第五章留數(shù)及其應(yīng)用

第五章留數(shù)及其應(yīng)用第1頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三參考用書《復(fù)變函數(shù)與積分變換》,華中科技大學數(shù)學系,高等教育出版社,2003.6

《復(fù)變函數(shù)與積分變換學習輔導(dǎo)與習題全解》,華中科大,高等教育出版社

《復(fù)變函數(shù)》,西安交通大學高等數(shù)學教研室,高等教育出版社,1996.5

第2頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三

目錄第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示第五章留數(shù)及其應(yīng)用第六章傅立葉變換第七章拉普拉斯變換第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第3頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三

第五章留數(shù)及其應(yīng)用

本章中心問題是留數(shù)定理，前面講的柯西定理、柯西積分公式都是留數(shù)定理的特殊情況，并且留數(shù)定理在作理論探討與實際應(yīng)用中都具有重要意義，它是復(fù)積分與復(fù)級數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物，為此先對解析函數(shù)的孤立奇點進行分類

第4頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第五章留數(shù)及其應(yīng)用5.1孤立奇點5.2留數(shù)5.3留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用本章小結(jié)思考題第5頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)孤立奇點一、奇點的分類

定義：

第6頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三孤立奇點分類：(1)主部消失(2)主部僅含有限項

(3)主部含有無限多項，解析部分主要部分第7頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例1．解：第8頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三二、可去奇點

第9頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三???第10頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三三、極點

第11頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第12頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第13頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例2．解：第14頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三四、本性奇點

第15頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例3．解：第16頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第17頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例4．解：第18頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例5．解：第19頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三五、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系

定理1第20頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三證明：第21頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例6．解：定理2證明：第22頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第23頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例7．（通過零點階數(shù)判斷極點階數(shù)）解：第24頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例8．解：法二：第25頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三六、函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)

分析：

第26頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第27頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三這樣，對無窮遠點來說，它的特性與其洛朗級數(shù)之間的關(guān)系就跟有限遠點一樣，不過只是把正冪項與負冪項的作用互相對調(diào)就是．

第28頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第29頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第30頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例9．說明：

解：第31頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例10．例11．解：解：第32頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例12．解：例13．解：第33頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例14．解：第34頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例15．解：第35頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例16．解：第36頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第37頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)留數(shù)一、留數(shù)的概念及留數(shù)定理

留數(shù)是復(fù)變函數(shù)論中重要的概念之一，它與解析函數(shù)在孤立奇點處的洛朗展開式、柯西復(fù)合閉路定理等有著密切的聯(lián)系．

1．留數(shù)概念

第38頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第39頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三留數(shù)定義：說明：例1．解：第40頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例2．解：例3．解：第41頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三定理1證明：第42頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三二、函數(shù)在極點的留數(shù)

法則1：證明：結(jié)論：先知道奇點的類型，對求留數(shù)有時更為有利.

第43頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例4．解：第44頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三法則2：證明：由法則1：

第45頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例5．解：例6．解：第46頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三法則3：證明：第47頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例7．解：例8．解：第48頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例9．解：第49頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例10．解：再往下計算比較繁瑣！

第50頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第51頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三三、函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)

第52頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三定理2證明：第53頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三法則4：證明：第54頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例11．解：第55頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例12．解：例13．解：第56頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用留數(shù)定理為某些類型積分的計算提供了有效的方法．應(yīng)用留數(shù)定理計算實變函數(shù)的定積分的方法稱為圍道積分法．圍道積分法就是把求實變函數(shù)的積分化為復(fù)變函數(shù)沿著圍線的積分，然后利用留數(shù)定理，使沿著圍線的積分計算，歸結(jié)為留數(shù)計算．要使用留數(shù)計算，需要兩個條件：一是被積函數(shù)與某個解析函數(shù)有關(guān)；其次，定積分可化為某個沿閉路的積分．其實質(zhì)就是用復(fù)積分來計算實積分，這一方法對有些不易求得的定積分和廣義積分常常比較有用．現(xiàn)在就幾個特殊類型舉例說明．第57頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三一、

第58頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例1．解：第59頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第60頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三二、

第61頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第62頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例2．解：第63頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三三、

第64頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三第65頁，共70頁，2023年，2月20日，星期三例3．解：第66頁，共7