兩個幾何公理引起的思考

兩個幾何公理引起的思考

黃炳福初中數(shù)學(xué)教材里有兩個重要的公理：一個是“兩點間線段最短”，另一個是“垂線段最短”.它們對于解決動點問題中的路線最短問題是非常重要的工具.教者應(yīng)多思考、多歸納，引起足夠重視.1.計算一個動點問題中的路線最短教材中提出的問題：在一條河l的同側(cè)有張莊A、李莊B，問在河邊的什么位置建水泵站，使安裝水管的長度和最短？具體做法：如圖，作A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，點P為建水泵站的位置.理由：連接PA，∵點A、A′關(guān)于l對稱∴PA=PA′又∵PA=PA′∴PA+PB=PA′+PB=A′B，則A′B的長為PA+PB和的最小值.當(dāng)P在直線l上另一個位置P′都會有P′A′+P′B>A′B（兩點之間線段最短）.思考1：已知一點P在∠AOB的內(nèi)部，在OA，OB邊上分別取一點M，N使△PMN的周長最小（將軍飲馬問題）？具體做法：如圖作P關(guān)于OA、OB的對稱點P′、P″，連接P′P″分別交OA、OB于M、N，則△PMN的周長最小.理由：易證△PMN的周長為P′P″的長，由兩點之間線段最短可知△PMN的周長最小.思考2：已知兩條線段AC與BD有唯一的公共點M，以A、B、C、D為頂點所構(gòu)成的多邊形中，面積最大時，求該多邊形周長的最小值？分兩種情況討論.①構(gòu)成三角形時，設(shè)AC與BD的夾角為α，AC=a，BD=b，則S=absinα，當(dāng)α=90°時S最大，即AC⊥BD.∵C=AB+AD+BD=AB+AD+b∴當(dāng)AB+AD最小時，C最小.作法：過點A作直線l//BD，作點B關(guān)于l的對稱點B′，連接DB′交l于A，此時C最小.理由：∵BD=b，AB=AB′，AB+AD=BD′利用兩點間線段最短可知C最小∵直線l//BD，點B、點B′關(guān)于l對稱，∴B′B⊥BD.在Rt△B′BD中，BB′=2a，B′D==，∴C最小值為b+.②構(gòu)成四邊形，易證AC⊥BD時，四邊形ABCD面積最大.由①得，AB=AD時，AB+AD最小.CD=CB時，CB+CD最小.BA=BC時，BA+BC最小.DA=DC時，DA+DC最小.∴當(dāng)AC和BD互相平分時，四邊形ABCD周長最小.又∵AC=a，BD=b，∴四邊形ABCD是邊長為

的正方形.正方形ABCD周長=易證可知：構(gòu)成多邊形為正方形時，周長最小.2.計算兩個動點問題中的路線和最短問題1：在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+BN的最小值是多少？作法：作點B關(guān)于AD的對稱點B′，再作B′N⊥AB于N交AD于M，則MN+MB最小.如下圖：理由：由對稱性可知BM=B′M.∴BM+B′M=B′B又∵B′N⊥AB∴點B′到AB兩點的距離之和最小為B′N的長.由兩點間線段最短和垂線段最短得點B在AC上，易證△B′NB為等腰直角三角形.問題2：如圖已知矩形ABCD中，AB=12，AD=3，E、F分別是AB、DC邊上的兩個動點，則AF+FE+EC的最小值為多少？作法：作A關(guān)于DC的對稱點A′，C關(guān)于AB的對稱點C′，連接AC，分別交DC，AB于F、E，則AF+FE+EC最小.如下圖所示.理由：由對稱性可知：AF=A′F，CE=C′E，則AF+EF+EC=A′F+EF+EC′=A′C′.根據(jù)兩點間線段最短可知A′C′的長為AF+EF+EC的最小值.作C′M⊥AA′延長線于點M，易知AA′=9，MC′=12，在RT△A′MC′中，A′C′==15.在此就兩個公理的簡單應(yīng)用列舉了一些實例，給大家研究路線最短問題提供了一個思路.路線最短問題是中考