2022北京北師大二附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試題及答案

第1頁/共1頁2022北京北師大二附中高二（下）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（共10小題；共40分）1.若一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)依次為6，18，54，則此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為A. B. C. D.2.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（）A.15 B.16 C.17 D.183.設(shè)10件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中抽取5件，則表示（）A.5件產(chǎn)品中有3件次品的概率 B.5件產(chǎn)品中有2件次品的概率C.5件產(chǎn)品中有2件正品的概率 D.5件產(chǎn)品中至少有2件次品的概率4.將一枚均勻硬幣隨機(jī)擲3次，恰好出現(xiàn)2次正面向上的概率為（）A B. C. D.5.設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=i)=a,i=1,2,3,則a的值為A.1 B.C. D.6.如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是()A. B. C. D.7.若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的前2022項(xiàng)的乘積是（）A. B. C.2 D.18.已知是等比數(shù)列，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.等比數(shù)列中，，，函數(shù)，則A B. C. D.10.若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列且滿足,則稱成一個(gè)“等差數(shù)列”.已知集合,則由中的三個(gè)元素組成的所有數(shù)列中,“等差數(shù)列”的個(gè)數(shù)為A. B. C. D.二、填空題（共5小題；共25分）11.已知函數(shù)，且，那么的值為_____．12.已知等差數(shù)列，，，則______．13.已知等比數(shù)列滿足且，則________.14.數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測(cè)，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是______________15.有名同學(xué)在玩一個(gè)數(shù)字哈哈鏡游戲，這些同學(xué)編號(hào)依次為：1，2，…，，在游戲中，除規(guī)定第位同學(xué)看到像用數(shù)對(duì)（其中）表示外，還規(guī)定：若編號(hào)為的同學(xué)看到的像為，則編號(hào)為的同學(xué)看到的像為，，已知編號(hào)為1的同學(xué)看到的像為，則編號(hào)為5的同學(xué)看到的像是______，編號(hào)為的同學(xué)看到的像為______．三、解答題（共6小題；共85分）16.已知函數(shù).（1）求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）求這個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程.17.已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足_______請(qǐng)你從①，；②；③，中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答．（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式：（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值．18.在某年級(jí)的聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有4個(gè)紅球和4個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出3個(gè)球，表示摸出紅球的個(gè)數(shù).（1）求的分布列；(用數(shù)字作答)（2）至少摸到2個(gè)紅球就中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率.(用數(shù)字作答)19.某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個(gè)數(shù)10304020（1）若將頻率視為概率，從這個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取個(gè)，求恰好有個(gè)水果是禮品果的概率.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）（2）用樣本估計(jì)總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考.方案：不分類賣出，單價(jià)為元.方案：分類賣出，分類后的水果售價(jià)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果售價(jià)(元/kg）16182224從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？（3）用分層抽樣的方法從這個(gè)水果中抽取個(gè)，再從抽取的個(gè)水果中隨機(jī)抽取個(gè)，表示抽取的是精品果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.20.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求的解析式；（2）證明曲線上任一點(diǎn)處切線與直線和直線所圍成的三角形的面積為定值．21.已知項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足條件：①；②；若數(shù)列滿足，則稱為數(shù)列的“關(guān)聯(lián)數(shù)列.（1）數(shù)列1，5，9，13，17是否存在“關(guān)聯(lián)數(shù)列”？若存在，寫出其“關(guān)聯(lián)數(shù)列”，若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）若數(shù)列存在“關(guān)聯(lián)數(shù)列”，證明：；（3）已知數(shù)列存在“關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且，，求數(shù)列項(xiàng)數(shù)m的最小值與最大值.

