第八章微分運(yùn)算

第八章微分運(yùn)算第1頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.1極限的計(jì)算Mathematica中使用Limit命令來計(jì)算極限，它總是力求確定極限的準(zhǔn)確值Limit[f[x],x->a]:計(jì)算的值例1計(jì)算

Limit[(x^5-32)/(x^3-8),x->2]Factor[x^5-32]Factor[x^3-8]第2頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.1極限的計(jì)算可以利用Direction選項(xiàng)確定左、右極限的計(jì)算Direction->1:計(jì)算左極限，即x從左邊趨近于aDirection->-1:計(jì)算右極限，即x從右邊趨近于aLimit的默認(rèn)值為Direction->Automatic，除了在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)外，方向?yàn)橛覙O限。對(duì)于非連續(xù)函數(shù)，最好指定Direction，采用默認(rèn)值可能會(huì)得到不正確的結(jié)果第3頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.1極限的計(jì)算例2考慮極限如果沒有選定方向，默認(rèn)計(jì)算右極限Limit[Abs[x]/x,x->0]Limit[Abs[x]/x,x->0,Direction->1]Limit[Abs[x]/x,x->0,Direction->-1]第4頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.1極限的計(jì)算例3Mathematica也可以計(jì)算無窮極限及在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的極限Limit[1/x,x->0,Direction->-1]Limit[1/x,x->0,Direction->1]Limit[(2x^2+3x+4)/(x^2+1),x->Infinity,Direction->-1]第5頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.1極限的計(jì)算例4當(dāng)x趨向某點(diǎn)時(shí)極限不存在，但f(x)有界時(shí)，Limit命令會(huì)返回一個(gè)區(qū)間[{min,max}]，表示值的范圍在此區(qū)間之內(nèi)Limit[Sin[1/x],x->0]Limit[Tan[1/x],x->0]第6頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三習(xí)題解答8.6如果每年支付利息n次，年利率為r，那么p美元在t年后變?yōu)閜(1+r/n)^nt美元，假設(shè)如果連續(xù)計(jì)息（n->infinty）,那么t年后錢數(shù)為多少？Limit[p(1+r/n)^(nt),n->Infinity]第7頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三習(xí)題解答8.7函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為極限利用這個(gè)定義計(jì)算f(x)=Logx+x^5+sinx的導(dǎo)數(shù)f[x_]=Log[x]+x^5+Sin[x];Limit[(f[x+h]-f[x])/h,h->0]第8頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三習(xí)題解答8.8函數(shù)的2階導(dǎo)數(shù)可以用極限計(jì)算得到。利用這個(gè)極限計(jì)算f[x]=lnx+x^5+sinx的2階導(dǎo)數(shù)第9頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三習(xí)題解答利用這個(gè)極限計(jì)算f[x]=lnx+x^5+sinx的2階導(dǎo)數(shù)f[x_]=Log[x]+x^5+Sin[x];Limit[(f[x+h]-2f[x]+f[x-h])/h^2,h->0]第10頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算如果f[x]表示一個(gè)函數(shù)，那么它的導(dǎo)數(shù)表示為f'[x]。高階導(dǎo)數(shù)用f''[x]、f'''[x]...等表示例5f[x_]=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1f'[x]f''[x]f'''[x]第11頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算撇號(hào)也可作用到內(nèi)置函數(shù)上。