第四章 晶格振動(dòng)

第四章晶格振動(dòng)第1頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在上一章的討論中把組成晶體的粒子看作是處在平衡位置上的。但對(duì)于實(shí)際晶體卻不確切。實(shí)際晶體中的原子并不處于靜止?fàn)顟B(tài)，它們?cè)谄胶馕恢酶浇魑⒄駝?dòng)，而且由于晶體內(nèi)原子間存在著相互作用力，因此各個(gè)原子的振動(dòng)并不是孤立的，而是聯(lián)系在一起的，整個(gè)晶格可看作是一個(gè)互相耦合的振動(dòng)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)稱為晶格振動(dòng)。第2頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

晶格振動(dòng)不僅對(duì)晶體的比熱、熱膨脹和熱傳導(dǎo)等熱學(xué)性質(zhì)有重要影響，而且和晶體的電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)和介電性質(zhì)等也有密切關(guān)系。應(yīng)用晶格振動(dòng)理論可對(duì)物理性質(zhì)作比較統(tǒng)一的論述，為簡(jiǎn)單起見，我們先考慮一維晶格的振動(dòng)，然后再把所得得的的主要結(jié)論加以推廣，引出三維晶格振動(dòng)的基本特征。第3頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四本章要研究的內(nèi)容：晶格振動(dòng)及其對(duì)晶體宏觀性質(zhì)的影響研究的意義：利用晶格振動(dòng)的理論解釋晶體的熱學(xué)性質(zhì)研究的方法：一維原子鏈三維晶格晶格振動(dòng)與熱學(xué)性質(zhì)之間的關(guān)系格波聲子第4頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§1一維原子鏈的振動(dòng)簡(jiǎn)諧近似：假設(shè)原子間的相互作用力僅存在于最近鄰原子之間，在簡(jiǎn)諧近似下，我們可以用一個(gè)力常數(shù)為k

的彈簧表示最緊鄰原子間的相互作用。一維情況下，原子的振動(dòng)是縱向的。一獨(dú)立簡(jiǎn)諧振動(dòng)二簡(jiǎn)諧振動(dòng)的耦合（一）一維單原子鏈的振動(dòng)（二）一維雙原子鏈的振動(dòng)第5頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四晶格振動(dòng)最簡(jiǎn)單的模式是獨(dú)立簡(jiǎn)諧振動(dòng)，所謂獨(dú)立是指：(1)各個(gè)原子的振動(dòng)相互獨(dú)立；(2)一個(gè)原子在三個(gè)空間方向上的振動(dòng)相互獨(dú)立。一獨(dú)立簡(jiǎn)諧振動(dòng)第6頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的經(jīng)典力學(xué)處理根據(jù)經(jīng)典力學(xué)原理，一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)滿足如下微分方程：解得系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)晶格振動(dòng)，如溫度不是很高，原子只在平衡位置附近作微小位移，這時(shí)的晶格振動(dòng)滿足簡(jiǎn)諧條件，k等于f(r)-r

曲線在r0處斜率的絕對(duì)值，m是原子質(zhì)量。第7頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的量子力學(xué)處理原子是一種量子，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律受量子力學(xué)支配。一維諧振子的主要結(jié)論（在第一章已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)）由于簡(jiǎn)諧振子的勢(shì)能為，將這個(gè)關(guān)系代入薛定諤方程，就可以確定簡(jiǎn)諧振子的波函數(shù)?？梢宰C明，量子化的簡(jiǎn)諧振子能量的可能值為：顯然，原子振動(dòng)的能量是量子化的。n=0對(duì)應(yīng)的能量稱為零點(diǎn)能量，相鄰能級(jí)的能量差為。

