第二節(jié)軸對稱的性質

第一對稱圖 新知概覽(總結學習知識要課標要中考考節(jié)內對應例節(jié)內對應習線段的垂直平定及其性質（理解軸對稱的性質（理解試練例2;易錯典例1、2、5；題型典 1、2、1、2、3；；畫圖形的軸對的圖形畫出平面圖形經過一次軸7、8、94.本節(jié)重難重點：軸對稱的性質難點：正確理解軸對稱的性質,確定已知圖形的關鍵點并根據(jù)這些點作出對稱圖形知識全解(享受探究知識1:線段的垂直平(重點畫一條線段AB，對折AB使點A、B合，折痕與AB的交點為OOAOB相等通過折疊，我們驗證了線段是軸對稱圖形線段的一條對稱軸垂直于這條直線且平分它我們把這樣的直線叫做這條線段的垂直平分線圖1-【知識規(guī)律】線段的垂直平分線必須滿足兩個條件：①經過線段的中點；②垂直于這條線段．兩者認為它的對稱軸只有一條;(2)線段的垂直平分線也簡稱中垂線.試練例題1:下列說法中正確的個數(shù)是 A．PABlPl⊥AB，lABB．lABlABC．AP=PBlABlABD．經過線段ABPABlAB垂直的條件，故不正確；C中雖然既有AP=PB，也有l(wèi)⊥ABA，P，B不一定在同一直線上，就算A，P，BPl上，故也不正確；D符合線段的垂直平分線的定義，是正確的．【答案】．另外要注意，PAB的要求是：AP=PB,PAB知識2:軸對稱的性質(難點【知識銜接】如圖1-2-2所示，三角形ABC與三角形DEF關于直線MN對稱，則①△AB=DE,BC=FF,AC=DF,∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFEAD、BE、CFMNAD，MNBE，MNCFAD∥BE∥CFA、DB、EC、F連線的MN.【知識兩個圖形成軸對稱與全等的關系：①對稱的兩個圖形一定全等但全等的兩個圖形不一定是對稱的4CF則∠AFE+∠BCD的大小是（ AAFEBDC1-2-【答案】【總結】掌握軸對稱的性質是解決本題的關鍵知識3:畫圖形的軸對稱圖形(難點l【知識歸納】(1)畫軸對稱圖形的三步驟：①確定原圖形的關鍵點;②作出每個關鍵點關于對稱軸對稱的（1）（2）（3）【知識警示】作出對稱點可分三步：作垂線,延長,截取:【思路導引】先確定特殊點，再畫對稱點，最后連成圖形【答案】1-2-6AD⊥MNDADAB，CMN