參考答案一、選擇題（共10小題；共40分）1.【答案】C【解析】【分析】，，，可以歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】依題意，，，，所以此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要考查歸納法得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】A【解析】【分析】利用得出數(shù)列的通項(xiàng)，然后求解.【詳解】由得，，，所以，所以，故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，較簡單，利用求解即可.3.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)古典概率的計(jì)算方法，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一計(jì)算判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A.5件產(chǎn)品中有3件次品的概率,故選項(xiàng)A不正確.選項(xiàng)B.5件產(chǎn)品中有2件次品的概率,故選項(xiàng)B不正確.選項(xiàng)C.5件產(chǎn)品中有2件正品的概率,故選項(xiàng)C不正確.選項(xiàng)D.5件產(chǎn)品中至少有2件次品的概率,故選項(xiàng)D不正確.故選：B4.【答案】C【解析】【分析】先求事件發(fā)生的總可能情況數(shù)，再求問題的事件發(fā)生情況數(shù)，兩者比值即為所求.【詳解】拋擲硬幣3次所有可能結(jié)果為種，其中恰好出現(xiàn)2次正面向上的事件有種，據(jù)此可得恰好出現(xiàn)2次正面向上的概率為：.故選：C.5.【答案】C【解析】【分析】利用離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】∵設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P（ξ＝i）＝a?（）i，i＝1，2，3，∴a＝1，解得a＝．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的運(yùn)用，屬于簡單題．6.【答案】D【解析】【詳解】從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個(gè)函數(shù)在處斜率相同，可以排除B答案，再者導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)的斜率大小，可明顯看出y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的值在減小，所以原函數(shù)應(yīng)該斜率慢慢變小，排除AC，最后就只有答案D了，可以驗(yàn)證y=g(x)．7.【答案】A【解析】【分析】由，可進(jìn)行遞推得到，再將與的關(guān)系帶入即可得到，然后再遞推一項(xiàng)即可得到數(shù)列是周期為4的一個(gè)周期數(shù)列，然后計(jì)算，，，先計(jì)算，然后再求前2022項(xiàng)的乘積即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，周期為4的一個(gè)周期數(shù)列，因?yàn)椋?，，，所以，所?故選：A.8.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞增數(shù)列的定義并結(jié)合對(duì)項(xiàng)取值，可得結(jié)果【詳解】由數(shù)列是等比數(shù)列，可假設(shè)，則，可知，但數(shù)列不是遞增數(shù)列，若數(shù)列是遞增數(shù)列，由定義可知，，故“”是“是遞增數(shù)列”的必要不充分條件故選：B【點(diǎn)睛】本題考查充分、必要條件的定義，同時(shí)還考查了等比數(shù)列的單調(diào)性，巧取特殊值，快速解決問題，屬基礎(chǔ)題.9.【答案】C【解析】【分析】將函數(shù)看做與的乘積，利用乘法運(yùn)算的求導(dǎo)法則，代入可求得；根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】又本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中的乘法運(yùn)算法則的應(yīng)用，涉及到等比數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)⒑瘮?shù)拆解為合適的兩個(gè)部分，從而求解導(dǎo)數(shù)值時(shí)直接構(gòu)造出數(shù)列各項(xiàng)之間的關(guān)系.10.【答案】B【解析】【分析】首先要確定構(gòu)成“等差數(shù)列”的三個(gè)數(shù)的內(nèi)在關(guān)系，和，結(jié)合所給集合找出符合條件的數(shù)組有50組．【詳解】由三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列且滿足，知消去，并整理得，所以（舍去），，于是有．在集合中，三個(gè)元素組成的所有數(shù)列必為整數(shù)列，所以必為2的被數(shù)，且，故這樣的數(shù)組共50組．答案選B．【點(diǎn)睛】此題屬于新情境問題，這類問題關(guān)鍵是要從問題情境中尋找“重要信息”，研究對(duì)象的本質(zhì)特征，如本題中能構(gòu)成“等差數(shù)列”的三個(gè)數(shù)的內(nèi)在關(guān)系，和，這種明確數(shù)量關(guān)系（數(shù)量化的特征）是解決問題的關(guān)鍵，將地應(yīng)用于新情境，即可達(dá)到解決問題的目的．這實(shí)質(zhì)上是屬于數(shù)學(xué)建模問題，一般考查較深刻，綜合性強(qiáng)，難度略大，除要有相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)能力外，還應(yīng)耐心讀題，仔細(xì)思考，增強(qiáng)信心，以應(yīng)對(duì)此類問題．二、填空題（共5小題；共25分）11.【答案】3【解析】【分析】求導(dǎo)得，進(jìn)而由可得結(jié)果.【詳解】由得，則，解得.故答案為：3.12.【答案】-88【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式直接計(jì)算即可.【詳解】由題意得，等差數(shù)列中，所以.故答案為：-88.13.【答案】【解析】【分析】由得，再求出.【詳解】因?yàn)?，所?故由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得.