第8頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二簡(jiǎn)諧振動(dòng)的耦合事實(shí)上，晶體中原子的振動(dòng)并不是獨(dú)立的，而是相互關(guān)聯(lián)的，這種關(guān)系稱為耦合。（一）一維單原子鏈的振動(dòng)（二）一維雙原子鏈的振動(dòng)第9頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第10頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第11頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（一）一維單原子鏈的振動(dòng)引言建立模型建立運(yùn)動(dòng)方程求解討論第12頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1引言體心立方的鐵一維單原子鏈三維問(wèn)題的簡(jiǎn)化第13頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四波矢q的可取值是分離的鏈長(zhǎng)的有限性造成的波矢q取值的分離性將保持，ω與q的線性關(guān)系一般不存在，且振動(dòng)角頻率ω有上限，被限制在一定的區(qū)間。在一維連續(xù)介質(zhì)中傳播的彈性波若弦或棒為有限長(zhǎng)(L)，則形成駐波，L必為半波長(zhǎng)的整數(shù)倍，則：一維單原子鏈振動(dòng)的簡(jiǎn)介一維單原子鏈中離散的原子耦合振動(dòng)形成的波第14頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2建立模型1）最近鄰假設(shè)：只考慮最近鄰原子之間的相互作用力；2）簡(jiǎn)諧近似：相互作用力為簡(jiǎn)諧力；3）波恩－卡曼周期性邊界條件：第15頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四波恩－卡曼周期性邊界條件第16頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3建立運(yùn)動(dòng)方程1)對(duì)于第n個(gè)原子有：2)對(duì)于單原子鏈上的每一個(gè)原子，都遵從類似的方程，共有N個(gè)類似方程，且相互耦合。第17頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4求解設(shè)方程組的解得到格波色散關(guān)系l取任意整數(shù)第18頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5討論1）格波與連續(xù)介質(zhì)中彈性波的差別與聯(lián)系

——

格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式

——

一個(gè)格波表示的是所有原子同時(shí)做頻率為的振動(dòng)差別：格波的空間坐標(biāo)是離散的。

聯(lián)系：在長(zhǎng)波極限下，常用連續(xù)介質(zhì)彈性波代替較復(fù)雜的格波。（證明）第19頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1證明在長(zhǎng)波極限下，可用連續(xù)介質(zhì)彈性波代替較復(fù)雜的格波。第20頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）

關(guān)于格波角頻率格波的角頻率ω是波矢q的周期函數(shù)：格波的角頻率ω有極大值：，而在連續(xù)介質(zhì)的平面波中，角頻率是沒(méi)有上限的格波的角頻率ω與波矢q只能取間斷數(shù)值?！痪S單原子晶格看作成低通濾波器第21頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2有一維單原子鏈，原子間距為a，分別畫出下列波矢條件下的原子瞬時(shí)位移圖形。解：波矢的取值——只研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動(dòng)問(wèn)題——其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容第22頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四長(zhǎng)波極限下短波極限下相鄰兩個(gè)原子振動(dòng)位相差3）極限波長(zhǎng)下的原子振動(dòng)可認(rèn)為是連續(xù)介質(zhì)第23頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四小結(jié)格波：

具有平面波的形式，稱為格波。色散關(guān)系：q的可取值是分離的：q：波矢k：表示彈性常數(shù)l取任意整數(shù)第24頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（二）一維雙原子鏈的振動(dòng)引言建立模型建立運(yùn)動(dòng)方程求解討論第25頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1引言CsCl晶體第26頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2建立模型1最近鄰假設(shè)：只考慮最近鄰異類原子之間的相互作用力；2簡(jiǎn)諧近似：相互作用力為簡(jiǎn)諧力；3波恩－卡曼周期性邊界條件：兩種原子m和M_(M>m)，系統(tǒng)有N個(gè)原胞第27頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四波恩－卡曼周期性邊界條件第28頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3建立運(yùn)動(dòng)方程——兩種原子振動(dòng)的振幅A和B一般來(lái)說(shuō)是不相等

第2n+1個(gè)M原子的方程

第2n個(gè)m原子的方程方程解的形式第29頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4求解——A、B有非零的解，系數(shù)行列式為零

第2n+1個(gè)M原子

第2n個(gè)m原子方程的解格波第30頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四——一維復(fù)式晶格中存在兩種獨(dú)立的格波——光學(xué)波——聲學(xué)波第31頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四——與q之間存在著兩種不同的色散關(guān)系——一維復(fù)式格子存在兩種獨(dú)立的格波第32頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5分析討論振動(dòng)狀態(tài)的傳遞

波矢q的取值

色散關(guān)系

兩種格波的振幅

長(zhǎng)波極限下的兩種格波第33頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1)振動(dòng)狀態(tài)的傳遞輕原子(質(zhì)量為m)之間相互傳遞振動(dòng)狀態(tài)，相鄰輕原子之間的最小空間位相差為2qa。同樣，相鄰重原子(質(zhì)量為M)之間相互傳遞振動(dòng)狀態(tài)，其最小空間位相差也是2qa。第34頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2)q的取值波矢q的值——第一布里淵區(qū)采用周期性邊界條件布里淵區(qū)大小第一布里淵區(qū)允許的q值的數(shù)目——對(duì)應(yīng)一個(gè)q有兩支格波：一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波——總的格波數(shù)目為2N

