計算機圖形學(xué) 二維變換

計算機圖形學(xué)二維變換第1頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四◆齊次坐標(biāo)◆二維圖形基本幾何變換矩陣◆Cohen-Sutherland直線裁剪算法本章學(xué)習(xí)目標(biāo)第2頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四本章內(nèi)容5.1圖形幾何變換基礎(chǔ)5.2二維圖形基本幾何變換矩陣5.3二維復(fù)合變換5.4二維圖形裁剪5.5Cohen-Sutherland直線裁剪算法第3頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.1圖形幾何變換基礎(chǔ)通過對圖形進行幾何變換，可以由簡單圖形構(gòu)造復(fù)雜圖形。圖形幾何變換是對圖形進行平移變換、比例變換、旋轉(zhuǎn)變換、反射變換和錯切變換。圖形幾何變換可以分為二維圖形幾何變換和三維圖形幾何變換，而二維圖形幾何變換是三維圖形幾何變換的基礎(chǔ)

。第4頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.1圖形幾何變換基礎(chǔ)5.1.1規(guī)范化齊次坐標(biāo)

5.1.2矩陣相乘

5.1.3二維變換矩陣5.1.4二維幾何變換第5頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.1.1規(guī)范化齊次坐標(biāo)

為了使圖形幾何變換表達(dá)為圖形頂點集合矩陣與某一變換矩陣相乘的問題，引入了規(guī)范化齊次坐標(biāo)。所謂齊次坐標(biāo)就是用n＋1維矢量表示n維矢量。例如，在二維平面中，點P(x，y)的齊次坐標(biāo)表示為（wx，wy，w）。類似地，在三維空間中，點P(x，y，z)的齊次坐標(biāo)表示為（wx，wy，wz，w）。這里，w為任一不為0的比例系數(shù)，如果w＝1就是規(guī)范化的齊次坐標(biāo)。二維點P(x，y)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)為〔x，y，1〕，三維點P(x，y，z)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)為〔x，y，z，1〕。不能寫成下標(biāo)形式，w和x，w和y，w和z是乘法的關(guān)系。定義了規(guī)范化齊次坐標(biāo)以后，圖形幾何變換可以表示為圖形頂點集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣與某一變換矩陣相乘的形式。第6頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

二維圖形頂點表示為規(guī)范化齊次坐標(biāo)后，其圖形頂點集合矩陣一般為n×3的矩陣，其中n為頂點數(shù)，變換矩陣為3×3的矩陣。在進行圖形幾何變換時需要用到線性代數(shù)里的矩陣相乘運算。例如，對于n×3的矩陣A和3×3的矩陣B，矩陣相乘公式為：5.1.2矩陣相乘

（5-1）第7頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四由線性代數(shù)知道，矩陣乘法不滿足交換律，只有左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才可以相乘。特別地，對于二維變換的兩個3×3的方陣A和B，矩陣相乘公式為：

類似地，可以處理三維變換的兩個4×4的矩陣相乘問題

第8頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.1.3二維變換矩陣

用規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示的二維基本幾何變換矩陣是一個3×3的方陣，簡稱為二維變換矩陣。從功能上可以把二維變換矩陣T分為4個子矩陣。其中是對圖形進行比例、旋轉(zhuǎn)、反射和錯切變換；

是對圖形進行平移變換；

是對圖形進行投影變換；

是對圖形進行整體比例變換。

（5-2）第9頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

二維幾何變換的基本方法是把變換矩陣作為一個算子，作用到變換前的圖形頂點集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣上，得到變換后新的圖形頂點集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣。連接變換后的新圖形頂點，就可以繪制出變換后的二維圖形

5.1.4二維幾何變換

設(shè)變換前圖形頂點集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣為：

變換后圖形頂點集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣為：第10頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四二維變換矩陣為：則二維幾何變換公式為，可以寫成：

第11頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.2二維圖形基本幾何變換矩陣

5.2.1平移變換矩陣5.2.2比例變換矩陣5.2.3旋轉(zhuǎn)變換矩陣5.2.4反射變換矩陣5.2.5錯切變換矩陣

第12頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.2二維圖形基本幾何變換矩陣

二維圖形基本幾何變換是指相對于坐標(biāo)原點和坐標(biāo)軸進行的幾何變換，包括平移、比例、旋轉(zhuǎn)、反射和錯切五種變換。本節(jié)以點的二維基本幾何變換為例進行講解。二維坐標(biāo)點的基本幾何變換可以表示成P’=PT的形式，其中，P為變換前點的規(guī)范化齊次坐標(biāo)點，P’為變換后點的規(guī)范化齊次坐標(biāo)點，T為3×3的變換矩陣。第13頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.2.1平移變換矩陣

