第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

一.函數(shù)的連續(xù)性

自然界中有許多現(xiàn)象,如氣溫的變化,河水的流動(dòng),植物的生長(zhǎng)等等,都是連續(xù)變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映,就是函數(shù)的連續(xù)性.例如就氣溫的變化來看,當(dāng)時(shí)間變動(dòng)很小時(shí),氣溫的變化也很小,這種特點(diǎn)就是所謂連續(xù)性.當(dāng)t的變化很小時(shí)，T的變化也很小第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三注：⑴Δu是一個(gè)記號(hào)，是一個(gè)不可分割的整體。⑵Δu可正、可負(fù)、可為零.自變量的增量函數(shù)的增量1、函數(shù)的增量

第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三定義12、函數(shù)的連續(xù)性

第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三定義2

由以上定義可看出函數(shù)f(x)在x=x0處的極限與連續(xù)

的定義的區(qū)別。注第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三左連續(xù)與右連續(xù)在區(qū)間上的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不斷的曲線。第6頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三證：例1、第7頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三例2、解：根據(jù)連續(xù)的充要條件，有第8頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三例3、解：第9頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性：先計(jì)算出分段函數(shù)在分界點(diǎn)的極限值，后與該點(diǎn)處函數(shù)值比較，看兩值是否相等，若相等，則在分界點(diǎn)處連續(xù)，否則在分界點(diǎn)處不連續(xù)；第10頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三1、定義：二、函數(shù)的間斷點(diǎn)第11頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三例4、第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三。例5、第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三例6、。。第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三例7、例8、第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三2、第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三例9、解：第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性定理1定理2注定理可推廣到有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的情形。例1在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三定理22、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的連續(xù)性注i)⑴可寫成iii)由得，要求，可轉(zhuǎn)化為求ii)即：極限符號(hào)和連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號(hào)可以交換順序。第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三即：?jiǎn)握{(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)連續(xù)的定理3例2第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三3、初等函數(shù)的連續(xù)性(1)基本初等函數(shù)的連續(xù)性在對(duì)應(yīng)的定義域內(nèi)（反函數(shù)）三角函數(shù)連續(xù)（反函數(shù)）反三角函數(shù)連續(xù)結(jié)論1：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)，或稱基本初等函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。(2)初等函數(shù)的連續(xù)性結(jié)論2：由于連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商、復(fù)合以及反函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)，所以，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三由此：例1、解：例2、解：例3、解：第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三例4、解：例5、解：例6、解：第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三例7解第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三例8、解：第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1、最大值和最小值定理最值：定理1（最值定理）幾何解釋第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三注。。.1122例定理2（有界性定理）第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三2、介值定理定理3（零點(diǎn)定理）定理4（介值定理）第29頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三證：例1、推論第30頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三例2、證：第31頁，共33頁，2