第二節(jié)二重積分

第二節(jié)二重積分第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三一、利用直角坐標計算二重積分且在D上連續(xù)時,由曲頂柱體體積的計算可知,若D為X–型區(qū)域

則若D為Y–型區(qū)域則機動目錄上頁下頁返回結束第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三當被積函數均非負在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于機動目錄上頁下頁返回結束第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則機動目錄上頁下頁返回結束第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例1.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X–型區(qū)域,則解法2.將D看作Y–型區(qū)域,

則機動目錄上頁下頁返回結束第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則機動目錄上頁下頁返回結束第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例3.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數可知,因此取D為X–型域:先對x積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.機動目錄上頁下頁返回結束第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例4.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則機動目錄上頁下頁返回結束第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例5.

計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,機動目錄上頁下頁返回結束第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三對應有二、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下,用同心圓r=常數則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內取點及射線

=常數,分劃區(qū)域D為機動目錄上頁下頁返回結束第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三即機動目錄上頁下頁返回結束第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三設則特別,對機動目錄上頁下頁返回結束第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點,試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)機動目錄上頁下頁返回結束第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例6.計算其中解:在極坐標系下原式的原函數不是初等函數,故本題無法用直角由于故坐標計算.機動目錄上頁下頁返回結束第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三注:利用例6可得到一個在概率論與數理統計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當D為R2時,利用例6的結果,得①故①式成立.機動目錄上頁下頁返回結束第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例7.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.解:設由對稱性可知機動目錄上頁下頁返回結束第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三定積分換元法*三、二重積分換元法

滿足一階導數連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應的,機動目錄上頁下頁返回結束第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三證:根據定理條件可知變換T可逆.

用平行于坐標軸的直線分割區(qū)域任取其中一個小矩形,其頂點為通過變換T,在xoy面上得到一個四邊形,其對應頂點為則機動目錄上頁下頁返回結束第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三同理得當h,k充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為機動目錄上頁下頁返回結束第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標轉化為極坐標時,機動目錄上頁下頁返回結束第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例8.

計算其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.解:令則機動目錄上頁下頁返回結束第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例9.計算由所圍成的閉區(qū)域D的面積S.解:令則機動目錄上頁下頁返回結束第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例10.

試計算橢球體解:由對稱性令則D的原象為的體積V.機動目錄上頁下頁返回結束第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三內容小結(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則機動目錄上頁下頁返回結束第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三則(2)一般換元公式且則極坐標系情形:若積分區(qū)域為在變換下機動目錄上頁下頁返回結束第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三(3)計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對稱性應用換元公式機動目錄上頁下頁返回結束第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三思考與練習1.設且求提示:交換積分順序后,x,y互換機動目錄上頁下頁返回結束第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.交換積分順序提示:積分域如圖機動目錄上頁下頁返回結束第28頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三作業(yè)P951(2),(4);2(3),(4);5;6(2),(4);

11(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);

15(1),(4);

*19(1);

*20(2)

第三節(jié)目錄上頁下頁返回結束第29頁，共31頁，2023年，2