平移變換是指將坐標(biāo)點P(x,y)從位置移動到P‘(x’,y‘)位置的過程，如圖5-1所示。平移變換的坐標(biāo)表示為：

圖5.1平移變換654321O123456yxPP’TxTy第14頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四因此，二維平移變換矩陣為：

式中，Tx，Ty為平移參數(shù)。（5-4）相應(yīng)的齊次坐標(biāo)矩陣表示為：第15頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.2.2比例變換矩陣

比例變換是指坐標(biāo)點P(x,y)相對于坐標(biāo)原點O，沿x方向縮放Sx倍，沿y方向縮放Sy倍，得到點P’(x’,y‘)的過程，如圖5-2所示。圖5.2比例變換PP‘sysx第16頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四比例變換的坐標(biāo)表示為：

相應(yīng)的齊次坐標(biāo)矩陣表示為：

因此，二維比例變換矩陣為：

式中，Sx，Sy為比例系數(shù)

（5-5）第17頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

比例變換可以改變圖形的形狀。當(dāng)Sx＝Sy且Sx、Sy大于1時，圖形等比放大；當(dāng)Sx＝Sy且Sx、Sy小于1大于0時，圖形等比縮??；當(dāng)Sx≠Sy時，圖形發(fā)生形變。前面介紹過變換矩陣的子矩陣

是對圖形作整體比例變換，關(guān)于這一點可以令Sx＝Sy＝S導(dǎo)出，請注意這里s＝1/S，即s>1時，圖形整體縮??；0<s<1時，圖形整體放大。

第18頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.2.3旋轉(zhuǎn)變換矩陣

旋轉(zhuǎn)變換是將坐標(biāo)點P(x,y)相對于坐標(biāo)原點O旋轉(zhuǎn)一個角度β（逆時針為正，順時針為負(fù)），得到點P‘(x’,y‘)的過程，如圖5-3所示。βPP’α圖5-3旋轉(zhuǎn)變換對于點，極坐標(biāo)表示為：第19頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四旋轉(zhuǎn)變換的坐標(biāo)表示為：

相應(yīng)的齊次坐標(biāo)矩陣表示為：

因此，二維旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：(5-6)第20頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四式中，α為旋轉(zhuǎn)起始角，β為旋轉(zhuǎn)終止角。式（5-6）為繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)的變換矩陣，若旋轉(zhuǎn)方向為順時針，β角取為負(fù)值。順時針旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

第21頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.2.4反射變換矩陣反射變換也稱為對稱變換，是將坐標(biāo)點P(x,y)關(guān)于原點或某個坐標(biāo)軸反射得到

P’(x‘,y’)點的過程。具體可以分為關(guān)于原點反射、關(guān)于x軸反射、關(guān)于y軸反射等幾種情況，如圖5-4所示。（a）關(guān)于原點反射（b）關(guān)于x軸反射（c）關(guān)于y軸反射圖5-4反射變換第22頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四關(guān)于原點反射的坐標(biāo)表示為：

相應(yīng)的齊次坐標(biāo)矩陣表示為：因此，關(guān)于原點的二維反射變換矩陣為：

（5-7）第23頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四同理可得，關(guān)于x軸的二維反射變換矩陣為：同理可得，關(guān)于y軸的二維反射變換矩陣為：（5-8）（5-9）第24頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.2.5錯切變換矩陣

錯切變換是將坐標(biāo)點P(x,y)沿x和y軸發(fā)生不等量的變換，得到點P‘(x’,y‘)的過程。如圖5-5所示。

（a）正方形（b）沿+x方向錯切（c）沿-x方向錯切BADCABCDb=0c=1b=0c=-1BACD第25頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四（d）沿+y方向錯切（e）沿-y方向錯切（f）沿+x和+y方向錯切沿x，y方向的錯切變換的坐標(biāo)表示為：相應(yīng)的齊次坐標(biāo)矩陣表示為：圖5-5錯切變換BADCb=1c=0CCDDBBAAb=-1c=0b=1c=1第26頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四因此，沿x，y兩個方向的二維錯切變換矩陣為：其中c、b為錯切參數(shù)。

（5-10）第27頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

的非對角線元素大多為零，如果c和b不為零，則意味著對圖形進行錯切變換，如圖5-5（f）所示。令b＝0可以得到沿x方向的錯切變換，c>0是沿x正向的錯切變換，c<0是沿x負(fù)向的錯切變換，如圖5-5（b）和（c）所示。令c＝0可以得到沿y方向的錯切變換，b>0是沿y正向的錯切變換，b<0是沿y負(fù)向的錯切變換，如圖5-5（d）和（e）所示。在前面的變換中，子矩陣