故答案為：14.【答案】【解析】【詳解】由超幾何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：.點(diǎn)睛：超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．15.【答案】①.②.【解析】【分析】由已知，設(shè)編號(hào)為的同學(xué)看到的像為，根據(jù)和使用累加法先求解出，然后再計(jì)算，再令，計(jì)算編號(hào)為5的同學(xué)看到的像即可完成求解.【詳解】設(shè)編號(hào)為的同學(xué)看到的像為，由題意可得，，所以，，，，且，，，，所以，又因?yàn)椋?，而，所以，所以?dāng)時(shí)，，，即編號(hào)為5的同學(xué)看到的像是，編號(hào)為的同學(xué)看到的像為.故答案為：；.三、解答題（共6小題；共85分）16.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可求得原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）求出切點(diǎn)坐標(biāo)與切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.【詳解】（1）因?yàn)?，則；（2）所求切線斜率為，當(dāng)時(shí)，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.17.【答案】（1）若選①.；若選②.；若選③.（2）若選①.的最大值為7；若選②.的最大值為6；若選③.的最大值為100【解析】【分析】（1）若選①可得是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，從而得出通項(xiàng)公式；若選②.先求出首項(xiàng)，然后由遞推關(guān)系得出，從而可得為等比數(shù)列，得出答案；若選③.由遞推關(guān)系可得，結(jié)合條件可得出為常數(shù)列，從而得出答案.（2）根據(jù)（1）中選擇的條件得出的通項(xiàng)公式，求出，結(jié)合通過解不等式可得答案.【小問1詳解】若選①.由，即，則是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.所以若選②.由，則當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，由，則由兩式相減可得：所以是以1為首項(xiàng)公比為2的等比數(shù)列.則若選③.由，則，所以由，則所以為常數(shù)列，且【小問2詳解】若選①.由，即，解得所以的最大值為7.若選②.由，即，解得所以的最大值為6.若選③.由，則由，即，所以的最大值為100.18.【答案】（1）分布列答案見解析.（2）【解析】【分析】（1）由題意可知可取值為：0，1，2，3，由組合數(shù)公式分別求出其對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可；（2）至少摸到2個(gè)紅球，則可以摸到2個(gè)紅球或者摸到3個(gè)紅球，根據(jù)（1）中分布列讀出，相加即可.【詳解】（1）的取值為0，1，2，3，則，，，.∴的分布列為：0123（2）中獎(jiǎng)的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生求簡單隨機(jī)事件的分布列問題，并能根據(jù)分布列求隨機(jī)事件的概率，考查了學(xué)生運(yùn)用組合數(shù)處理相關(guān)問題的概率，為容易題19.【答案】（1）；（2）第一種方案；（3）詳見解析【解析】【分析】（1）計(jì)算出從個(gè)水果中隨機(jī)抽取一個(gè)，抽到禮品果的概率；則可利用二項(xiàng)分布的概率公式求得所求概率；（2）計(jì)算出方案單價(jià)的數(shù)學(xué)期望，與方案的單價(jià)比較，選擇單價(jià)較低的方案；（3）根據(jù)分層抽樣原則確定抽取的個(gè)水果中，精品果個(gè)，非精品果個(gè)；則服從超幾何分布，利用超幾何分布的概率計(jì)算公式可得到每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列；再利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)從個(gè)水果中隨機(jī)抽取一個(gè)，抽到禮品果的事件為，則現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取個(gè)，設(shè)抽到禮品果的個(gè)數(shù)為，則恰好抽到個(gè)禮品果的概率為：（2）設(shè)方案的單價(jià)為，則單價(jià)的期望值為：從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用第一種方案（3）用分層抽樣的方法從個(gè)水果中抽取個(gè)，則其中精品果個(gè)，非精品果個(gè)現(xiàn)從中抽取個(gè)，則精品果的數(shù)量服從超幾何分布，所有可能的取值為：則；；；的分布列如下：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布求解概率、數(shù)學(xué)期望的實(shí)際應(yīng)用、超幾何分布的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)抽取方式確定隨機(jī)變量所服從的分布類型，從而可利用對(duì)應(yīng)的概率公式求解出概率.20.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于、的方程組，結(jié)合、為整數(shù)可求得、的值，即可求得函數(shù)的解析式；（2）在曲線上任取一點(diǎn)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出切線在處的切線方程，求出該切線與直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并求出直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】解：因?yàn)椋瑒t，由已知可得，解得，因此，.【小問2詳解】證明：函數(shù)的定義域?yàn)?，在曲線上任取一點(diǎn)，其中，，所以，曲線在處的切線方程為，聯(lián)立可得，所以，直線與切線交于點(diǎn)，聯(lián)立可得，所以，直線與切線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，則，所以，.21.【答案】（1）存在關(guān)聯(lián)數(shù)列：，10，9，8，7，理由見詳解；（2）證明見詳解；（3）m的最小值與