高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)空間向量及其運(yùn)算理蘇教版

高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)空間向量及其運(yùn)算理蘇教版第1頁/共105頁基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分第2頁/共105頁1.空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量模為

的向量0單位向量長度(模)為

的向量

相等向量方向

且模

的向量a＝b相反向量方向

且模

的向量a的相反向量為－a01相同相等相反相等第3頁/共105頁共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相

的向量a∥b共面向量平行于同一個

的向量

平行或重合平面第4頁/共105頁2.空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(a≠0)，a與b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得

.其中a叫直線l的方向向量，t∈R，b＝λa第5頁/共105頁(1－t)t1xa+yb第6頁/共105頁(3)空間向量基本定理如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使p＝

，空間中不共面的三個向量e1，e2，e3叫作這個空間的一個基底.xe1＋ye2＋ze3第7頁/共105頁3.兩個向量的數(shù)量積(1)非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝

.②交換律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.λ(a·b)第8頁/共105頁4.空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用

向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b

共線a＝λb(b≠0)

垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)

a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0第9頁/共105頁模|a|夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝第10頁/共105頁思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面.(

)(2)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中(a·b)·c＝a·(b·c).(

)(3)對于非零向量b，由a·b＝b·c，則a＝c.(

)(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同.(

)√×××第11頁/共105頁返回√(6)|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共線的充要條件.(

)×第12頁/共105頁題號答案解析1234

Enter③第13頁/共105頁解析第14頁/共105頁解析思維升華思維點(diǎn)撥題型一空間向量的線性運(yùn)算第15頁/共105頁利用空間向量的加減法和數(shù)乘運(yùn)算表示即可.題型一空間向量的線性運(yùn)算解析思維升華思維點(diǎn)撥第16頁/共105頁題型一空間向量的線性運(yùn)算解析思維升華思維點(diǎn)撥第17頁/共105頁題型一空間向量的線性運(yùn)算解析思維升華思維點(diǎn)撥第18頁/共105頁用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們把這個法則稱為向量加法的多邊形法則.題型一空間向量的線性運(yùn)算解析思維升華思維點(diǎn)撥第19頁/共105頁第20頁/共105頁題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；解析思維升華思維點(diǎn)撥第21頁/共105頁題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；解析思維升華思維點(diǎn)撥第22頁/共105頁題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；證明連結(jié)BG，解析思維升華思維點(diǎn)撥第23頁/共105頁題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面.解析思維升華思維點(diǎn)撥第24頁/共105頁題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；解析思維升華思維點(diǎn)撥第25頁/共105頁題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；解析思維升華思維點(diǎn)撥第26頁/共105頁題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；解析思維升華思維點(diǎn)撥第27頁/共105頁解析思維升華例2

(2)求證：BD∥平面EFGH；思維點(diǎn)撥第28頁/共105頁例2

(2)求證：BD∥平面EFGH；解析思維升華思維點(diǎn)撥第29頁/共105頁例2

(2)求證：BD∥平面EFGH；所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.解析思維升華思維點(diǎn)撥第30頁/共105頁例2

(2)求證：BD∥平面EFGH；解析思維升華思維點(diǎn)撥第31頁/共105頁例2

(2)求證：BD∥平面EFGH；解析思維升華思維點(diǎn)撥第32頁/共105頁例2

(2)求證：BD∥平面EFGH；解析思維升華思維點(diǎn)撥第33頁/共105頁解析思維升華思維點(diǎn)撥第34頁/共105頁解析思維升華思維點(diǎn)撥第35頁/共105頁證明找一點(diǎn)O，并連結(jié)OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.解析思維升華思維點(diǎn)撥第36頁/共105頁即EH綊FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.所以EG，F(xiàn)H交于一點(diǎn)M且被M平分.解析思維升華思維點(diǎn)撥第37頁/共105頁解析思維升華思維點(diǎn)撥第38頁/共105頁解析思維升華思維點(diǎn)撥第39頁/共105頁解析思維升華思維點(diǎn)撥第40頁/共105頁解析思維升華思維點(diǎn)撥第41頁/共105頁跟蹤訓(xùn)練2

如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B上的點(diǎn)，F(xiàn)是AC上的點(diǎn)，且A1E＝2EB，CF＝2AF，則EF與平面A1B1CD的位置關(guān)系為

.第42頁/共105頁跟蹤訓(xùn)練2

如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B上的點(diǎn)，F(xiàn)是AC上的點(diǎn)，且A1E＝2EB，CF＝2AF，則EF與平面A1B1CD的位置關(guān)系為

.且EF?平面A1B1CD，DB1?平面A1B1CD，所以EF∥平面A1B1CD.平行第43頁/共105頁題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用解析思維升華第44頁/共105頁題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用解∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝

－1，解析思維升華第45頁/共105頁題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用即向量a與向量b的夾角的余弦值為－.解析思維升華第46頁/共105頁題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)利用向量的數(shù)量積可證明直線的垂直關(guān)系；也可以利用垂直關(guān)系，通過向量共線確定點(diǎn)在線段上的位置；(2)利用夾角公式，可以求異面直線所成的角，也可以求二面角；解析思維升華第47頁/共105頁題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(3)可以通過|a|＝