如果不給出參數(shù)，Mathematica就返回一個(gè)純粹函數(shù)，表示所要求的導(dǎo)數(shù)(有關(guān)純粹函數(shù)見附錄A1)Sqrt'Sqrt'[x]Sqrt''Sqrt''[x]第12頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算用撇號(hào)表示高階導(dǎo)數(shù)并不方便D[f[x],x]：返回f相應(yīng)于變量x的導(dǎo)數(shù)D[f[x],{x,n}]：返回f相應(yīng)于變量x的n階導(dǎo)數(shù)例7D[x^5+x^4+x^3+x^2+x+1,x]D[x^5+x^4+x^3+x^2+x+1,{x,2}]D[x^5+x^4+x^3+x^2+x+1,{x,3}]第13頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算計(jì)算導(dǎo)數(shù)，也可以使用模板上的偏導(dǎo)符號(hào)返回相應(yīng)于x的n階導(dǎo)數(shù)例8D[(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1),{x,3}]第14頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算Derivative[n]是一個(gè)算子，它作用到一個(gè)函數(shù)上，得到一個(gè)新的函數(shù)，即函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)Derivative[n][f]用純粹函數(shù)的形式給出f的n階導(dǎo)數(shù)Derivative[n][f][x]計(jì)算f在x點(diǎn)的n階導(dǎo)數(shù)，x為具體數(shù)或?yàn)榉?hào)在Mathematica內(nèi)部，f'被轉(zhuǎn)化為Derivative[1][f]第15頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算例9f[x_]:=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1;Derivative[1][f]Derivative[1][f][x]第16頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算計(jì)算導(dǎo)數(shù)在特定點(diǎn)的多種方法，注意:=的用法例10f[x_]=(x^2-x+1)^5;f''[1]D[f[x],{x,2}]/.x->1g:=Derivative[2][f]g[1]f[x_]=x^3g[1]第17頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算作為符號(hào)計(jì)算軟件，Mathematica可以方便的進(jìn)行公式推導(dǎo)，包括導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則例11Clear[f,g]D[f[x]+g[x],x]D[f[x]g[x],x]D[f[x]/g[x],x]//TogetherD[f[g[x]],x]第18頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算例12證明函數(shù)f[x]=(x^3+2x^2+15x+2)Sin[Pix]在區(qū)間[0,1]上滿足羅爾定理，求出定理中所聲稱的點(diǎn)cf[x_]=(x^3+2x^2+15x+2)Sin[Pix]f[0]f[1]FindRoot[f'[c]==0,{c,0.5}]Plot[{f[x],f[.640241]},{x,0,1}]第19頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三中值定理令f為有限閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并在開區(qū)間(a,b)上可微，則存在一個(gè)數(shù)c，介于a與b之間，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)羅爾定理與中指定理都保證至少存在一個(gè)數(shù)c，實(shí)際中可能存在滿足條件的多個(gè)數(shù)第20頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三中值定理例13對(duì)于函數(shù)f[x_]=Sqrt[x]+Sin[2Pix]，求出使得中值定理在區(qū)間[0,2]上成立的c值f[x_]=Sqrt[x]+Sin[2Pix]a=0;b=2;m=(f[b]-f[a])/(b-a);Plot[f'[x]-m,{x,0,2},PlotRange->{-8,8}]第21頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三中值定理FindRoot[f'[c]==m,{c,.3}]FindRoot[f'[c]==m,{c,.7}]FindRoot[f'[c]==m,{c,1.3}]FindRoot[f'[c]==m,{c,1.7}]第22頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三習(xí)題解答8.11在同一坐標(biāo)系中繪出f(x)=x^4-50x^2+300及其導(dǎo)數(shù)在-10<=x<=10上的圖形<<Graphics`Legend`f[x_]=x^4-50x^2+300;Plot[{f[x],f'[x]},{x,-10,10},PlotStyle->{GrayLevel[0],Dashing[{.015}]},PlotLegend->{"f[x]","f'[x]"}];第23頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三習(xí)題解答8.12給定函數(shù)f(x)，其圖形為C，C在點(diǎn)a的切線斜率為f'(a)。令f(x)=sinx，畫出函數(shù)圖像及其在a=PI/3處的切線.過點(diǎn)(x1,y1)，斜率為m的直線方程為y-y1=m(x-x1)或y=y1+m(x-x1)切線斜率為m=f'(a)，切線方程為y=f(a)+f'(a)(x-a)第24頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三習(xí)題解答8.12給定函數(shù)f(x)，其圖形為C，C在點(diǎn)a的切線斜率為f'(a)。