課件24無窮小與無窮大

一、無窮小的概念與性質(zhì)第三節(jié)無窮小與無窮大二、無窮大

第二章

一、無窮小的概念與性質(zhì)定義2.3

若時(shí),則稱函數(shù)例如：函數(shù)x-1是的無窮小;函數(shù)是的無窮小;為時(shí)的無窮小

.1.無窮小的概念稱為當(dāng)?shù)臒o窮小

.(4)以零為極限的數(shù)列都是時(shí)的無窮小.函數(shù)的無窮小.是除0以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小

!注1°

2°不能籠統(tǒng)地說某函數(shù)是無窮小，而應(yīng)當(dāng)說函數(shù)是自變量趨向某個值時(shí)的無窮小.例如，說是無窮小”是不對的;函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮小.“函數(shù)而應(yīng)當(dāng)說，其中為時(shí)的無窮小.2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系

定理2.4證當(dāng)時(shí),有對自變量的其它變化過程類似可證.意義（1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);時(shí),有3.無窮小的性質(zhì)定理2.5

有限個無窮小的和仍為無窮小.證考慮兩個無窮小的和.設(shè)當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)因此這說明當(dāng)時(shí),為無窮小量.注

1°

上述結(jié)論對于自變量的任一極限過程

(如：x)均成立；例如，2°無窮多個無窮小之和不一定是無窮小!定理2.6無窮小與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小.

推論1無窮小與常量的乘積是無窮小.推論2

有限個無窮小的乘積仍是無窮小.例1求解利用定理2.6,可知注

y=0是的水平漸近線.二、無窮大定義2.4

若

M>0,當(dāng)時(shí)，總有則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大,

使得若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作1.無窮大的概念2.幾何意義例2

證明證

M>0,要使只要故取則當(dāng)時(shí)，有即漸近線注1°不可把無窮大與很大的固定的數(shù)混為一談,無窮大是變量，而再大的固定的數(shù)也是常量；3°2°不能籠統(tǒng)地說某函數(shù)是無窮大，

而應(yīng)當(dāng)說函數(shù)是自變量趨向某個值時(shí)的無窮大；4°5°若在x的某一變化過程中，f(x)是無窮大，g(x)滿足|g(x)|≥M(M>0),則f(x)g(x)是無窮大。若則稱直線為曲線的鉛直漸近線.6°

7°無窮大與無界的關(guān)系則則3.無窮小與無窮大的關(guān)系若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則(自證)據(jù)此定理,關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為定理2.7

在自變量的同一變化過程中,注無窮小來討論.1.無窮小與無窮大的定義2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系3.無窮小與無窮大的關(guān)系內(nèi)容小結(jié)例2-1求解

x→1時(shí),分母→0,故不能直