三角函數(shù)綜合知識(shí)講解

yAsin(xA、、凡是與終邊相同的角，都可以表示成k360終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360的整數(shù)倍.x|k180，ky|k18090，kZ，角度制與弧度制的互化弧度180，1

弧度，1弧度

57(57弧 ：l||r(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面 ：S1lr1||r2 0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來(lái)決定.角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是

llrr系式、誘導(dǎo)：角P為(x,y，設(shè)|OP|rsiny,cosx,tan 三角函數(shù)的值與點(diǎn)Px2x2x2x2

,cos

,tan x2x2y0643222sin012223210-0cos13222120-01tan0331300sin2cos21;

sin2是(sin)2誘導(dǎo)(奇變偶不變，符號(hào)看象限sin()=sin，cos()=-cos，tan()=-tansin()=-sin，cos()=-cos，tan()=tansin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tansin(2)=-sin，cos(2)=cos，tan(2)=-sin(2k)=sin，cos(2k)=cos，tan(2k)=tan，(kZ22

)=cos，cos(2)=cos，cos(2

)=-(1)要化的角的形式為k90k“ ysinx，ycosx定(-(-值域[-[-奇[2k,2k k[2k,2k3 kkk周最小正周期T最小正周期T當(dāng)x2k(kZ)時(shí)， 當(dāng)x2k(kZ)時(shí)， x2k(kZyminx2k(kZymaxxk(kZ2xk(kZ(k,0)(kZ22

ytanxxk,k2R 增區(qū)間(k ,k ),k T對(duì)稱中心 ,0)(kZ2yAsin(x1．“五點(diǎn)法”作簡(jiǎn)yAsin(xzxz0,3 yAsin(x圖的關(guān)鍵是點(diǎn)的選取，其中橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，公差為T4yAsinx(x)數(shù)的值域或化為關(guān)于sinx(cosxyAsin(xA0,0x由2k2

x2k(kZ2

解出x的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由2k2

x2k2

(kZxyAsinx(x)②確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中第一個(gè)零點(diǎn)(0作為突破口，要注意從圖象的升降情況yAsin(xysinx

向左(>0平移個(gè)單位坐ysin(xysin(x

到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變yAsin(x)的圖 yAsin(x)k的圖象yAsinxyAsin(xyAsin(x

平移個(gè)單

yAsin(x)

平移k個(gè)單位

1．已知角的終邊上一點(diǎn)

3m，且sin

，求costan433【解析】由題設(shè)知x ，ym，所以r2|OP|2(3)2m2，得r33從而sin

2mm m3m3解得m0或1662m2m5 m0r

3,x

3，cos 1,tan 0 6 653當(dāng)m 時(shí)，r22,x 53

cos ,tan 6 63m3

5時(shí)，r22,x

,tan P(x,y在終邊上的位置無(wú)關(guān).1αP(－8m，－6sin30°)cosα＝－5

，則m的值為 12

33 33 【答案】【解析】64m264m2

，45 ∴64m2

.∵m>0，∴m＝ 2.已知角(1)在區(qū)間[7200內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角(2)集合Mx|xk18045kZ，Nx|xk18045kZ，那么兩集合的關(guān)系是什 【答案】

675315

M【解析】(1)所有與角45k360kZ則令72045k3600得765k360解得

k

，從而k2或k675(2)Mx|x2k145kZ表示的是終邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合；而集Nx|xk145kZMN出一個(gè)關(guān)于k的不等式，找出相應(yīng)的整數(shù)k，代回求出所求解；(2)可對(duì)整數(shù)k【變式1】集合M{x|xk,kZ}，N{x|xk,kZ}，則 A、M

BM

C、M

D、MN【答案】

kZ,k取特殊值-1，-3，-2，- 2k (法三)集合M

(2k

,kZ k (k集合N變形x

,kZ(2k1)是(k2)是的整數(shù)倍，因此MN類型二:扇形的弧長(zhǎng)和面【答案】

1(2)r2【解析】設(shè)扇形的圓心角是rad，因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)是r，所以扇形的周長(zhǎng)是2r2r

(2)180≈1.14257.30≈S1r21(2)r2 是圓周

C2r和圓面

1 2r2用圓心角的弧度數(shù)代替2時(shí)，即得到一般的弧 和扇形面 l

r,S1lr2

r2.12128

，θ∈(

cosθ－sinθ進(jìn)行平方． 【解析】(cosθ－sinθ)=cosθ+sin 4

，)，∴23∴cosθ－sinθ= 32sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者關(guān)系緊密，由其中之一，可求其余之二．1A是ABC的一個(gè)內(nèi)角，且tanA5，求sinAcos4【思路點(diǎn)撥】根據(jù)tanA0A2

A45【答案 45

tanA50,A為鈍角，sinA0cosA11tan11tan2由tanAsinA，平方整理得cos2Acos

1tan2

,cosA 441,sinAtanAcosA

32cosθ－sinθ=32

sinθcosθ，sinθ+cosθ (cossin)23，12sincos3，sincos cossin0,sincos0，sincos 215（2015 14求cos2

cos[cos()

（2）32 【解析】由已知sin(3) ，所以sin （1）cos21sin21 15

cos() cos(2)cos[cos()1] cos(cos cos(cos) cos

cos1cos1 (1cos)(1

2

32 22

3

22【答案】

＝cos5

＝sin5

∴sin5＝－22 2 例6.函數(shù)y＝-xcosx的部分圖象是 2

A，CB，Dy軸和原點(diǎn)對(duì)稱，從而啟示我們從研究函數(shù)奇偶性入【課堂：三角函數(shù)的綜合395043例1x【變式1】函數(shù)f(x) cosx在[0,)內(nèi)（x 【答案】例7

f(x)sin(x

)(xR,0)

g(xcosxy

f(x)的圖象 A8

8

個(gè)單位長(zhǎng)

【答案】由題知T又0，所以T

2f(x)sin(2x)cos(2x4

4=cos2x 8f(xcos2xg(xcos2x的圖象．故選 8 1（2015山東一模）f(xAsin(x（A＞0，ω＞0，||）2 6

個(gè)單位長(zhǎng) 6

【答案】

個(gè)單位長(zhǎng)

【解析】由圖象可知A=1，T=π，∴ Tf(xsin(2x)f(7sin(7 2k， 2k(kZ ∵| ，∴ ∴f(x)sin(2x

) 2x ) 2x)cos(2x

可得到cos[2(x

)

]cos2x8f(xAsin(x1(A0,0)3,6離為．2(1)f(x(2)設(shè)

2

2,求ff 【思路點(diǎn)撥】由題意知，A=2，T，可求出2（2）把代入函數(shù)解析式，求出2（1）y2sin(2x1（2） 【解析】(1f(x3,∴A13A

,∴最小正周期為T22f(xy2sin(2x16 (2)∵f )2sin(

)1即sin( ∵0 ,∴ ,故 1f(xAsin(xxR（A0,002

上一個(gè)最低點(diǎn)為M ,2)3f(x（Ⅱ）x[0]f(x33

f