第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)

第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)類似:一般情況下,函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)還是的函數(shù),如果的偏導(dǎo)數(shù)還存在,則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù).第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三即:函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱為原來函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱為原來函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù).二階以及二階以上的稱為高階偏導(dǎo)數(shù).依此類推,可定義多元函數(shù)的更高階的偏導(dǎo)數(shù).第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).對的二階偏導(dǎo)數(shù).對的混合對二階偏導(dǎo)數(shù).第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三二階偏導(dǎo)數(shù)的記號:

二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)共22=4項第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三二元函數(shù)三階偏導(dǎo)數(shù)第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三二元函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)共23=8項.第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例1求的二階偏導(dǎo)數(shù).解第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例2求處的二階混合偏導(dǎo)數(shù).問題:混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎?在解當(dāng)時,第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)時,第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三顯然第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三問題:在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)相等?定理若和在點處連續(xù),則這樣以來,如果二元函數(shù)對求次,對求次的混合高階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),對自變量求偏導(dǎo)時可不分順序,它們都是相等的(反復(fù)利用上述定理).其它多元函數(shù)類似.第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例2設(shè)求解第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例3所確定的函數(shù)求解則故第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例:還是的函數(shù)!注意:抽象復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)時,仍為抽象復(fù)合函數(shù).第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例4設(shè)求解令則有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三令則第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例5設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo),求解第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例6設(shè)其中二階偏導(dǎo)連續(xù),求二階可導(dǎo),解記第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例7設(shè)求解第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例8設(shè)可把方程:簡化為求常數(shù)解,若由第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三將上述結(jié)果代入原方程得:依題意:得第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例9設(shè)求解第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例10設(shè)其中均二次可導(dǎo),求解記則第28頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例11設(shè)存在二階連偏導(dǎo)數(shù),且求解記則第29頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三第30頁，共31頁，2023年，2月20日，星