計(jì)算物理方法

計(jì)算物理方法第1頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)用MonteCarlo方法模擬凝聚態(tài)物理系統(tǒng)的基本思想

凝聚態(tài)系統(tǒng)的隨機(jī)特性：

1.粒子系統(tǒng)量子態(tài)的量子隨機(jī)性

2.大量粒子的熱統(tǒng)計(jì)隨機(jī)性

----適合用計(jì)算機(jī)模擬第2頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)隨機(jī)游動(dòng)及應(yīng)用

隨機(jī)游動(dòng)是一種基于運(yùn)用[0，1]區(qū)間的均勻分布隨機(jī)數(shù)序列來(lái)進(jìn)行的計(jì)算。早在1906年P(guān)earson就提了“隨機(jī)游動(dòng)”的問(wèn)題。以后隨著其理論的逐步完善，隨機(jī)游動(dòng)模型在物理學(xué)、生物學(xué)和社會(huì)科學(xué)中都得到廣泛的應(yīng)用。許多教科書中都可以找到它在諸如氣體分子擴(kuò)散、液體中懸浮物的布朗運(yùn)動(dòng)、量子力學(xué)中薛定鍔方程的求解、高分子長(zhǎng)鏈的特件研究、求解偏微分方程和數(shù)學(xué)積分的近似計(jì)算等中的成功應(yīng)用。我們?cè)诮榻B它的應(yīng)用之前，有必要首先介紹一下隨機(jī)游動(dòng)模型。第3頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

醉漢的一維行走問(wèn)題初始：電桿位置x=0，步長(zhǎng)l，每一步的取向是隨機(jī)的，右行幾率為p，左行幾率為q=1-p。問(wèn)題：醉漢在行走N步以后，離電桿的距離為x的概率。有了后，可以計(jì)算：第4頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

可用概率理論解析地分析

雖然這里用了很簡(jiǎn)單的解析方法得到上式，但是一般情況下，能精確求解游動(dòng)問(wèn)題的技術(shù)卻不是這樣簡(jiǎn)單。有兩種重要的方法可以用于游動(dòng)問(wèn)題，它們是查點(diǎn)法和蒙特卡洛方法。查點(diǎn)法：對(duì)給定的行走總步數(shù)N及總位移x，要求把游動(dòng)時(shí)可能的每一步的坐標(biāo)和幾率都確定下來(lái)。第5頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

從上面的分析可以看出：查點(diǎn)法只有在總步數(shù)較小時(shí)才可以應(yīng)用，N比較大時(shí)用起來(lái)就比較困難了。對(duì)比查點(diǎn)法，蒙特卡洛方法就可以克服在游動(dòng)中的這個(gè)困難，具有可操作性。蒙特卡洛方法可以對(duì)許多步的游動(dòng)過(guò)程進(jìn)行抽樣。我們以隨機(jī)游動(dòng)的蒙特卡洛方法在求解泊松型微分方程中的應(yīng)用作為例子。若該泊松方程及其邊界條件為第6頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

為求解區(qū)域D的邊界，s為邊界上的點(diǎn)。這里我們采用等步長(zhǎng)h的正方形格點(diǎn)劃分的差分法。在區(qū)域D內(nèi)的任意正則內(nèi)點(diǎn)o(其相鄰的節(jié)點(diǎn)都在區(qū)域D內(nèi))的函數(shù)值可以用周圍四個(gè)鄰近點(diǎn)1，2，3，4上的函數(shù)值來(lái)表示。這個(gè)表達(dá)式有如下差分方程表示第7頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第8頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第9頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第10頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

前面所述類型的隨機(jī)游動(dòng)或鏈具有如下特征；它在游走中任一階段的行為都不被先前游動(dòng)過(guò)程的歷史所限制，即區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)可以被多次訪問(wèn)，這種隨機(jī)游動(dòng)過(guò)程叫做馬爾科夫過(guò)程。又因?yàn)橛蝿?dòng)最終會(huì)終止在邊界上，故而上述的這類游動(dòng)也稱為馬爾科夫鏈。馬爾科夫漣正是這樣生成相繼各狀態(tài)的，它使得后一個(gè)狀態(tài)在前一個(gè)狀態(tài)的鄰近。由此可以知道相繼各狀態(tài)之間的確存在著關(guān)聯(lián)。馬爾科夫鏈?zhǔn)欠肿觿?dòng)力學(xué)中由運(yùn)動(dòng)方程生成的軌道在概率方面的對(duì)應(yīng)物。對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行蒙特卡洛模擬計(jì)算將在本章第4節(jié)中介紹。另外還有一種非馬爾科夫過(guò)程。自規(guī)避隨機(jī)游動(dòng)過(guò)程就是屬于這一類。在這個(gè)過(guò)程中任何一步的游動(dòng)概率都要考慮前面游動(dòng)的歷史，因而游動(dòng)將有可能在碰到邊界前就被強(qiáng)行終止掉。隨機(jī)游動(dòng)對(duì)一些更抽象的問(wèn)題也是非常有用的。第11頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四兩個(gè)重要的概念隨機(jī)行走的概念

