蘇教版-必修三-第三章 概率-3.3 幾何概型 省賽一等獎(jiǎng)

《幾何概型》教學(xué)設(shè)計(jì)一、學(xué)習(xí)要求1．了解幾何概型的概念及基本特點(diǎn)；2．熟練掌握幾何概型的概率公式；3．正確判別古典概型與幾何概型,會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何概率計(jì)算．二、課堂互動(dòng)（一）自學(xué)評(píng)價(jià)試驗(yàn)1．取一根長(zhǎng)度為的繩子，拉直后在任意位置剪斷．剪得兩段的長(zhǎng)都不小于的概率有多大？試驗(yàn)2．射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán)．從外向內(nèi)為白色，黑色，藍(lán)色，紅色，靶心是金色．金色靶心叫＂黃心＂．奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為，靶心直徑為．運(yùn)動(dòng)員在外射箭．假設(shè)射箭都能射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)都是等可能的．射中黃心的概率為多少？分析：第一個(gè)試驗(yàn)，從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件，剪斷位置可以是長(zhǎng)度為的繩子上的任意一點(diǎn)．第二個(gè)試驗(yàn)中，射中靶面上每一點(diǎn)都是一個(gè)基本事件，這一點(diǎn)可以是靶面直徑為的大圓內(nèi)的任意一點(diǎn)．在這兩個(gè)問(wèn)題中，基本事件有無(wú)限多個(gè)，雖然類似于古典概型的＂等可能性＂，但是顯然不能用古典概型的方法求解．解：實(shí)驗(yàn)1中，如下圖，記＂剪得兩段的長(zhǎng)都不小于＂為事件．把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)，事件發(fā)生．由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩長(zhǎng)的，于是事件發(fā)生的概率．實(shí)驗(yàn)2中，如下圖，記＂射中黃心＂為事件，由于中靶心隨機(jī)地落在面積為的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為的黃心內(nèi)時(shí)，事件發(fā)生，于是事件發(fā)生的概率為．小結(jié)：幾何概型的概念：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)．這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等．用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型．幾何概型的基本特點(diǎn)：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)；（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件＂該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域內(nèi)＂為事件，則事件發(fā)生的概率．說(shuō)明：（1）的測(cè)度不為；（2）其中＂測(cè)度＂的意義依確定，當(dāng)分別是線段，平面圖形，立體圖形時(shí)，相應(yīng)的＂測(cè)度＂分別是長(zhǎng)度，面積和體積．（3）區(qū)域?yàn)椋㈤_區(qū)域＂；（4）區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測(cè)度成正比而與其形狀位置無(wú)關(guān)．（二）精典范例例1．判斷下列試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是古典概型，還是幾何概型．（1）拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率；（2）如圖所示，圖中有一個(gè)12等分的圓盤，甲乙兩人玩游戲，向圓盤投擲可視為質(zhì)點(diǎn)的骰子，規(guī)定當(dāng)骰子落在陰影區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率．分析：本題考查的幾何概型與古典概型的特點(diǎn)，古典概型具有有限性和等可能性．而幾何概型則是在試驗(yàn)中出現(xiàn)無(wú)限多個(gè)結(jié)果，且與事件的區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)．解：（1）拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6×6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；（2）游戲中骰子落在陰影區(qū)域時(shí)有無(wú)限多個(gè)結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“骰子落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來(lái)衡量，即與區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)，因此屬于幾何概型．例2．取一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形及其內(nèi)切圓（如右圖），隨機(jī)向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率．（＂測(cè)度＂為面積）分析：由于是隨機(jī)丟豆子，故可認(rèn)為豆子落入正方形內(nèi)任一點(diǎn)的機(jī)會(huì)都是均等的，于是豆子落入圓中的概率應(yīng)等于圓面積與正方形面積的比．解：記＂豆子落入圓內(nèi)＂為事件，則．答：豆子落入圓內(nèi)的概率為．三、思維點(diǎn)拔1．幾何概型的意義也可以這樣理解：向區(qū)域G中任意投擲一個(gè)點(diǎn)M，點(diǎn)M落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率P定義為：g的度量與G的度量之比，即：．2．我們可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)計(jì)算圓周率的近似值．實(shí)驗(yàn)如下：向如圖所示的圓內(nèi)投擲個(gè)質(zhì)點(diǎn)，計(jì)算圓的內(nèi)接正方形中的質(zhì)點(diǎn)數(shù)為，由幾何概型公式可知：，即．四、追蹤訓(xùn)練1．求例1中（2）的概率．解：由例1（2）分析可知：．2．若,則點(diǎn)在圓面內(nèi)的概率