理學(xué)概率教案1-3

[理學(xué)]概率(gàilǜ)教案1-3第一頁，共58頁。一、條件概率許多情況下，我們會(huì)遇到在事件A發(fā)生的條件下求事件B的概率問題，我們把這個(gè)(zhège)概率稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B的條件概率。記作：P(B/A)；相應(yīng)地，P(B)稱為無條件概率。例如(lìrú)：老張有3個(gè)孩子，老大是女孩，求另外兩個(gè)孩子也是女孩的概率(假設(shè)男孩、女孩出生率相同)。解：記A={老大是女孩(nǚhái)}，B={三個(gè)孩子都是女孩(nǚhái)}所求概率為在事件A發(fā)生的條件下事件B的條件概率P(B/A)。顯然

P(B/A)=1/4.第二頁，共58頁。另一方面，我們(wǒmen)再求一下P(AB)/P(A)。易知P(AB)/P(A)=1/4，這里我們(wǒmen)得到一個(gè)等式：這個(gè)等式啟發(fā)我們引入條件(tiáojiàn)概率的定義：定義1：設(shè)A、B是樣本空間S中的兩個(gè)(liǎnɡɡè)事件，且P(A)>0，稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。第三頁，共58頁。二、概率乘法公式定理：兩個(gè)(liǎnɡɡè)事件積的概率等于其中一個(gè)事件的概率與另一事件在前一事件發(fā)生的條件下的條件概率之積。即：P(AB)=Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ/Ａ)P(AB)=Ｐ(Ｂ)Ｐ(Ａ/Ｂ)將上式變形就得到(dédào)概率論中非常有名的乘法公式：下面我們利用(lìyòng)概率的統(tǒng)計(jì)定義證明一下這個(gè)結(jié)論。第四頁，共58頁。證明：假設(shè)試驗(yàn)重復(fù)(chóngfù)了n次，事件A發(fā)生了m次，事件B發(fā)生了k次，事件AB發(fā)生了r次，那么事件A發(fā)生的頻率為：m/n事件B發(fā)生的頻率為：k/n事件AB發(fā)生的頻率為：r/n在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的頻率為：r/m由于B由概率(gàilǜ)的統(tǒng)計(jì)定義,概率(gàilǜ)是頻率的穩(wěn)定性數(shù)值,故第五頁，共58頁。B問：P(B/A)與P(B)的樣本空間一樣(yīyàng)嗎？第六頁，共58頁。注意：上述公式還可以推廣(tuīguǎng)到三個(gè)及以上的情形用條件(tiáojiàn)概率解答以下問題.第七頁，共58頁。討論：用條件概率解答囚犯和看守關(guān)于處決誰是否要保密的問題.問題：監(jiān)獄看守通知三個(gè)囚犯，在他們?nèi)酥幸S機(jī)地選出一個(gè)處決，而把另外兩個(gè)釋放。囚犯甲請(qǐng)求看守秘密告訴(ɡàosù)他，另外兩個(gè)囚犯中誰將獲得自由。請(qǐng)問：就甲的求生而言，看守該如何做對(duì)甲有利？解：設(shè)A=“甲被處決(chǔjué)〞，B=“乙被處決(chǔjué)〞，C=“丙被處決(chǔjué)〞注意(zhùyì):A、B、C是兩兩互斥事件。第八頁，共58頁。假設(shè)看守不告訴甲：P(A)=1/3假設(shè)看守告訴甲，比方(bǐfɑng)乙將獲釋，那么：同理：第九頁，共58頁。討論：用條件(tiáojiàn)概率計(jì)算抽簽問題5個(gè)球迷得到一場(chǎng)精彩球賽的入場(chǎng)券，只好用抽簽方式?jīng)Q定誰去。解：記Ai=“第i人抽到入場(chǎng)券〞,i=1,2,3,4,5.