----行走方向的幾率

----按該幾率實(shí)現(xiàn)行走路徑平均、路徑求和、路徑積分的概念

----某一路徑給出所求物理量的一個(gè)值

----不同路徑給出不同值

-----對(duì)所有路徑給出的值求平均第12頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)量子MonteCarlo方法

量子力學(xué)中的波函數(shù)是直接與幾率密度相關(guān)的量、我們有分布密度函數(shù)的關(guān)系式其中，為歸一化常數(shù)，因此波函數(shù)也被稱為幾率幅度。人們很自然地想到可以利用蒙特卡洛方法來(lái)求解量子力學(xué)問(wèn)題。用于求解量子系統(tǒng)的薛定諤方程的蒙特卡洛模擬方法通稱為量子蒙持卡洛方法。在實(shí)際應(yīng)用中主要有變分蒙特卡洛方法(VMC)，路徑積分蒙特卡洛方法(PIMC)和格林函數(shù)蒙特卡洛方法(GFMC)等。在本節(jié)我們將介紹路徑積分量子蒙特卡洛方法和變分量子蒙特卡洛方法，并對(duì)格林函數(shù)Monte

Carlo方法作入門的了解。第13頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、量子力學(xué)回顧量子力學(xué)的基本方程是薛定鍔方程：

為微觀體系的哈密頓算符。對(duì)微觀粒子，其哈密頓算符可以寫為

為勢(shì)函數(shù)算符。求解哈密頓算符所對(duì)應(yīng)的能量本征態(tài)的波函數(shù)和能量本征值是量子力學(xué)的基本內(nèi)容。若知道初始態(tài)的波函數(shù)為，波動(dòng)方程則有唯一的波函數(shù)解及以后時(shí)刻的幾率密度。從費(fèi)曼的觀點(diǎn)來(lái)看，一個(gè)粒子第14頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在某個(gè)時(shí)刻t，某空間位置x的波函數(shù)應(yīng)當(dāng)是來(lái)自所有的初始態(tài)位置“傳播”到該時(shí)空點(diǎn)的幅度。即上式中的稱為“傳播子”。它表示在初姑時(shí)刻，空間位置點(diǎn)的波函數(shù)值對(duì)下一時(shí)刻，在x點(diǎn)上的波函數(shù)值的貢獻(xiàn)強(qiáng)度。該傳播子可以表示為如果為與時(shí)間無(wú)關(guān)的哈密頓算符的本征態(tài)波函數(shù)，它滿足的薛定鍔方程為第15頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四于是：其中：于是：第16頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四假定該等式在延拓到t為虛值時(shí)仍成立，令，則有當(dāng)足夠大時(shí)，特別是在時(shí)(是基態(tài)能量，為第一激發(fā)態(tài)的能量)，上式的右邊主要是來(lái)自能量最小的基態(tài)能量的貢獻(xiàn)。如果我們?nèi)〔⒑雎云渌呢暙I(xiàn)項(xiàng)，則有于是：第17頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

利用歸一化的要求，基態(tài)波函數(shù)絕對(duì)值的平方可用傳播子表示為

我們現(xiàn)在必須計(jì)算傳播子。將時(shí)間間隔分為個(gè)等時(shí)間間隔的小區(qū)間，則此間隔為，并且，()。根據(jù)完備座標(biāo)表象的關(guān)系式第18頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四有：第19頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第20頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四取連續(xù)極限得到第21頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四其中常數(shù)，為沿路徑的經(jīng)典作用量。上式表示傳播子是由連接初態(tài)和末態(tài)的所有路徑，通過(guò)相因子所做的貢獻(xiàn)。其中是系統(tǒng)的拉氏量。上式中是所有各種可能的分段直線段構(gòu)成的路徑()之和的總作用量。同樣，如果我們假定將延拓到虛數(shù)范圍時(shí)，上述等式仍然成立。令，則上式中的作用量可以推出為第22頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四于是：第23頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四類似前面的推導(dǎo)，上式中指數(shù)中有一個(gè)路徑積分，它的積分是沿路徑，即我們把路徑積分的空間起終點(diǎn)和分別放在上，則該積分為因而對(duì)于每一條路徑，就有一個(gè)能量。上式于是有如下形式；第24頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由于，并對(duì)進(jìn)行積分，此時(shí)須加進(jìn)一個(gè)函數(shù)在被積函數(shù)中，則上式可等價(jià)寫為

上面的公式顯示出量子力學(xué)中的費(fèi)曼路徑積分在歐氏時(shí)空的表示，揭示出量子理論與統(tǒng)計(jì)力學(xué)之間的深刻聯(lián)系。這時(shí)的路徑積分與配分函數(shù)兩者在數(shù)學(xué)上是相同的，因而我們可以用計(jì)算經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)配分函數(shù)的做法來(lái)計(jì)算路徑積分問(wèn)題。第25頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

