根22據(jù)三視圖可知該幾何體是底面直角邊為的等腰直角三角形高為的三棱錐4解析：.3【分析】先根據(jù)三視圖得到幾何體是底面是直角三角形的一個三棱錐，再根據(jù)錐體的體積計算公式求解即可.【詳解】利用正方體法還原三視圖，如圖所示，22S-根據(jù)三視圖，可知該幾何體是底面直角邊為的等腰直角三角形，高為的三棱錐11，故其體積V222324ABC.34故答案為：.3【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體，錐體的體積公式，考查考生的觀察分析能力與空間想象能力及運(yùn)算能力，屬于中檔題.19．①②③【分析】①證明線面平行可判斷對錯；②證明線面垂直可判斷對錯；③證明線面垂直可判斷對錯【詳解】①如下圖所示：因為平面平面平面所以平面故①正確；②連接如下圖所示：因為平面所以又因為且所以平面又因為①②③解析：【分析】①證明線面平行可判斷對錯；②證明線面垂直可判斷對錯；③證明線面垂直可判斷對錯.【詳解】①如下圖所示：平面ABBA11因為平面ABBA//平面CCDD，BP11，所以PB//平面CCDD，故1111①正確；②連接AC,BD，如下圖所示：DDDDAC，1因為平面ABCD，所以1DDBDD又因為ACBD且，所以AC平面DBD，11BDDBD，所以BDAC又因為平面，故②正確；111③連接AC,PC,BC,BC，如下圖所示：11DCBCCBDCBCBCBC，且，又因為11因為平面，所以1111111DCBCC，1111BCBDBCBDBDCBDC所以平面，又平面，所以，11111111②由的證明可知BDACACBCCABC，所以平面，1BD，且111又因為PC平面，所以ABCBDPC，故正確，③11①②③.故答案為：【點睛】本題考查空間線面平行、線線垂直關(guān)系的判斷，涉及線面平行判定定理、線面垂直判定定理的運(yùn)用，主要考查學(xué)生對空間中位置關(guān)系的邏輯推理能力，難度一般.20h．【分析】欲使圓柱側(cè)面積最大需使圓柱內(nèi)接于圓錐設(shè)圓柱的高為底面半徑為r用r表示h從而求出圓柱側(cè)面積的最大值【詳解】欲使圓柱側(cè)面積最大hr則解得；所以；當(dāng)時取需使圓柱內(nèi)接于圓錐；設(shè)圓柱的高為底面半徑為解析：43【分析】hrr欲使圓柱側(cè)面積最大，需使圓柱內(nèi)接于圓錐，設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，用表示h，從而求出圓柱側(cè)面積的最大值.【詳解】欲使圓柱側(cè)面積最大，需使圓柱內(nèi)接于圓錐；hr設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，23hr3則23，解得h23r；4232rh2r23r34rrS圓柱側(cè)所以；22當(dāng)r2時，取得最大值為43S圓柱側(cè).43故答案為：【點睛】本題考查了求圓柱側(cè)面積的最值，考查空間想象能力，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值，屬于中.檔題三、解答題6.32112．（）證明見詳解；（）【分析】1ADOEOBO.EO⊥（）取的中點，連接，，可證平面再根據(jù)面面垂直判定定理可ABCD證；2EF//ACFABCD（）因為得點到平面的距離等于點到平面的距離，由體積公式EABCD.可求出結(jié)果【詳解】1ADO解：（）如圖，取的中點，連接，EOBO.∵EA=ED，∴EO⊥AD.△ABD∴AB=BD=AD=2∴BO=.由題意知為等邊三角形，，3在中，EA=ED=3，，△EADAD=2∴EO=AE2-AO22，又BE=5，∴EO2BO2BE2，∴EO⊥BO，∵ADOBO，平面，平面，AD?ABCDBO?ABCD∴EO⊥ABCD.平面EO?EAD∴EAD⊥又平面，平面平面ABCD.2（）由題意得SS1ADOB1233，22BCDABD∵EF∥AC∴FABCDEABCD，點到平面的距離等于點到平面的距離，為，EO∴VFBCD1SEO1326.333BCD【點晴】.關(guān)鍵點點晴：證明面面垂直的關(guān)鍵在于找到線面垂直6.322．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）連接BD交AC于點DOBD1OB//DO，即可得證；O，連接，連接，可證1111DACDDOD（Ⅱ）依題意可得是二面角的平面角，再根據(jù)銳角三角函數(shù)計算可11得；【詳解】（Ⅰ）證明：連接BD交AC于點O，連接，連接DOBD，111由長方體的性質(zhì)知BOOD，且BO//OD，1111故四邊形BODO1是平行四邊形，1所以O(shè)B//DO.11DOACDOBACD又因為平面，平面，1111所以O(shè)B//1ACD.平面1ABBC2AA2，由長方體底面ABCD是正方形，DOAC.（Ⅱ）解：設(shè)得1DADC，O是AC的中點，所以DOAC，因為111DACD.的平面角所以DOD是二面角11在直角三角形DDO1DDO90，易得DD1中，，11DO1BD122222，DODC2OC25223，22211得cosDODDO6，DO311DACD6余弦值為.所以二面角的平面角的13【點睛】作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．2．（）證明見解析；（）證明見解析；（）23123.2【分析】1（）連接AD交AD1于點，O連接EO，易得OE//BD，再利用線面平行的判定定理11.證明ABADADAD，利用線面垂直的判定定理證得12（）由長方體的特征得到，再由11ADADE.平面即可11ABCD,CE易得CEDE，再由平面平面ABCD，得CEDD，3DD（）到11DEDDECD可得CE平面，由是二面角DDE.的平面角求解111【詳解】1（）如圖所示：連接AD交AD1于點，O連接EO，則O為AD1.的中點1∵E是AB的中點，∴OE//BD1又OE平面，平面，ADEBDADE111∴BD//1ADE.平面12（）由題意可知，四邊形ADDA是正方形，11∴ADAD.11∵AB平面ADDAADADDA，平面，11111∴ABAD.1∵，平面，ADEABADA，AB平面1ADEAD111∴ADADE.平面11又DEADE平面，11∴ADDEDEAD.11，即113（）在CED中，，AD2AE2CE，22，CB2BECD2DE2∴CEDE∵DD平面ABCD,CE平面ABCD，1∴CEDD.1∵DDDDEDDDED，平面，平面，DDEDE1111∴CE平面DDE.1∵DE又平面，DDE11∴CEDE.1∴DEDDECD.的平面角是二面角112，ADED∵DDE90在中，，，DD1DE111tanDEDDD12∴∴1DE，221DECD2的正切值為二面角.12【點睛】方法點睛：幾何法求線線角、線面角、二面角的常用方法：（1）求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平(移；利用特殊點線)或中點作平行線平段的端點移；補(bǔ)形平移．（2）線面角的求法，形中求解．找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到一個三