=ADAMNA；(2)【總結】作已知圖形關于某條直線的對稱圖形主要就是作關鍵點的對稱點易錯易混辨

易錯1軸對稱中的計算錯易錯典例1如圖1-2-7所示，在折紙活動中，制作了一張△ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A'重合，若A=70，則1+2 A． B． C． D．【思路導引】由∠A＝70°得∠AED＋∠ADE＝110°，再由折疊可知∠AEA/＋∠ADA/＝220°【答案】【誤區(qū)總結】折疊以后的圖形與折疊前的圖形全等，全等的圖形的對應邊相等，對應角相等易錯點 軸對稱的性質理解錯易錯典例 =∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直線BC和B′C′的交點不一定在l上.正確的有 A.4 B.3 C.2 D.1【思路導引】本題是軸對稱性質的應用，利用該性質可得：對應角∠BAC=∠B′A′C′，同時都加上∠CAC′，∠BAC′=∠B′ACCC′為對稱點.對稱軸垂直平分對稱點連線；BCB′C′為對應線段，所在直線的【答案】【誤區(qū)總結】易出錯是沒有正確軸對稱的性質的實質內容易錯點3 易錯典例3：如圖1-2-9，作出△ABC關于直線l的對稱三角形△A′B′C.′【思路導引】圖形的軸對稱實質是關鍵點的對稱，對應點的作圖通常是作垂直并倍長即可易錯4畫出的軸對稱圖形不符合標準或要求易錯典例4：下列圖形中的軸對稱圖形，并找出它們的對稱軸．【答案】如圖1-2-【誤區(qū)總結】本題易錯在把線段看成是一條對稱軸，平行四邊形也是軸對稱圖形易錯點 不能正確地運用軸對稱的性質解決實際問易錯典例5：如圖1-2-13，這是制作的風箏，為了平衡風箏中的兩個三角形關于OC對稱，其中A點的對稱點是點B.已知∠A=35°，∠ACO=30°，那么∠BOC= 【思路導引】觀察圖形可知，圖形中的△ACO和△BCOAOC，由此可確定∠B和∠BOC的度數(shù).180°可求到∠BOC的度數(shù)【答案】基礎經典全析（乘坐智慧快車）題型1 利用軸對稱的性質解出題方向①：利用軸對稱確定最小距離--------“+兩點”14【思路導引】CA、BAC＋BCBBAB′，ABC點?！窘狻緼BB（2）C（如圖所示）出題方向②：利用軸對稱確定最小距離-------“+一點”【題型典例2】如圖1-2-15,牧馬營地在點P處,每天牧馬人要趕著先到草地a上吃草,再到河邊b飲水,最后回b河Pb河P 草 草 上，為此作點P關于直線a的對P1，作點P關于直線b的對稱點P2，分別交直線a,b于點A、B；連接PA、【解】如圖1-2-16,作點P關于直線a的對稱點P1,作點P關于直線b的對稱點P2，連接P1P2，分別交直線a,b于點A,B.連接PA、PB、AB，由軸對稱的性質知，PA=P1A,PB=P2B，所以先到點A處吃草，再到點B處飲水最后【方法】“+一點”出題方向③：利用軸對稱確定最小距離------“+兩點”【題型典例3】如圖1-2-17，角形鐵架∠MON小于60°，A,D分別是OM，ON上的點，為實際設計的需要，需OMONC，BAB+BC+CD最短，問應如何找？ C

【思路導引】要使AB+BC+CD最短，可利用軸對稱的知識，使A，B，C，D四點在一條直線上，將“折線”轉化為“線段”，為此要作點A關于ON的對稱點A1，作點DOM的對稱點D1；連接，分別交OM、ON于點C、B，AB、BC、CD，AB+BC+CD即為所求最短路線?！窘狻?-2-18AONA1,DOMD1,A1D1,OM，ONC,BB,C就是所求的點，AB+BC+CD【方法】“+兩點”出題方向④：利用軸對稱的性質求長方形的周周長為9，△ECF的周長為3，則長方形ABCD的周長為 【思路導引】ABE與AFE關于折痕AEAF=ABEF=EB.所以矩形ABCD的周長為AB+AD+DF+FC+CE+EB=(AF+AD+DF)+(FC+CE+EF)=9+3=1212。【答案】【方法】通過折疊構造了全等的圖形，形成了相等的對應邊與對應角出題方向⑤：利用軸對稱的性質證明線段之間的關【題型典例5】如圖1-2-20，正六邊形ABCDEF關于直線l的軸對稱圖形是六邊形A′B′C′D′E′F′，下列判斷錯誤 C．直線 【思路導引】由圖形可知：AABA′B′AB=A′B′A是正確的；BB、C、D、BB’lC是正確的．DABCDEFlA′B′C′D′E′F′;所以六A′B′C′D′E′F′也是正六邊形，則∠A′=120°DB．【答案【規(guī)律】關于某條直線對稱的兩個圖形是全等圖形，其對應角相等，對應線段的長度也相等出題方向⑥：利用軸對稱的性質求陰影部分的 B、 C、 EFEF 【思路導引】AD=2【答案】

