《畫法幾何與陰影透視》第4章 投影變換

畫法幾何與陰影透視

4.1

概述

4.1.1投影變換的目的第4章投影變換

正投影的投射方向是垂直于投影面的。當(dāng)直線、平面對(duì)投影面處于特殊位置時(shí)，其投影或具有真實(shí)性，或具有積聚性，或直接反映距離，或直接反映交點(diǎn)位置等一些特殊的投影性質(zhì)。

如能把空間幾何元素從一般位置改變成為特殊位置，空間幾何問題的求解就變得容易。4.1.2投影變換的類型

①空間幾何元素保持不動(dòng)，用新的投影面來代替舊的投影面，使空間幾何元素對(duì)新投影面的相對(duì)位置變成有利于解題的位置，作出空間幾何元素在新投影面上的投影。這種方法叫變換投影面法，簡(jiǎn)稱換面法。

②投影體系（也即投影面）保持不動(dòng)，使空間幾何元素繞某一軸旋轉(zhuǎn)到有利解題的位置，作出空間幾何元素旋轉(zhuǎn)后的新投影。這種方法稱為旋轉(zhuǎn)法。

畫法幾何與陰影透視VAHCBcbXaabc4.2換面法a1c1b1V1X1X1

4.2.1基本概念—空間幾何元素的位置保持不動(dòng)，用新的投影面來代替舊的投影面，使其對(duì)新投影面的相對(duì)位置變成有利于解題的位置，作出在新投影面上的投影并解決有關(guān)問題。V/H

體系變?yōu)閂1/H

體系c1b1a1(b)cabacX新投影面V1⊥H新軸舊投影面舊軸保留的不變投影面

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新投影面的選擇必須符合以下兩個(gè)基本條件：①新投影面必須使空間幾何元素處于有利解題的位置。②新投影面必須垂直于保留投影面。VAHCBcbXaabcV1X1c1b1a1新投影面的選擇原則

畫法幾何與陰影透視a1aXVHaVHXX1HV1V1a1′X1V1a1aAa點(diǎn)的投影變換規(guī)律①點(diǎn)的新投影和保留投影的連線，必垂直于新投影軸。②點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離，等于點(diǎn)本次被換掉的舊投影到本次被換掉的舊投影軸的距離。4.2.2基本作圖方法（1）

點(diǎn)的一次換面

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點(diǎn)在V/H1體系中的投影X1H1Va1VHXaAaa1H1H1X1a1X1XVHaaa′a1⊥X1a1x1﹦axx1x

畫法幾何與陰影透視VXHa2aaa1XVHX1HV1（2）點(diǎn)的兩次變換V1X1X2H2V1H2X2a2a1aAa

畫法幾何與陰影透視VHXAaBb

abV1X14.2.3換面法在解決定位和度量問題中的運(yùn)用a1b1a1b1

X1V1HbabaXVHSC（1）把一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€

畫法幾何與陰影透視【例4.1】把一般位置直線變?yōu)镠1投影面平行線。

babaXHVX1H1Va1b1TL

畫法幾何與陰影透視VHXaAabBbH1X1X1H1Va1b1XVHaaa1（2）把投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€

bbSCAB（b1）a1H1(b1)

畫法幾何與陰影透視（3）把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€（軸測(cè)示意圖）XHaAabbBVV1X1H2a2b2a1b1X2

畫法幾何與陰影透視（3）把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€（投影作圖）X2H2V1aaXVHbba2（b2）X1HV1a1b1

畫法幾何與陰影透視aaXbbcc思考題1如何求點(diǎn)C到直線AB的距離？X2H2V1aaXVHbba2b2X1HV1a1b1提示VH把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€

畫法幾何與陰影透視aaXbbcdcd思考題2如何求兩直線AB與CD間的距離？X2H2V1aaXVHbba2b2X1HV1a1b1V提示H把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€

畫法幾何與陰影透視X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c1112121babdcaXVHdc211222【例4.2】求兩直線AB與CD公垂線的投影及其最短距離。

H2SC

畫法幾何與陰影透視acXVHbbacVHXcbabCAcBaddDX1H1a1c1b1d1dX1H1Vdb1a1c1d1（4）把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?/p>

畫法幾何與陰影透視k1X1H1Vb1a1c1d1s1acbbacss'【例4.3】求點(diǎn)S到平面ABC的距離。SCHVXdd

畫法幾何與陰影透視acbbaceNkeNddX1VH1b1a1c1d1k1ke1【例4.4】已知E到平面ABC的距離為N，求E點(diǎn)的正面投影e。

畫法幾何與陰影透視VHcbXCABbcaabcabacXHVa1c1b1X1X1V1Hsxb1a1c1V1V1c1b1a1

畫法幾何與陰影透視acXVHbbacddb1a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1（5）把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?/p>

TS

畫法幾何與陰影透視【例4.5】已知點(diǎn)E在△ABC上，距離A、B為15，求E點(diǎn)的投影。acXVHbbacddb1a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2sx