：原子的數(shù)目:2N第35頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3)色散關(guān)系的特點(diǎn)

周期性頻率間隙——一維雙原子晶格叫做帶通濾波器——不存在格波第36頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4)兩種格波的振幅——光學(xué)波——聲學(xué)波第37頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四長(zhǎng)聲學(xué)波中相鄰原子的振動(dòng)——原胞中的兩個(gè)原子振動(dòng)的振幅相同，振動(dòng)方向一致——代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)5)長(zhǎng)波極限下的兩種格波長(zhǎng)聲學(xué)波第38頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四長(zhǎng)光學(xué)波中相鄰原子的振動(dòng)——長(zhǎng)光學(xué)波同種原子振動(dòng)位相一致，相鄰原子振動(dòng)相反——原胞質(zhì)心保持不變的振動(dòng)，原胞中原子之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)光學(xué)波第39頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四6小結(jié)一維雙原子鏈的振動(dòng)有以下主要特點(diǎn)1)相鄰?fù)愒又g傳遞振動(dòng)狀態(tài)；2)波矢q取分離值，取值個(gè)數(shù)為原胞個(gè)數(shù)N；3)對(duì)應(yīng)1個(gè)確定的波矢，有2支格波，共有2N支格波；4)格波布里淵區(qū)邊界出現(xiàn)頻隙；5)光學(xué)波與聲學(xué)波，各有相應(yīng)的頻率范圍，激發(fā)頻率不同，描述的原子振動(dòng)狀態(tài)不同。第40頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四聲學(xué)波光學(xué)波第41頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四聲學(xué)波光學(xué)波相鄰異類原子一般朝同一方向振動(dòng)相鄰異類原子一般朝相反方向振動(dòng)在長(zhǎng)波極限：相鄰原子同向振動(dòng)，而且振幅相同，它們的振動(dòng)(波動(dòng))行為好象是同一類原子。反映的是晶格的整體振動(dòng)。在長(zhǎng)波極限：,mA+MB=0，晶胞質(zhì)心不動(dòng)。晶體并非整體呈剛體，其中的輕原子與重原子分別構(gòu)成剛性結(jié)構(gòu)，而且兩類原子永遠(yuǎn)反向振動(dòng)。第42頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四與一維單原子鏈主要結(jié)論的比較共同特點(diǎn)：色散關(guān)系中，角頻率都為波矢的周期函數(shù)，都有極值。波矢都只能取分離的值，取值數(shù)目都為晶體原胞的個(gè)數(shù)。不同之處：第43頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一維單原子鏈一維雙原子鏈色散關(guān)系種類12（1支聲學(xué)波和1支光學(xué)波）波矢的區(qū)間波矢的周期波矢的最小間隔格波總數(shù)N2N第44頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（三）三維晶格格波的色散關(guān)系簡(jiǎn)單晶格復(fù)雜晶格單個(gè)原子獨(dú)立平均自由度3個(gè)。振動(dòng)波的3個(gè)傳播方向上有一支縱波和兩支橫波，每一支波有自己獨(dú)立的振動(dòng)頻率。對(duì)具有特殊對(duì)稱性的晶體，兩支橫波簡(jiǎn)并為單一橫波支，三支頻譜可能簡(jiǎn)并為兩支。原子個(gè)數(shù)12是否有光學(xué)波分支無(wú)有。色散關(guān)系種類3（2）種總共6其中3(2)支聲學(xué)波，3支光學(xué)波，第45頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2三維晶格的振動(dòng)一動(dòng)力矩陣方法簡(jiǎn)介二晶格振動(dòng)的一般結(jié)論三晶格振動(dòng)的頻譜第46頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三維復(fù)式格子各原子偏離格點(diǎn)的位移晶體的原胞數(shù)目原子的質(zhì)量第l個(gè)原胞的位置原胞中各原子的位置——一個(gè)原胞中有n個(gè)原子第47頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第k個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程——原子在三個(gè)方向上的位移分量——一個(gè)原胞中有3n個(gè)類似的方程方程右邊是原子位移的線性齊次函數(shù)，其方程的解將方程解代回3n個(gè)運(yùn)動(dòng)方程第48頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四——3n個(gè)線性齊次方程——系數(shù)行列式為零條件，得到3n個(gè)長(zhǎng)波極限3個(gè)——趨于一致——三個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的格波描述不同原胞之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)——3支聲學(xué)波第49頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四——3n－3支長(zhǎng)波極限的格波描述一個(gè)原胞中各原子間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)——3n－3支光學(xué)波結(jié)論：晶體中一個(gè)原胞中有n個(gè)原子組成，有3支聲學(xué)波和3n－3支光學(xué)波波矢——波矢空間的3個(gè)基矢三維晶格中的波矢——倒格子基矢——3個(gè)系數(shù)第50頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四采用波恩－卡曼邊界條件第51頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四波矢波矢空間一個(gè)點(diǎn)占據(jù)的體積——倒格子原胞體積狀態(tài)密度第52頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四波矢的取值_h1h2h3——原子振動(dòng)波函數(shù)波矢改變一個(gè)倒格矢——不同原胞之間位相聯(lián)系——原子振動(dòng)狀態(tài)一樣第53頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四q的取值限制在一個(gè)倒格子原胞中——第一布里淵區(qū)——個(gè)取值第54頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)應(yīng)于一個(gè)波矢q3支聲學(xué)波和3n－3支光學(xué)波總的格波數(shù)目——晶體中原子的坐標(biāo)數(shù)目