=“第i人沒抽到入場(chǎng)券,i=1,2,3,4,5.第十頁，共58頁。第二個(gè)人抽到意味著第一個(gè)人未抽到，第十一頁，共58頁。同理：第三個(gè)人抽到意味著前兩人均(rénjūn)未抽到類似(lèisì)可得：P(A4)=P(A5)=1/5.第十二頁，共58頁。解：令A(yù)i={第i次取到黑球(hēiqiú)},Bj={第j次取到紅球}i,j=1,2,3,4,…例1〔波里亞罐子模型(móxíng))：一個(gè)罐子中裝有b個(gè)黑球和r個(gè)紅球，從罐中隨機(jī)地摸取一球，觀看顏色后再放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所取出的球具有相同顏色的球。這種過程進(jìn)行四次，試求第一、二次取到黑球且第三、四次取到紅球的概率。那么A1A2B3B4表示事件“第一、二次取到黑球且第三(dìsān)、四次取到紅球〞，于是第十三頁，共58頁。說明：當(dāng)c>0時(shí)，每次取出球后都會(huì)增加下一次再取到同色球的概率，這其實(shí)是一個(gè)(yīɡè)傳染病模型，即每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)(yīɡè)傳染病患者后都會(huì)增加下一次再傳染的概率。第十四頁，共58頁。解：令A(yù)i={第i次撥號(hào)(bōh(huán)ào)才接通},i=1,2,3〔1〕撥號(hào)不超過3次而接通(jiētōnɡ)的概率?！?〕第3次撥號(hào)才接通(jiētōnɡ)的概率例2：某人忘記了號(hào)碼的最后(zuìhòu)一個(gè)數(shù)字，因而他隨機(jī)地?fù)芴?hào)，假設(shè)撥過的數(shù)字不再重復(fù)，試求以下事件的概率。〔1〕撥號(hào)不超過3次而接通可表示為：第十五頁，共58頁。于是(yúshì)：〔2〕第3次撥號(hào)才接通(jiētōnɡ)可表示為：第十六頁，共58頁。三、事件的獨(dú)立性由條件概率我們知道，一般情況下P(B/A)≠P(B)，但有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)P(B/A)=P(B)的情況。例如：同時(shí)拋擲兩枚均勻的硬幣(yìngbì)記A={第一枚出現(xiàn)正面}，B={第二枚出現(xiàn)正面}顯然P(B)=1/2，P(B/A)=1/2,也就是說，A事件發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，即P(B/A)=P(B)，這時(shí)我們稱事件A與B是相互獨(dú)立的。第十七頁，共58頁。在事件(shìjiàn)A與B相互獨(dú)立的情況下，乘法公式變得非常簡(jiǎn)單，即P(AB)=P(A)P(B)我們就用上式來定義事件(shìjiàn)的獨(dú)立性定義：設(shè)A、B為兩事件(shìjiàn)，假設(shè)滿足P(AB)=P(A)P(B)那么稱A與B是相互獨(dú)立的。第十八頁，共58頁。例：從一幅不含大小王的撲克牌中任抽一張，記A=“抽到K〞，B=“抽到黑色的牌〞，問事件A與B是否(shìfǒu)獨(dú)立？解：P(A)=4/52=1/13，P(B)=26/52=1/2，P(AB)=2/52=1/26，所以(suǒyǐ)P(AB)=P(A)P(B)即A與B是相互獨(dú)立的。第十九頁，共58頁?！粽f明：n個(gè)事件相互獨(dú)立(dúlì)與兩兩獨(dú)立(dúlì)的區(qū)別下面(xiàmian)以3個(gè)事件為例：三個(gè)事件A、B、C相互獨(dú)立，必須滿足如下(rúxià)條件：P(AB)=P(A)P(B)