，將向量的長度問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問題求解.解析思維升華第48頁/共105頁解析思維升華例3(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.第49頁/共105頁例3(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.解方法一∵ka＋b＝(k－1，k,2).ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b與ka－2b互相垂直，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，解析思維升華第50頁/共105頁例3(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.∴當(dāng)ka＋b與ka－2b互相垂直時，解析思維升華第51頁/共105頁例3(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，解析思維升華第52頁/共105頁例3(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.(1)利用向量的數(shù)量積可證明直線的垂直關(guān)系；也可以利用垂直關(guān)系，通過向量共線確定點(diǎn)在線段上的位置；(2)利用夾角公式，可以求異面直線所成的角，也可以求二面角；解析思維升華第53頁/共105頁例3(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.(3)可以通過|a|＝

，將向量的長度問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問題求解.解析思維升華第54頁/共105頁跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn).(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量兩兩夾角均為60°.第55頁/共105頁跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn).(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；第56頁/共105頁跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn).(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；同理可證MN⊥CD.第57頁/共105頁(2)求MN的長；第58頁/共105頁(2)求MN的長；第59頁/共105頁(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.第60頁/共105頁(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.第61頁/共105頁(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.第62頁/共105頁易錯警示系列11“兩向量同向”意義不清致誤解析易錯分析溫馨提醒典例：已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，則x，y的值分別為

.第63頁/共105頁將a，b同向和a∥b混淆，沒有搞清a∥b的意義：a、b方向相同或相反.解析易錯分析溫馨提醒第64頁/共105頁解析易錯分析溫馨提醒把①代入②得x2＋x－2＝0，(x＋2)(x－1)＝0，解得x＝－2，或x＝1當(dāng)x＝－2時，y＝－6；當(dāng)x＝1時，y＝3.第65頁/共105頁解析易錯分析溫馨提醒兩向量a，b反向，不符合題意，所以舍去.答案1,3第66頁/共105頁(1)兩向量平行和兩向量同向不是等價的，同向是平行的一種情況.兩向量同向能推出兩向量平行，但反過來不成立，也就是說，“兩向量同向”是“兩向量平行”的充分不必要條件；(2)若兩向量a，b滿足a＝λb(b≠0)且λ>0則a，b同向；在a，b的坐標(biāo)都是非零的條件下，a，b的坐標(biāo)對應(yīng)成比例.解析易錯分析溫馨提醒返回第67頁/共105頁方法與技巧1.利用向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理表示向量是向量應(yīng)用的基礎(chǔ).2.利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問題；利用數(shù)量積運(yùn)算可以解決一些距離、夾角問題.3.利用向量解立體幾何題目的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運(yùn)算或證明去解決問題.第68頁/共105頁失誤與防范1.向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.2.求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.返回第69頁/共105頁23456789101第70頁/共105頁23456789101解析取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，>

第71頁/共105頁234567891012.如果三點(diǎn)A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一條直線上，則a，b的值分別為

.3,2第72頁/共105頁234567891013.已知a，b是異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，則異面直線a，b所成的角等于

.所以異面直線a，b所成的角等于60°.60°第73頁/共105頁234567891014.空間四點(diǎn)A(2,3,6)、B(4,3,2)、C(0,0,1)、D(2,0,2)

(填“在”或“不在”)同一平面內(nèi).假設(shè)四點(diǎn)共面，由共面向量定理得，存在實(shí)數(shù)x，y，第74頁/共105頁23456789101由①②得x＝y(tǒng)＝1，代入③式不成立，矛盾.∴假設(shè)不成立，故四點(diǎn)不共面.答案不在第75頁/共105頁23456789101則|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量兩兩夾角為60°.第76頁/共105頁23456789101第77頁/共105頁345678910126.已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，則以b，c為方向向量的兩直線的夾角為

.解析由題意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，∴〈b，c〉＝120°，∴兩直線的夾角為60°.60°第78頁/共105頁345678910127.如圖，在空間四邊形OABC中，若OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，則OA與BC所成角的余弦值為

.第79頁/共105頁34567891012第80頁/共105頁34567891012第81頁/共105頁34567891012＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.方法二如圖，在三棱錐A－BCD中，不妨令其各棱長都相等，則正四面體的對棱互相垂直.答案0第82頁/共105頁345678910129.已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，點(diǎn)A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2).(1)求|2a＋b|；解∵a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，∴2a＋b＝(0，－5,5)，第83頁/共105頁34567891012解假設(shè)存在點(diǎn)E，其坐標(biāo)為E(x，y，z)，即(x＋3，y＋1，z－4)＝λ(1，－1，－2)，第84頁/共105頁34567891012＝－5λ＋9＝0，第85頁/共105頁10.如圖所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；34567891012則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，第86頁/共105頁34567891012＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)第87頁/共105頁(2)求BD1與AC夾角的余弦值.34567891012＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.第88頁/共105頁34567891012第89頁/共105頁23451第90頁/共105頁1.設(shè)向量a、b、c不共面，則下列集合可作為空間的一個基底的是

.①{a＋b，b－a，a}; ②{a＋b，b－a，b}；③{a＋b，b－a，c}; ④{a＋b＋c，a＋b，c}.23451第91頁/共105頁答案③23451第92頁/共105頁2.以下命題中，正確的命題個數(shù)為

.①若a，b共線，則a與b所在直線平行；②若{a，b，c}為空間一個基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構(gòu)成空間的另一個基底；③若空間向量m、n、p滿足m＝n，n＝p，則m＝p；23451第93頁/共105頁解析由共線向量知a與b所在直線可能重合知①錯；若a＋b，b＋c，c＋a共面，則