(晶體中的自由度數(shù)目)第55頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二晶格振動(dòng)的一般結(jié)論1格波色散關(guān)系的周期性2格波色散關(guān)系的對(duì)稱性3振動(dòng)模式數(shù)目的一般結(jié)論第56頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四每個(gè)q對(duì)應(yīng)著3n個(gè)格波，n為原胞內(nèi)的原子個(gè)數(shù)，其中3支為聲學(xué)波，3(n-1)支為光學(xué)波；

q的獨(dú)立取值數(shù)為N，N為晶體的原胞個(gè)數(shù)。格波總數(shù)=3nN。原胞內(nèi)自由度數(shù)原胞數(shù)=晶體自由度總數(shù)第57頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1引入振動(dòng)模式密度的意義：晶體中同時(shí)可以存在不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)——

不同頻率的振動(dòng)模對(duì)應(yīng)不同的能量給定晶體，總的振動(dòng)模數(shù)目是一定的按振動(dòng)頻率分布——用晶格振動(dòng)模式密度來(lái)描述——從振動(dòng)模式密度，研究晶格熱容、晶體電學(xué)、光學(xué)性質(zhì)三晶格振動(dòng)的頻譜

（模式密度、狀態(tài)密度）第58頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四則在頻率之間的振動(dòng)模數(shù)目為：2模式密度的概念：晶格振動(dòng)模式密度

——單位頻率間隔內(nèi)的振動(dòng)模式的數(shù)目：

第59頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在q空間，晶格振動(dòng)模是均勻分布的，狀態(tài)密度兩個(gè)等頻率面和之間的振動(dòng)模式數(shù)目頻率是q的連續(xù)函數(shù)根據(jù)做出一個(gè)等頻率面3求解模式密度的方法：第60頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四振動(dòng)模式密度函數(shù)之間振動(dòng)模式數(shù)目第61頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四如果色散關(guān)系三維情況振動(dòng)模式密度二維情況振動(dòng)模式密度一維情況振動(dòng)模式密度在的一些點(diǎn)奇點(diǎn)——范霍夫奇點(diǎn)，是晶體中一些高對(duì)稱點(diǎn)（布里淵區(qū)邊界）——

這些臨界點(diǎn)與晶體的對(duì)稱性密切相聯(lián)第62頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四幾種簡(jiǎn)單情況下振動(dòng)模式密度的表示

一維無(wú)限長(zhǎng)單原子鏈——色散關(guān)系——最大頻率振動(dòng)模式密度一維情況下第63頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四考慮到一個(gè)頻率可以有兩個(gè)值振動(dòng)模式密度第64頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四也可以直接由q空間的狀態(tài)密度來(lái)計(jì)算狀態(tài)密度振動(dòng)模式密度第65頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3晶格振動(dòng)的量子化聲子一晶格振動(dòng)的量子化（聲子概念的引出）1總能量哈密頓算符的確定2格波運(yùn)動(dòng)能量的量子化及聲子概念的引出

.