BC=3，AD

=4，S△ABC1BCAD=12AB2AB2【規(guī)律】本題通過觀察可以發(fā)現(xiàn)是軸對稱圖形，且陰影部分的面積為全面積的一半，根據(jù)軸對稱圖形的性質求BEFEFAD對稱，面積相等是解決本題的關鍵．題型2 出題方向①：網(wǎng)格中的軸對【解】此題答案不唯一，只要在方格內添的二個正方形使整個圖形是對稱圖形即可 出題方向②：點陣圖中的軸對方形又剛好一個小方形，故陰影部分的面積為兩個完整大陰影方形的面積和，所以S陰=2×32=64．【解】1-2-25lS陰出題方向③：利用軸對稱的性質補全圖【題型典例9】1-2-26lA、B、C、DlA′、B’′、C′、D′，從而得到圖形；題型 折疊問出題方向①：利用折疊前后兩圖形成軸對稱求角的度【題型典例10】1-2-28ABCDDBCC′EF 度此可求出∠BEF的度數(shù)，即可得解．【解Rt△ABE中，∠ABE=20°，所以∠AEB=70°；出題方向②：利用折疊前后兩圖形成軸對稱判斷線段之間的關為AE,再將△AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F，則CF的長為（ F FEEC EEC 【思路AD=DE,△ADECEFCE=CF=8-6=2【答案【總結】本題考查翻折問題，折疊后圖形是全等的，存在相等的線段和相等的角綜合創(chuàng)新探題型 實際應 求最短距離問【題型典例12】唐朝詩人的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含1-2-30ACB點宿【題眼直擊】軸對稱的性質、線段、應用對稱點A′，連結A′B，與河岸線相交于點CC點就是飲馬的地方，將軍只要從點A出發(fā)，沿直線走到C，飲CB，所走的路程就是最短的．【解】1-2-31題型5一題多解 利用軸對稱的性質確定對稱【題型典例13】1-2-32，△EFG與△ABC【題眼直擊】軸對稱的性質、對稱軸、作圖【解】1-2-32C、GA、ECG、AEM、NMN就是所1-2-33C、GCGMNMN1-2-35BC、FGMBA、FENMN題型 操作型探究【題型典例14】和利用上學過的知識來進行臺球比賽把放在如圖1-2-36所示的位置，想通過擊打撞擊黑球，使黑球撞ACF洞；想想看這樣擊打，黑球能進F洞嗎？請用畫圖的方法驗證你的判斷，并說明理由.1-2-（2）想通過擊打撞擊黑球使黑球至多撞臺球桌邊一次后進A洞請你猜想有幾種方案？并238.ACF洞.而對于第（2）題則有多種方法.擊球入洞需要對每一桿的角度進行適當?shù)墓浪?，?F洞.①不擊臺球桌邊，直接用撞擊黑球；②通過擊CF邊反彈再撞擊黑球進A洞；③用撞擊DF邊反彈【解】如圖1-2-37（1）如圖①，將與黑球視為兩點，過這兩點畫直線交臺球桌邊AC于M，過點M作法MN⊥ACMN右側∠F′MN＝∠PMNMF′FF洞.方案1：如圖②，視、黑球為兩點P，G，使A、G、P在同一直線上GKCFA洞3ADMMD=ADGMDFNGN方向用撞擊黑球經反彈后可進入A洞. 圖 圖

7軸對稱的性質【題型典例138（1（2的對應點所具有的性質是（）A．對應點連線與對稱軸垂直B．對應點連線被對稱軸平分C．對應點連線被對稱軸垂直平分D．對應點連線互相平行【題眼直擊】軸對稱的性質，滑動對稱變換，軸對稱變換，平移變換，遷移垂直的一定不正確，A、C是錯誤的；對應點連線是不可能平行的，D是錯誤的；找對應點的位置關系可得：對B．【答案】對應線段平行且相等，對應角相等及軸對稱的性質；按要求畫出圖形是正確解答本題的關鍵．8軸對稱的性質巧解光路【題型典例16】1-2-39所示，OA、O′A′SS【題眼直擊】鏡面對稱對SS'直接發(fā)出的光線?！窘狻孔鞣ǎ?．延長AO、A′O′，它們相交于點【總結】本題用軸對稱知識解決了光的反射問題，本題也可以作出鏡面線的垂線OC，O′C′，再作出OA關于OC對稱的圖形OB及O′A′關于O′C′對稱的圖形O′B′，OB與O′B′交點處即為發(fā)光點S，不過這樣作更備戰(zhàn)中中考解讀考法一利用折疊前后兩圖形成軸對稱求三角形的周邊于點D，交AC邊與點E，連接AD，若AE＝4cm，則△ABD的周長是 【思路導引】由圖形和題意可知AD＝DC，AE＝CE＝4，AB＋BC＝22，△ABD的周長【答案】【中考變式練】1.1-2-42，等邊△ABC1cm，D、EAB、AC上的點，將△ADE折疊，點A落在點A′處，且點A′在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長 （2011·蘇州一中模擬·11題·3分【答案】BC＋BD＋CE＋A′D＋A′E＝BC＋BD＋CE＋AD＋AE＝BC＋AB＋AC＝3cm．考法二利用軸對稱的性質求數(shù)軸上的點對應【中考典例2】A、B1-2-43BACC（2011·樂山中考·13題·3分【思路導引】BACAB＝AC，AB＝4A4CC【答案】【中考變式練】2.如圖1-2-46，數(shù)軸上表示1，1.4的對應點分別為A，B，點B關于點A的對稱點為C，則點C所表示的數(shù)是（ 00？1 【答案】