第28頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四

上面討論的五種變換給出的都是點變換的公式，對于線框模型，圖形的變換實際上都可以通過點變換來完成。例如直線段的變換可以通過對兩個頂點坐標(biāo)進行變換，連接新頂點得到變換后的新直線；多邊形的變換可以通過對每個頂點進行變換，連接新頂點得到變換后的新多邊形來實現(xiàn)。曲線的變換可通過變換控制多邊形的控制點并重新畫線來完成。符合下面形式的坐標(biāo)變換稱為二維仿射變換（AffineTransformation）。（5-11）第29頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四變換后的坐標(biāo)x’和y’都是變換前的坐標(biāo)x和y的線性函數(shù)。參數(shù)aij是由變換類型確定的常數(shù)。仿射變換具有平行線變換成平行線，有限點映射到有限點的一般特性。平移、比例、旋轉(zhuǎn)、反射和錯切五種變換都是二維仿射變換的特例，任何一組二維仿射變換總可表示為這五種變換的組合。因此，平移、比例、旋轉(zhuǎn)、反射的仿射變換保持變換前后兩直線間的角度、平行關(guān)系和長度之比不改變。第30頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四復(fù)習(xí)：設(shè)變換前圖形頂點集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣為：

變換后圖形頂點集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣為：第31頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四二維變換矩陣為：則二維幾何變換公式為，可以寫成：

第32頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四二維平移變換矩陣為：

二維比例變換矩陣為：

二維旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：順時針旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

第33頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四關(guān)于原點的二維反射變換矩陣為：

關(guān)于x軸的二維反射變換矩陣為：關(guān)于y軸的二維反射變換矩陣為：第34頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.3二維復(fù)合變換5.3.1復(fù)合變換原理5.3.2相對于任一參考點的二維幾何變換5.3.3相對于任意方向的二維幾何變換第35頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.3.1復(fù)合變換原理復(fù)合變換是指圖形做了一次以上的基本幾何變換，是基本幾何變換的組合形式，復(fù)合變換矩陣是基本幾何變換矩陣的組合。其中，T為復(fù)合變換矩陣，T1,T2…Tn為單次基本幾何變換矩陣。值得注意是：進行復(fù)合變換時，需要注意矩陣相乘的順序。由于矩陣乘法不滿足交換律，因此通常T1T2≠T2T1，在復(fù)合變換中，矩陣相乘的順序不可交換。通常先計算出，再計算第36頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.3.2相對于任一參考點的二維幾何變換

前面已經(jīng)定義，二維基本幾何變換都是相對于坐標(biāo)原點進行的平移、比例、旋轉(zhuǎn)、反射和錯切五種變換，但在實際應(yīng)用中常會遇到參考點不在坐標(biāo)原點的情況。相對于任一參考點的變換方法為首先將參考點平移到坐標(biāo)原點，對坐標(biāo)原點進行二維基本幾何變換，然后再將參考點平移回原位置。

例1一個由頂點P1（10，10），P2（30，10）和P3（20，25）所定義的三角形，如圖5-6所示，相對于點Q（10，25）逆時針旋轉(zhuǎn)30°，求變換后的三角形頂點坐標(biāo)。第37頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四P1P2P3Q

圖5-6示例圖第38頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第一步Q點平移至坐標(biāo)原點，如圖5-7所示。QP3P1P2圖5-7平移

變換矩陣為：第39頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第二步三角形相對于坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)30°，如圖5-8所示。P1P2P3Q

圖5-8旋轉(zhuǎn)

變換矩陣為：第40頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四P1P2P3Q第三步參考點Q平移回原位置，如圖5-9所示。變換矩陣為：圖5-9反平移第41頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四圖形變換后的頂點的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣等于變換前的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣乘以變換矩陣。而所以P1（17.5，12.01），P2（34.82，22.01）P3（18.66，30）。第42頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.3.3相對于任意方向的二維幾何變換二維基本幾何變換是相對于坐標(biāo)軸進行的平移、比例、旋轉(zhuǎn)、反射和錯切五種變換，但在實際應(yīng)用中常會遇到變換方向不與坐標(biāo)軸重合的情況。相對于任意方向的變換方法為首先對任意方向做旋轉(zhuǎn)變換，使變換方向與坐標(biāo)軸重合，然后對坐標(biāo)軸進行二維基本幾何變換，最后做反向旋轉(zhuǎn)變換，將任意方向還原回原來的位置。第43頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四例2圖5-10所示三角形相對于軸線y=kx+b作反射變換，求每一步相應(yīng)的變換矩陣。y=kx+b（0，b）