第66頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1總能量哈密頓算符的確定三維簡(jiǎn)單晶格：N個(gè)原子之間具有強(qiáng)烈相互作用，在低溫下都處于各自的平衡位置附近作三維的微振動(dòng)，整個(gè)晶體共有3N個(gè)自由度：引入3N個(gè)坐標(biāo)：

(μ1,μ2,μ3),(μ4,μ5,μ6),…,(μ3N-2,μ3N-1,μ3N)，第67頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四簡(jiǎn)諧近似和簡(jiǎn)正坐標(biāo)

簡(jiǎn)諧近似——只考慮最近鄰原子之間的相互作用研究對(duì)象——由N個(gè)質(zhì)量為m的原子組成的晶體偏離平衡位置的位移矢量原子的位置第n個(gè)原子的平衡位置3個(gè)方向上的分量原子位移宗量第68頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四N個(gè)原子的位移矢量N個(gè)原子體系的勢(shì)能函數(shù)在平衡位置按泰勒級(jí)數(shù)展開取平衡位置——不計(jì)高階項(xiàng)系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)第69頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)第70頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)——原子的坐標(biāo)和簡(jiǎn)正坐標(biāo)通過(guò)正交變換聯(lián)系起來(lái)假設(shè)存在線性變換系統(tǒng)的哈密頓量拉格朗日函數(shù)正則動(dòng)量第71頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四系統(tǒng)的哈密頓量正則方程——3N個(gè)獨(dú)立無(wú)關(guān)的方程簡(jiǎn)正坐標(biāo)方程解簡(jiǎn)正振動(dòng)——晶體中所有原子參與振動(dòng)，振動(dòng)頻率相同

振動(dòng)?！?jiǎn)正坐標(biāo)代表所有原子共同參與的一個(gè)振動(dòng)正則動(dòng)量第72頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四只考察某一個(gè)振動(dòng)模系統(tǒng)能量本征值計(jì)算正則動(dòng)量算符系統(tǒng)薛定諤方程第73頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四任意一個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)——諧振子方程能量本征值本征態(tài)函數(shù)—厄密多項(xiàng)式第74頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四系統(tǒng)能量本征值系統(tǒng)本征態(tài)函數(shù)N個(gè)原子組成的晶體系統(tǒng)薛定諤方程第75頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四以一維單原子鏈為例：

坐標(biāo)Qi

稱為簡(jiǎn)正坐標(biāo)

說(shuō)明以q標(biāo)志的振動(dòng)模的簡(jiǎn)正坐標(biāo)滿足諧振子的經(jīng)典方程式

第76頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由于簡(jiǎn)正坐標(biāo)是各原子位移量的某種線性組合，因而一個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)反映了全體原子都參與的一種模式的集體運(yùn)動(dòng)；而各個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)又都反映在同一原子的運(yùn)動(dòng)上(ui也是各Qi的某種線性組合)。所以，只要能知道體系的簡(jiǎn)正坐標(biāo)，晶格振動(dòng)情況就清楚了。第77頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四因?yàn)楹?jiǎn)正坐標(biāo)是將全部原子的坐標(biāo)作線性組合所得到的一種集體坐標(biāo)，3N個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)中的任意一個(gè)都與全部原子的坐標(biāo)有關(guān)。于是就得到用這3N個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)的變化所表示的相互獨(dú)立的3N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這3N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)中的每一個(gè)，都稱為簡(jiǎn)正振動(dòng)，其3N個(gè)特征角頻率ωi稱為簡(jiǎn)正角頻率。3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)中的任意一個(gè)都不表示某個(gè)原子的振動(dòng)，而都是所有原子共同參與的振動(dòng)，稱為一個(gè)簡(jiǎn)正模。由于晶格的周期性，晶格的簡(jiǎn)正振動(dòng)具有波的形式，因而稱為格波。第78頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2格波運(yùn)動(dòng)能量的量子化及聲子概念的引出一維單原子鏈：而晶格振動(dòng)的總能量是個(gè)格波能量的迭加格波運(yùn)動(dòng)的變化是跳躍式的，即格波的激發(fā)是量子化的。格波的元激發(fā)可看作是一種“粒子”，能量為。當(dāng)格波處于能級(jí)時(shí)，我們說(shuō)有個(gè)這種“粒子”。這種粒子化了的格波元激發(fā)(格波量子)稱為聲子。第79頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四具有某一角頻率ωi并處于量子數(shù)為ni的激發(fā)態(tài)的簡(jiǎn)正模，相當(dāng)于ni個(gè)能量為hω

