第五章測量誤差的基礎(chǔ)知識

第五章測量誤差的基礎(chǔ)知識第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

測量實踐中可以發(fā)現(xiàn)，測量結(jié)果不可避免的存在誤差，比如：1、對同一量多次觀測，其觀測值不相同。2、觀測值之和不等于理論值： 三角形α+β+γ≠180°

閉合水準(zhǔn)∑h≠0第一節(jié)測量誤差概述第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三一、測量誤差的來源

等精度觀測：觀測條件相同的各次觀測。不等精度觀測：觀測條件不相同的各次觀測。1.儀器誤差2.觀測誤差3.外界條件的影響觀測條件粗差：因讀錯、記錯、測錯造成的錯誤。第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三二、測量誤差的分類

在相同的觀測條件下，無論在個體和群體上，呈現(xiàn)出以下特性：誤差的絕對值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；誤差的正負(fù)號保持不變，或按一定的規(guī)律變化；誤差的絕對值隨著單一觀測值的倍數(shù)而積累。1、系統(tǒng)誤差—

誤差的大小、符號相同或按一定的規(guī)律變化。第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

例：鋼尺—尺長、溫度、傾斜改正水準(zhǔn)儀—

i角經(jīng)緯儀—

2c值

注意：系統(tǒng)誤差具有累積性，對測量成果影響較大。消除和削弱的方法:

（1）用計算方法加以改正；（2）用一定的觀測方法加以消除；（3）將系統(tǒng)誤差限制在允許范圍內(nèi)。第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

在相同的觀測條件下，對某個固定量作一系列的觀測，如果觀測結(jié)果的差異在正負(fù)號及數(shù)值上，都沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即沒有任何規(guī)律性，這類誤差稱為偶然誤差。2、偶然誤差第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

偶然誤差的特性真誤差觀測值與理論值之差第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三③絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等，可相互抵消；(對稱性)④同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測次數(shù)的增加而趨近于零，即：

①在一定的條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度;（有界性）②絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會要多；（密集性、區(qū)間性）（抵償性）數(shù)學(xué)期望第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三偶然誤差的分布曲線

是標(biāo)準(zhǔn)差+-f()第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

誤差處理的原則：1、粗差：舍棄含有粗差的觀測值，并重新進(jìn)行觀測。2、系統(tǒng)誤差：按其產(chǎn)生的原因和規(guī)律加以改正、抵消和削弱。3、偶然誤差：根據(jù)誤差特性合理的處理觀測數(shù)據(jù)減少其影響。返回第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三精度：又稱精密度，指在對某量進(jìn)行多次觀測中，各觀測值之間的離散程度。評定精度的標(biāo)準(zhǔn)

中誤差容許誤差相對誤差第二節(jié)衡量精度的指標(biāo)第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三一、中誤差

定義在相同條件下，對某量（真值為X）進(jìn)行n次獨立觀測，觀測值l1，l2，……，ln，偶然誤差（真誤差）Δ1，Δ2，……，Δn，則中誤差m的定義為：式中第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三式中：例：試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，分別計算各組觀測值的中誤差。第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三解：第一組觀測值的中誤差：第二組觀測值的中誤差：，說明第一組的精度高于第二組的精度。說明：中誤差越小，觀測精度越高第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

定義由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是容許（極限）誤差。二、容許誤差（極限誤差）

測量中通常取2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差；即Δ容=2m或Δ容=3m。極限誤差的作用：

區(qū)別誤差和錯誤的界限。第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三偶然誤差的絕對值大于中誤差9?的有14個，占總數(shù)的35%，絕對值大于兩倍中誤差18?的只有一個，占總數(shù)的2.5%，而絕對值大于三倍中誤差的沒有出現(xiàn)。中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對誤差。第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

相對誤差K是中誤差的絕對值m

與相應(yīng)觀測值D

之比，通常以分母為1的分式來表示，稱其為相對（中）誤差。即:三、相對誤差

一般情況

:角度、高差的誤差用m表示，量距誤差用K表示。第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三[例]

已知：D1=100m,m1=±0.01m，D2=200m,m2=±0.01m，求：K1,K2解：返回第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三概念

闡述觀測值的中誤差與觀測值函數(shù)中誤差的關(guān)系的定律。函數(shù)形式一般函數(shù)線性函數(shù)倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)第三節(jié)誤差傳播定律第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)非線性函數(shù)的一般式為：式中：為獨立觀測值；為獨立觀測值的中誤差。求函數(shù)的全微分，并用“Δ”替代“d”，得1、一般函數(shù)第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三式中：是函數(shù)F對的偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)函數(shù)式與觀測值確定后，它們均為常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)，其中誤差為：誤差傳播定律的一般形式第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三[例]已知：測量斜邊D′=50.00±0.05m，測得傾角α=15°00′00″±30″求：水平距離D解：1.函數(shù)式

2.全微分

3.求中誤差

第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2、線性函數(shù)的誤差傳播定律設(shè)線性函數(shù)為：式中為獨立的直接觀測值，為常數(shù)，相應(yīng)的觀測值的中誤差為。

第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

1.列出觀測值函數(shù)的表達(dá)式：

2.對函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測值真誤差之間的關(guān)系式：式中，是用觀測值代入求得的值。

求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：3、運(yùn)用誤差傳播定律的步驟第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

3、根據(jù)誤差傳播率計算觀測值函數(shù)中誤差：

第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

誤差傳播定的幾個主要公式：函數(shù)名稱函數(shù)式函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)返回第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

設(shè)在相同的觀測條件下對未知量觀測了n次，觀測值為l1、l2……ln，中誤差為m1、m2

…mn，則其算術(shù)平均值（最或是值、似真值）L為：一、求最或是值L第四節(jié)等精度直接觀測值的最可靠值第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

因為

式中，1／n為常數(shù)。由于各獨立觀測值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m。設(shè)平均值的中誤差為mL，則有

二、算術(shù)平均值中誤差mL第28頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

由此可知，算術(shù)平均值的中誤差為觀測值的中誤差的倍。

故第29頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三三、精度評定

第一公式

第二公式

（白塞爾公式）條件：觀測值真值