圖5-10原始圖形第44頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第一步將點（0，b）平移至坐標(biāo)原點，如圖5-11所示。圖5-11平移變換矩陣為：第45頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第二步將軸線y=kx繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)β角(β=arctank)，落于x軸上，如圖5-12所示。。變換矩陣為：圖5-12旋轉(zhuǎn)第46頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第三步三角形相對x軸作反射變換，如圖5-13所示。。變換矩陣為：圖5-13反射第47頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四第四步將軸線y=kx逆時針旋轉(zhuǎn)β角(β=arctank)，如圖5-14所示。變換矩陣為：圖5-14反旋轉(zhuǎn)第48頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四圖5-15反平移第五步將軸線平移回原來的位置，如圖5-15所示。。變換矩陣為：第49頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.4二維圖形裁剪5.4.1圖形學(xué)中常用的坐標(biāo)系5.4.2窗口和視區(qū)及窗視變換5.4.3窗視變換矩陣第50頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.4.1圖形學(xué)中常用的坐標(biāo)系

計算機圖形學(xué)中常用的坐標(biāo)系有用戶坐標(biāo)系、觀察坐標(biāo)系、設(shè)備坐標(biāo)系和規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系等。1.用戶坐標(biāo)系（UserCoordinate，UC)

用戶定義原始圖形所采用的坐標(biāo)系稱為用戶坐標(biāo)系。用戶坐標(biāo)系通常根據(jù)應(yīng)用的需要可以選擇直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系以及極坐標(biāo)系等等。圖5-16所示為常用的二維和三維用戶直角坐標(biāo)系。第51頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5-16二維和三維用戶坐標(biāo)系2.觀察坐標(biāo)系(ViewCoordinate，VC)

依據(jù)觀察窗口的方向和形狀在用戶坐標(biāo)系中定義的坐標(biāo)系稱為觀察坐標(biāo)系，觀察坐標(biāo)系用于指定圖形的哪一部分可以輸出范圍。第52頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5-17觀察坐標(biāo)系3.設(shè)備坐標(biāo)系(DeviceCoordinate，DC)

顯示器等圖形輸出設(shè)備自身都有一個坐標(biāo)系稱為設(shè)備坐標(biāo)系，也稱為屏幕坐標(biāo)系。設(shè)備坐標(biāo)系是二維坐標(biāo)系，原點位于屏幕左上角，x軸垂直向右，y軸垂直向下，基本單位為像素。

5-18設(shè)備坐標(biāo)系5-19規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系第53頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四4.規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系(NormalizedDeviceCoordinate，NDC)

規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系是將設(shè)備坐標(biāo)系規(guī)格化到[0.0，0.0]到[1.0，1.0]的范圍內(nèi)而定義的坐標(biāo)系。規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系獨立于具體輸出設(shè)備。一旦圖形變換到規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系中，只要作一個簡單的乘法運算即可映射到具體的設(shè)備坐標(biāo)系中。由于規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系能統(tǒng)一用戶各種圖形的顯示范圍，故把用戶圖形變換成規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系中的統(tǒng)一大小標(biāo)準(zhǔn)圖形的過程叫作圖形的邏輯輸出。把規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)圖形送到顯示設(shè)備上輸出的過程叫作圖形的物理輸出。有了規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系后，圖形的輸出可以在抽象的顯示設(shè)備上進行討論，因而這種圖形學(xué)又稱為與具體設(shè)備無關(guān)的圖形學(xué)。第54頁，共62頁，2023年，2月20日，星期四5.4.2窗口和視區(qū)及窗視變換在觀察坐標(biāo)系中定義的確定顯示內(nèi)容的區(qū)域稱為窗口。顯然此時窗口內(nèi)的圖形是用戶希望在屏幕上輸出的，窗口是裁剪圖形的標(biāo)準(zhǔn)參照物。在設(shè)備坐標(biāo)系中定義的輸出圖形的區(qū)域稱為視區(qū)。視區(qū)和窗口的大小可以不相同。一般情況下，用戶把窗口內(nèi)感興趣的圖形輸出到屏幕上相應(yīng)的視區(qū)內(nèi)。在屏幕上可以定義多個視區(qū)，用來同時顯示不同的窗口內(nèi)的圖形信息，圖5-20定義了3個窗口內(nèi)容用于輸出，圖5-21的屏幕被劃分為3個視區(qū)，對3個窗口內(nèi)容進行