i的聲子；不同簡(jiǎn)正模，具有不同的角頻率，從而具有不同的能量和動(dòng)量，對(duì)應(yīng)于不同量子態(tài)的聲子，而處于該量子態(tài)的聲子數(shù)，則決定于該量子態(tài)所對(duì)應(yīng)的能級(jí)；如果簡(jiǎn)正模由某一能級(jí)降至低一個(gè)能級(jí)，量子數(shù)減小1，相當(dāng)于系統(tǒng)中減少了或消失了一個(gè)聲子，相反，如果簡(jiǎn)正模由某一能級(jí)升至高一個(gè)能級(jí)，量子數(shù)增加1，相當(dāng)于系統(tǒng)中增加了或產(chǎn)生了一個(gè)聲子。第80頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)于三維晶格，情況相同晶格振動(dòng)也有零點(diǎn)能波矢為的格波的零點(diǎn)能為第81頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二聲子固體中的格波波場(chǎng)就可以看成理想聲子氣體系統(tǒng)。由于聲子的自旋為零，屬于玻色子，所以理想聲子氣體系統(tǒng)遵從玻色統(tǒng)計(jì)。1聲子的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)：聲子數(shù)不守恒2聲子的準(zhǔn)動(dòng)量3引入聲子概念的目的和意義第82頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四T=0K

時(shí)，沒(méi)有熱激發(fā)的各格波都處于基態(tài)

時(shí)，將會(huì)使格波激發(fā)到較高能級(jí)，各格波的熱力學(xué)平均能量設(shè)第j種的聲子平均數(shù)目為，1聲子數(shù)不守恒服從波色－愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)第83頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2聲子的準(zhǔn)動(dòng)量以聲子與其它粒子（中子）之間的相互作用說(shuō)明（非彈性散射）第84頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3引入聲子概念的目的和意義3nN個(gè)相互耦合的原子振動(dòng)問(wèn)題首先經(jīng)線性變換化為3nN個(gè)振動(dòng)模(格波)的獨(dú)立諧振子問(wèn)題，然后又經(jīng)量子變化而為3nN種聲子的玻色子“理想氣體”問(wèn)題。這種物理圖象對(duì)很多問(wèn)題的處理是很方便的，例如對(duì)晶格振動(dòng)熱學(xué)性質(zhì)的研究。聲子的概念不僅僅是描述方式問(wèn)題，它深刻反映了晶體中原子的集體運(yùn)動(dòng)(振動(dòng)模)的量子化性質(zhì)。

第85頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四關(guān)于聲子概念的總結(jié)聲子是為描述晶體中改變激發(fā)狀態(tài)而引入的假想粒子，它是一種準(zhǔn)粒子。模式的聲子具有能量、準(zhǔn)動(dòng)量。晶體中3nN種振動(dòng)模式的3nN種聲子構(gòu)成“聲子理想氣體”。聲子數(shù)不守恒，服從玻色統(tǒng)計(jì)。聲子不能脫離晶體而存在。在簡(jiǎn)諧近似下，格波間相互獨(dú)立，聲子間無(wú)互作用。當(dāng)考慮非簡(jiǎn)諧作用時(shí)，格波之間不再相互獨(dú)立，如果仍采用聲子圖象，則聲子之間有相互作用(實(shí)為格波間的相互散射)，“聲子氣體”不再能看作理想氣體。第86頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4

熱學(xué)性能一簡(jiǎn)諧近似

晶體的熱容二非簡(jiǎn)諧近似晶體的熱膨脹晶體的熱傳導(dǎo)第87頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一簡(jiǎn)諧近似1晶體熱容實(shí)驗(yàn)事實(shí)：由實(shí)驗(yàn)得知所有原子晶體如(C、Ag、Ca……)在溫度較高時(shí)，其Cv→3R（約25J·mol-1·K），當(dāng)溫度趨于絕對(duì)零度Cv→0