（2011·鹽城中學模擬改編·10題·3分【思路導引】首先根據(jù)數(shù)軸上表示1，1.4的對應點分別為A，B可以求出線段AB的長度，然后由AB=AC利用兩點間的距離便可解答．即：因為數(shù)軸上表示1，1.4的對應點分別為A，B，所以AB=0.4，因為點B關于點ACAC=ABC的坐標為：1﹣（1.4﹣1）=0.6C．考法三利用軸對稱的性質求角的【中考典例3】如圖1-2-45，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，則 lCC

和定理可得出∠B的度數(shù)．即：因為△ABC與△A′B′C′l對稱，【答案】 處，點D落在點D1處，若∠1＝40°，則∠BMC的度數(shù) B 【答案】【思路導引】由折疊可知∠AMB＝1∠AMA，∠DMC＝1∠DMD，因為∠1＝40°，所以∠AMB＋∠DMC＝ ∠AMA1∠DMD＝1×140°＝70°，所以∠BMC 考法 在網(wǎng)格中作關于一條直線成軸對稱的圖【中考典例4】1-2-47【解【總結】根據(jù)軸對稱圖形的定義采用模擬折疊的方法來設計圖案【中考變式練】.12922角形經過軸對稱變換后得到的圖形，且所畫三角形頂點與方格中的小正方形頂點重合，并將所畫三角形涂上陰（）【答案】如圖1-2-（1（2） （2011·葫蘆島中考·8題·2分）(知識3題型2如圖1-2-52，把等腰直角△ABC沿BD折疊，使點A落在邊BC上的點E處．下面結論錯誤的是 A、 B、 C、 (知識21-2-53ABCD9MNBCDB′對應點為A′，且B′C=3，則AM的長是 B、 C、 (知識2如圖1-2-54所示將矩形紙片ABCD折疊使點D與點B重合點C落在點C處折痕為EF那么∠ABE的度數(shù)為（

FA F

（2011·昭通中考·8題·3分）(知識23在一張透明的紙上畫一條線段，把紙折疊使線段兩端點重合，則折痕與線段的交點就是線段的(知識13則△PMN的周長為＿＿＿. MP ND1-2-(知識211-2-563×3的正方形格點圖中，有格點△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF關于某直線成軸對稱，4個這樣的△DEF．(知識321-2-57l(知識321-2-58，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°ACBA′CD∠A(知識211-2-59，Rt△AFCRt△AEB （填序號選個你比較喜歡的結論加以說明能力突

(知識21

（2011·濱州中考·17題·4分）(知識2題型31-2-61AB＝2a(a＞0)，MABl1⊥ABAl2⊥ABM，點Pl1左側一點，Pl1b(a＜b＜2a).Pl1P1PP1P2P2、P1l2PP2AB有何位置關系和數(shù)量關系？請說明理由1-2-(知識26如圖1-2-62，已知甲、乙、丙三人做接力游戲，開始時,甲站在∠AOB內的P乙站在OA上，丙站在OB邊上，游戲規(guī)則：甲將接力棒傳給乙，乙將接力棒傳給丙，最后丙跑至終點P處。如果三人速度相同，試作圖(知識34(知識241-2-64，甲、乙兩個單位分別位于一條封閉式街道的兩旁，現(xiàn)準備合作修建一座過街天橋.（注意：橋(知識3答案【答案】【思路導引】按圖形所示的步驟進行操作與剪切最后展開得到D，故選【答案】是等腰直角三角形，EC=DE，CD＞DED正確，BB．【答案】【思路導引】1-2-65BM，MB′CB′=3DB′=6Rt△ABMRt△MDB′中由勾股定理求得2+（9﹣3）2，解得AM=2．故選【答案】【思路導引】BC′FE中，由四邊形的內角和可知∠BEF=55o，根據(jù)軸對稱的性質可知∠AEB=180o-BEF=180o－110o=70o，即∠ABE=20o.故選【答案】中【思路導引】折痕相當于對稱點所連線