畫法幾何與陰影透視換面法小結(jié)一般位置直線投影面平行線投影面垂直線新軸∥保留投影新軸⊥實(shí)長(zhǎng)投影求TL、α、β求α保留H投影求β保留V投影可利用積聚性一般位置平面換兩次，先新軸∥保留投影換成投影面平行線，再新軸⊥實(shí)長(zhǎng)投影換成投影面垂直線新軸⊥平面上的投影面平行線的實(shí)長(zhǎng)投影投影面垂直面投影面平行面新軸∥積聚投影可利用積聚性；求平面的α、β求α作水平線求β作正平線求TS換兩次，先新軸⊥平面上的投影面平行線的實(shí)長(zhǎng)投影換成投影面垂直面，再新軸∥積聚投影換成投影面平行面

畫法幾何與陰影透視4.3繞垂直軸旋轉(zhuǎn)法

旋轉(zhuǎn)法就是投影面保持不動(dòng)，將空間幾何元素繞某一軸旋轉(zhuǎn)，使空間幾何元素對(duì)投影面處在有利于解題的相對(duì)位置。

此時(shí)，將問題所涉及到的其它幾何元素，按“繞同一條軸，按同一方向，旋轉(zhuǎn)同一角度”的“三同”原則，求出各幾何元素旋轉(zhuǎn)到新位置的投影，以利于解題。在繞垂直軸旋轉(zhuǎn)法的投影變換中，選擇什么樣的垂直軸，是有利于解題的關(guān)鍵所在。

畫法幾何與陰影透視4.3.1旋轉(zhuǎn)軸的選擇

如果要保持直線或平面的水平傾角α不變，必須選垂直于H面的旋轉(zhuǎn)軸；要保持直線或平面的正面傾角β不變，必須選垂直于V面的旋轉(zhuǎn)軸。

畫法幾何與陰影透視②點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)規(guī)律

若點(diǎn)繞某投影面的垂直軸旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)在該投影面上的投影作圓周運(yùn)動(dòng)，在另一投影面上的投影作平行于投影軸的直線運(yùn)動(dòng)。oo′4.3.2點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)規(guī)律VHAa′oOo′①點(diǎn)繞正垂軸旋轉(zhuǎn)

軌跡圓平行于V面，其V投影反映實(shí)形Aa′Aa′aa′a′aa′afffa′a′

畫法幾何與陰影透視4.3.3直線、平面的旋轉(zhuǎn)aa′b′b②直線旋轉(zhuǎn)的投影規(guī)律b1θθa1a1′b1′o′ooo′①直線的旋轉(zhuǎn)可用直線上兩點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)來決定。且必須遵循繞同一軸、按同一方向，旋轉(zhuǎn)同一角度的“三同原則”，以保證幾何元素相對(duì)位置不改變。

當(dāng)直線繞垂直于某一投影面的軸線旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線在該投影面上的投影長(zhǎng)度不變.直線上各點(diǎn)的另一面投影則作平行于投影軸的直線運(yùn)動(dòng)。因此直線在進(jìn)行繞鉛垂線旋轉(zhuǎn)法投影變換時(shí)，其水平面投影長(zhǎng)度不變。同樣道理，直線繞正垂線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)法投影變換時(shí)，其正投影長(zhǎng)度不變。等長(zhǎng)（1）直線的旋轉(zhuǎn)

畫法幾何與陰影透視（2）平面的旋轉(zhuǎn)aa′b′b②平面旋轉(zhuǎn)的投影變化規(guī)律b1θθa1a1′b1′cc′θc1′c1o′ooo′①平面的旋轉(zhuǎn)由不在同一直線上的三點(diǎn)(或其它幾何要素組合)的旋轉(zhuǎn)來決定。必須遵循繞同一軸、按同一方向，旋轉(zhuǎn)同一角度的“三同原則”，以保證幾何元素相對(duì)位置不改變。

當(dāng)平面圖形繞垂直于某一投影面的軸線旋轉(zhuǎn)時(shí)，它在該投影面上的投影形狀和大小不變。平面上各點(diǎn)的另一面投影則作平行于投影軸的直線運(yùn)動(dòng)。因此，當(dāng)平面繞正垂線旋轉(zhuǎn)時(shí)，它的正面投影形狀大小不變。當(dāng)平面繞鉛垂線旋轉(zhuǎn)時(shí)，它的水平投影形狀大小不變。全等

畫法幾何與陰影透視VHABa′b′b1′αaB1α

當(dāng)直線、平面繞垂直于某一投影面的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，它們對(duì)該投影面的傾角不變，而對(duì)另一面投影的傾角則隨著旋轉(zhuǎn)而改變。

當(dāng)過直線的端點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)軸時(shí),解題更簡(jiǎn)便.

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把一般位置直線旋轉(zhuǎn)成投影面平行線a′b′abb1′OXb1bSCABa′b1′∥OX

畫法幾何與陰影透視e′ea′b′c′bacb1c1a1e1a1′b1′e1′c1′α把一般位置平面旋轉(zhuǎn)成投影面垂直面

把一般位置平面旋轉(zhuǎn)成正（鉛）垂面,實(shí)際上就是把平面內(nèi)的一條水（正）平線旋轉(zhuǎn)為正（水）平線。求法為：在平面中求一條水平線（BE）將BE旋轉(zhuǎn)成正垂線B1E1，求得一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度。以同樣大小的旋轉(zhuǎn)角度將A、C兩點(diǎn)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求得正垂面A1B1C1(△ABC≌△A1B1C1)

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把投影面垂直面旋轉(zhuǎn)成投影面平行面a′b′c′abcb1a1實(shí)形a1′b1′