P(BC)=P(B)P(C)

P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)三個(gè)事件A、B、C兩兩獨(dú)立，只需滿足P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)第二十頁，共58頁。一般情況下，當(dāng)A、B、C兩兩獨(dú)立時(shí)，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不一定(yīdìng)成立。〔課本P29第19題〕1、事件獨(dú)立(dúlì)性的重要結(jié)論

〔1〕假設(shè)事件A與事件B是相互獨(dú)立(dúlì)的，那么也是相互(xiānghù)獨(dú)立的。〔2〕設(shè)A1,A2,A3,……,An相互獨(dú)立，那么有P(A1A2A3……An)第二十一頁，共58頁。〔1〕證明(zhèngmíng)：第二十二頁，共58頁。〔2〕P(A1A2A3……An)2、利用獨(dú)立性求事件(shìjiàn)的概率第二十三頁，共58頁。注：實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于事件(shìjiàn)的獨(dú)立性我們往往不是根據(jù)定義來判斷，而是根據(jù)實(shí)際意義來判斷。例1:甲、乙、丙三人進(jìn)行(jìnxíng)射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為0.6,乙擊中目標(biāo)的概率為0.55,丙擊中目標(biāo)的概率為0.45。令A(yù)i=“第i人擊中目標(biāo)〞，i=1，2，3?！?〕求三人都擊中目標(biāo)的概率?！?〕求目標(biāo)被擊中的概率。(1)解：P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3第二十四頁，共58頁。(2)P(A1+A2+A3)=例2：假設(shè)每個(gè)人的血清(xuèqīng)中含有肝炎病毒的概率為0.004,混合100個(gè)人的血清(xuèqīng)，求此混合血清(xuèqīng)中含有肝炎病毒的概率。解：設(shè)Ak=“第k人的血清中含有肝炎(ɡānyán)病毒〞，k=1,2,…，100B=“混合血清中含有肝炎(ɡānyán)病毒〞第二十五頁，共58頁。第二十六頁，共58頁。例3：〔系統(tǒng)可靠性問題〕電子元件(yuánjiàn)正常工作的概率稱為該元件(yuánjiàn)的可靠性。設(shè)每個(gè)電子元件(yuánjiàn)正常工作的概率為r,且是否正常工作相互獨(dú)立，考察以下系統(tǒng)的可靠性。第二十七頁，共58頁。四、全概率(gàilǜ)公式與貝葉斯公式設(shè)B1,B2,…Bn為樣本空間S的一組事件，且滿足：BiBj=,ij,i,j=1,2,…..n；B1B2…Bn=S那么(nàme)對(duì)S中任意事件A，有(1)式稱為全概率(gàilǜ)公式，(2)式稱為貝葉斯公式。第二十八頁，共58頁。全概率(gàilǜ)公式所以(suǒyǐ)A=AS=A(B1B2…Bn)=AB1AB2…ABn從而(cóngér)P(A)=P(AS)=P(AB1AB2…ABn)

=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)

=P(B1)P(A|B1)+P(B2)