令f(x)=sinx，畫出函數(shù)圖像及其在a=PI/3處的切線.f[x_]=Sin[x];a=Pi/3;l[x_]=f[a]+f'[a](x-a);Plot[{f[x],l[x]},{x,0,2Pi}];第25頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值稱函數(shù)f在區(qū)間I中c點(diǎn)達(dá)到絕對(duì)最大值，指對(duì)I中所有點(diǎn)x，f(c)>=f(x)成立，即f(c)是f(x)在I上的最大值。最小值可類似定義最值定理：如果f為有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則f在這個(gè)區(qū)間既具有絕對(duì)最大值，也具有絕對(duì)最小值注意：最值是全局性的概念，極值是局部性概念第26頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值如果函數(shù)在有界閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則其最大值和最小值出現(xiàn)在駐點(diǎn)或者區(qū)間端點(diǎn)求最大值和最小值的步驟(1).求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);(2).求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小，哪個(gè)大哪個(gè)就是最大值，哪個(gè)小哪個(gè)就是最小值第27頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值例14計(jì)算函數(shù)f[x_]=x^4-4x^3+2x^2+4x+2在區(qū)間[0，4]上的絕對(duì)最大值和最小值。首先求其臨界點(diǎn)f[x_]=x^4-4x^3+2x^2+4x+2;Solve[f'[x]==0]c1=0;c2=1;c3=1+Sqrt[2];c4=4;pointstocheck={{c1,f[c1]},{c2,f[c2]},{c3,f[c3]},{c4,f[c4]}}//ExpandTableForm[pointstocheck,TableHeadings->{None,{"x","f[x]"}}]第28頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值例15一根線長(zhǎng)100英寸，要用它構(gòu)成一個(gè)正方形和一個(gè)圓形。請(qǐng)問如何分配，才能使它所圍成的圖形面積和a)最大；b)最小設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，圓的半徑為r兩個(gè)形狀的組合面積為A(x)=x^2+Pir^2圓的周長(zhǎng)為2Pir，正方形周長(zhǎng)為4x4x+2Pir=1000<=x<=25還有其它設(shè)置變量的形式嗎？書上為什么要這樣處理？第29頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值Clear[a]Solve[4x+2Pir==100,r](*從周長(zhǎng)的約束中解出r關(guān)于x的表達(dá)式，*)a[x_]=x^2+Pir^2/.r->-2(-25+x)/Pi(*定義面積函數(shù)a，自變量統(tǒng)一為x*)Solve[a'[x]==0](*求出臨界點(diǎn)*)x1=0;x2=100/(4+Pi)x3=25第30頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值pointstocheck={{x1,a[x1],N[a[x1]]},{x2,a[x2],N[a[x2]]},{x3,a[x3],N[a[x3]]}}//Together;TableForm[pointstocheck,TableHeadings->{None,{"x","a[x]","N[a[x]]"}}](*列表給出駐點(diǎn)處的面積值*)Sign[a''[100/(4+Pi)]](*使用二階導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證最小值*)第31頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值局部極值FindMinimum[f[x],{x,x0}]：求出f(x)靠近x0點(diǎn)的局部極小值如何求局部極大值？max(f(x))=-min(-f(x))第32頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值例16函數(shù)f(x)=x+Sin5x在區(qū)間[0,Pi]中有3個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)f[x_]=x+Sin[5x];Plot[f[x],{x,0,Pi}]FindMinimum[f[x],{x,1}]FindMinimum[f[x],{x,2}]-FindMinimum[-f[x],{x,0.4}]-FindMinimum[-f[x],{x,1.6}]-FindMinimum[-f[x],{x,2.8}]-FindMinimum[-f[x],{x,2.8},Method->Newton]第33頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三習(xí)題解答8.16求出兩個(gè)和為50的正數(shù)，使得第一個(gè)數(shù)的平方根加上第二個(gè)數(shù)的立方根盡可能大y=50-x;f[x_]=Sqrt[x]+y^(1/3);Plot[f[x],{x,0,50}]NSolve[f'[x]==0]FindMinimum[-f[x],{x,40}]第34頁(yè)，共38頁(yè)，2023年，2月20日，星期三習(xí)題解答8.17一個(gè)圓柱被單位球面所截。(a)求出最大可能的體積(b)求出最大可能的表面面積球面的大小是