，低溫時(shí)Cv

與T3

近似地成正比?！獪囟炔皇翘偷那闆r，忽略電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)——電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)——晶格振動(dòng)對(duì)比熱的貢獻(xiàn)第88頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2晶格熱容的經(jīng)典理論

一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)平均能量N個(gè)原子，總的平均能量摩爾固體熱容——杜隆－珀替定律——實(shí)驗(yàn)表明在低溫時(shí)，熱容量隨溫度迅速趨于零!——能量均分定律第89頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一個(gè)振動(dòng)模的平均能量——與晶格振動(dòng)頻率和溫度有關(guān)系

一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)3晶格熱容的量子理論

1)一個(gè)頻率為j的振動(dòng)模對(duì)熱容的貢獻(xiàn)頻率為j的振動(dòng)模由一系列量子能級(jí)為組成第90頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四高溫極限——與杜?。晏娑上喾?/p>

一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)——忽略不計(jì)第91頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四低溫極限——與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符

一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)第92頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四若晶體中有3N個(gè)振動(dòng)模，總的能量晶體總的熱容第93頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2）愛(ài)因斯坦模型

N個(gè)原子構(gòu)成的晶體，所有的原子以相同的頻率0振動(dòng)

一個(gè)振動(dòng)模式的平均能量晶體熱容總能量第94頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四愛(ài)因斯坦溫度——選取合適的E值，在較大溫度變化的范圍內(nèi)，理論計(jì)算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)好地符合——大多數(shù)固體——愛(ài)因斯坦熱容函數(shù)第95頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四金剛石理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

第96頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四溫度較高時(shí)

——與杜隆—珀替定律相符晶體熱容第97頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四溫度非常低時(shí)——按溫度的指數(shù)形式降低實(shí)驗(yàn)測(cè)得結(jié)果——愛(ài)因斯坦模型忽略了各格波的頻率差別晶體熱容第98頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3）德拜模型

1912年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來(lái)代表格波，將布喇菲晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì)——有1個(gè)縱波和2個(gè)獨(dú)立的橫波——不同q的縱波和橫波，構(gòu)成了晶格的全部振動(dòng)?！煌恼駝?dòng)模，能量不同色散關(guān)系第99頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三維晶格，態(tài)密度——V:晶體體積——受邊界條件限制波矢q分立取值，允許的取值在q空間形成了均勻分布的點(diǎn)子體積元態(tài)的數(shù)目——q是近連續(xù)變化的振動(dòng)數(shù)目第100頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四頻率在之間振動(dòng)模式的數(shù)目

各向同性的介質(zhì)——頻率也近似于連續(xù)取值——振動(dòng)頻率分布函數(shù)，或者振動(dòng)模的態(tài)密度函數(shù)

一個(gè)振動(dòng)模的熱容

晶體總的熱容

——振動(dòng)頻率分布函數(shù)和m的計(jì)算第101頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四頻率在之間，縱波數(shù)目頻率在之間，格波數(shù)目頻率在之間，橫波數(shù)目波矢的數(shù)值在之間的振動(dòng)方式的數(shù)目第102頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四頻率分布函數(shù)格波總的數(shù)目頻率在間，格波數(shù)目晶體總的熱容

第103頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四德拜溫度晶體總的熱容

令德拜熱容函數(shù)第104頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在高溫極限下晶體總的熱容

——與杜隆－珀替定律一致德拜熱容函數(shù)第105頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四低溫極限——T3成正比——德拜定律——溫度愈低時(shí)，德拜模型近似計(jì)算結(jié)果愈好——溫度很低時(shí)，主要的只有長(zhǎng)波格波的激發(fā)晶體熱容

晶體熱容

第106頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第107頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二非簡(jiǎn)諧近似1簡(jiǎn)諧近似的困難簡(jiǎn)諧近似在解釋晶體熱膨脹問(wèn)題中的困難第108頁(yè)，共115頁(yè)，2023年，2月20日，星期四簡(jiǎn)諧近似在解釋晶體熱傳導(dǎo)問(wèn)題中的困難若不考慮電子對(duì)熱傳導(dǎo)的貢獻(xiàn)，晶體中的熱傳導(dǎo)主要依靠聲子，在絕緣晶體中就是如此。然而在簡(jiǎn)諧近似下，聲子是相互獨(dú)立的，彼此之間沒(méi)有相互作用，因而可以毫無(wú)阻礙地在晶體中運(yùn)動(dòng)，此時(shí)