P(A|

B2)+…+P(Bn)P(A|

Bn)證明：由于B1B2…Bn=S第二十九頁，共58頁。(2)貝葉斯公式(gōngshì)證明(zhèngmíng)：第三十頁，共58頁。定義(dìngyì)：樣本空間的劃分我們稱滿足：BiBj=,ij,i,j=1,2,…..n；B1B2…Bn=S的一組事件B1,B2,…Bn為樣本空間S的一個(gè)(yīɡè)劃分。第三十一頁，共58頁。說明:全概公式的作用在于把一個(gè)事件A化為許多互斥事件的和，且A至少與某個(gè)(mǒuɡè)Bi一同出現(xiàn)。下面看一下(yīxià)全概公式與貝葉斯(bayes)公式的應(yīng)用。第三十二頁，共58頁。例1：設(shè)某廠所用的晶體管是由甲、乙、丙三個(gè)廠家提供的，根據(jù)以往(yǐwǎng)的記錄有以下的數(shù)據(jù)：設(shè)三個(gè)廠家的產(chǎn)品(chǎnpǐn)在倉庫中是均勻混合的。(1)在倉庫中任取一只晶體管，求它是次品的概率；(2)在倉庫中任取一只晶體管，發(fā)現(xiàn)它是次品，問它是由甲廠生產(chǎn)的概率？第三十三頁，共58頁。(1)解：設(shè)A=“取到的一只晶體管是次品(cìpǐn)〞Bi=“取到的是第i廠的產(chǎn)品〞，i=1,2,3.那么(nàme)B1,B2,B3是樣本空間的一個(gè)劃分，且P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05；P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3由全概率(gàilǜ)公式:P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)第三十四頁，共58頁。(2)由貝葉斯公式(gōngshì)P(B1|A)=同理P(B2|A)=0.64,P(B3|A)=0.12.所以(suǒyǐ)乙廠生產(chǎn)的可能性最大。第三十五頁，共58頁。例2：某發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號(hào)“＋〞與“－〞。由于通信(tōngxìn)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“＋〞時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率0.8和0.2收到信號(hào)“＋〞與“－〞；當(dāng)發(fā)出信號(hào)“－〞時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率0.9和0.1收到信號(hào)“－〞與“＋〞?！玻薄城笫?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“＋〞的概率?！玻病臣僭O(shè)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“＋〞，求是由信號(hào)“＋〞發(fā)出的概率。第三十六頁，共58頁。解：A={發(fā)出信號(hào)“＋〞}，顯然(xiǎnrán)A，是樣本空間的一個(gè)(yīɡè)劃分,于是={收到信號(hào)(xìnhào)“－〞}；={發(fā)出信號(hào)“－〞}；B={收到信號(hào)“＋〞}，第三十七頁，共58頁。例3：男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲，今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)(suíjī)地挑選一人，恰好是色盲，求此人是男人的概率。是樣本空間的一個(gè)(yīɡè)劃分,于是={任選的一人(yīrén)是女人}；解：A={任選的一人是男人}，B={任選的一人是色盲}，顯然A，第三十八頁，共58頁。第三十九頁，共58頁。例4：甲盒中有3只白球2只黑球(hēiqiú)，乙盒中有4只白球5只黑球(hēiqiú)，今從甲盒中任取一球放入乙盒中，再從乙盒中任取一球，求從乙盒中取到白球的概率。=“從甲盒中取出的一球是黑球(hēiqiú)〞;解：設(shè)A=“從甲盒中取出的一球是白球〞，B=“從乙盒中取出白球〞第四十頁，共58頁。由全概率(gàilǜ)公式顯然(xiǎnrán)A，是樣本空間的一個(gè)(yīɡè)劃分，第四十一頁，共58頁。第一章小結(jié)概率(gàilǜ)論根本概念事件間的關(guān)系和運(yùn)算概率(gàilǜ)的根本性質(zhì)古典概型與幾何概型條件概率(gàilǜ)、乘法公式及事件的獨(dú)立性全概公式與貝葉斯公式第四十二頁，共58頁。解：A={甲中靶},B={乙中靶},C={丙中靶}；D={三發(fā)中恰兩發(fā)子彈(zǐdàn)中靶},那么練習(xí)1：甲、乙、丙三人向靶子各射擊一次，結(jié)果有兩發(fā)子彈(zǐdàn)中靶。甲、乙、丙中靶的概率分別為4/5，3/4，2/3，求丙脫靶的概率。第四十三頁，共58頁。補(bǔ)充例題：甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中飛機(jī)的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，假設(shè)(jiǎshè)被三人擊中,飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.第四十四頁，共58頁。Bi={飛機(jī)(fēijī)被擊中i處},i=0,1,2,3解：Ai={第i人擊中飛機(jī)(fēijī)},i=1,2,3C={飛機(jī)(fēijī)被擊落}第四十五頁，共58頁。顯然B0，B1，B2，B3構(gòu)成(gòuchéng)樣本空間的一個(gè)劃分，且第四十六頁，共58頁。由全概率(gàilǜ)公式:即飛機(jī)被擊落(jīluò)的概率為0.458.第四十七頁，共58頁。作業(yè)：從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有2只能(zhīnénɡ)配成一雙的概率。解：A={4只鞋子中至少(zhìshǎo)有2只能配成一雙}={4只鞋子(xiézi)全不成雙}第四十八頁，共58頁。思考：從5雙不同(bùtónɡ)的鞋子中任取4只，求這４只鞋子中至少有２只能配成一雙的概率．第四十九頁，共58頁。討論：n個(gè)男生，m個(gè)女生(nǚshēng)〔m<=n+1〕隨機(jī)地排成一列，問任意兩個(gè)女孩都不相鄰的概率是多少？解：假設(shè)(jiǎshè)這n+m個(gè)小孩圍成一圈，那么上述結(jié)果為：第五十頁，共58頁。登徒子好色賦宋玉作者簡(jiǎn)介：〔約公元前298~約公元前222〕，宋玉所處的時(shí)代是戰(zhàn)國(guó)后期(hòuqī)，其生活時(shí)代主要是楚頃襄王在位時(shí)期，卒于楚亡之時(shí)。宋玉知識(shí)淵博，會(huì)寫文章，又通曉音律。大夫登徒子侍于楚王，短宋玉曰：“玉為人體貌閑麗〔體態(tài)文雅，容貌美麗〕，口多微辭〔說話婉轉(zhuǎn)而巧妙〕，又性好色，愿王勿與出入后宮。〞王以登徒子之言問宋玉。玉曰：“體貌閑麗，所第五十一頁，共58頁。受于天〔天生的〕也。口多微辭，所學(xué)于師也。至于好色，臣無有也。〞王曰：“子不好色，亦有說乎？有說那么止，無說那么退。〞玉說：“天下之佳人莫假設(shè)楚國(guó)，楚國(guó)之麗者莫假設(shè)臣里，臣里之美者莫假設(shè)臣東家之子。東家之子，