二、路徑積分量子蒙特卡洛方法下面我們就用路徑積分蒙特卡洛方法求解薛定鍔方程的基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)的數(shù)值。從上面兩個(gè)公式可以使我們聯(lián)想到玻爾茲曼分布。變量的位形分布密度函數(shù)正好是將玻爾茲曼分布中的換成?？梢员灰暈楹瘮?shù)在位形

(每個(gè)位形對(duì)應(yīng)一條路徑)在此分布下的平均位。其分布的數(shù)學(xué)表示為第26頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四這里存在的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是：上面公式中給出的具體形式計(jì)算起來(lái)并不方便。在計(jì)算歸一化常數(shù)時(shí)，包含了一個(gè)積分。這個(gè)計(jì)算實(shí)際上是一個(gè)高維的多重積分的計(jì)算。費(fèi)曼路徑積分量子化的歐氏積分表示中的積分計(jì)算也仍然主要是個(gè)蒙特卡洛計(jì)算問(wèn)題，對(duì)它們的積分計(jì)算可以離散化為對(duì)路徑的求和。但是采用一般隨機(jī)抽取位形點(diǎn)的辦法，效率是很低的。尤其是在此高級(jí)空間中做均勻抽樣時(shí)，由于指數(shù)項(xiàng)的緣故，大量的點(diǎn)會(huì)落到對(duì)求和貢獻(xiàn)非常小的區(qū)域。此時(shí)如果我們采用馬爾科夫隨機(jī)游動(dòng)的重要抽樣方法——Metropolis方法，將是十分有效的。利用Metropolis方法，按照類似玻爾茲曼分布的分布函數(shù)來(lái)抽取若干位形，便可以計(jì)算出基態(tài)波函數(shù)的估計(jì)值，然后對(duì)該估計(jì)值求平均便得到的值。第27頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

這種方法在求解一維基態(tài)波函數(shù)時(shí)優(yōu)越性并不明顯。但是在更復(fù)雜的量子力學(xué)計(jì)算中，采用路徑職分方法就顯示出極大的優(yōu)越性。這半要是由于在傳統(tǒng)的場(chǎng)論計(jì)算中，勢(shì)函數(shù)的作用是用在真空上的微擾方法來(lái)處理的；而在路徑積分中，是將勢(shì)函數(shù)插入到作用量積分中去求數(shù)值解，事實(shí)上是在做精確計(jì)算的嘗試。前一種方法對(duì)電弱作用的計(jì)算很有效，但對(duì)于有強(qiáng)相互作用的問(wèn)題，其使用價(jià)值不大。在強(qiáng)相互作用中，矩陣元不能夠以強(qiáng)耦合常數(shù)展開為收斂的級(jí)數(shù)。另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是該方法將時(shí)空離散化為格點(diǎn)，這將帶來(lái)數(shù)值計(jì)算上的方便。此外，采用Metropolis游走方法來(lái)選擇具有代表性的態(tài)是非常有用的。該方法不僅可以以簡(jiǎn)潔的數(shù)組方式給出場(chǎng)的描述，還能夠?qū)Ψe分加上截?cái)啵员ＷC在將格點(diǎn)上的離散時(shí)空延拓到連續(xù)時(shí)空時(shí)微擾理論的重整化。第28頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、Metropolis隨機(jī)抽樣方法

在隨機(jī)游動(dòng)的MonteCarlo方法中，有一種最常用方法稱為Metropolis方法，它是重要抽樣法的一個(gè)特殊情況；采用此方法可以產(chǎn)生任意分布的隨機(jī)數(shù)，包拈無(wú)法歸一化的分布密度函數(shù)。Metropolis方法是通過(guò)某種方式的”隨機(jī)游動(dòng)”來(lái)實(shí)現(xiàn)的。只要這個(gè)隨機(jī)游動(dòng)過(guò)程拉照一定規(guī)則來(lái)進(jìn)行，那么在進(jìn)行大量的游動(dòng)，并達(dá)到平衡之后所產(chǎn)生的點(diǎn)的分布就滿足所要求的分布。Metropolis方法所采用的游動(dòng)規(guī)則是選擇一個(gè)從x點(diǎn)游動(dòng)到x’點(diǎn)的“過(guò)渡幾率”，使得它在游動(dòng)中所走過(guò)的點(diǎn)的分布收斂到系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí)的分布。要達(dá)到這樣的重要抽樣的目的，就需要對(duì)過(guò)渡幾率的選擇加上適當(dāng)?shù)南拗疲旱?9頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)于相空間中點(diǎn)集的一切互補(bǔ)的對(duì)偶集，存在著和，使得。這是相空間區(qū)域的連通性和遍歷性的陳述。由于概率正定性的要求，對(duì)于一切，。概率歸一化要求，對(duì)所有的，。由于要求極限分布為平衡分布，所以對(duì)所有的x，可以證明，只要游動(dòng)所選的”過(guò)渡幾率”滿足如下的細(xì)致平衡條件．就可以達(dá)到平衡時(shí)分布為這樣的目的：第30頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第五項(xiàng)中的細(xì)致平衡條件實(shí)際只是一個(gè)充分條件，并不是一個(gè)必要條件。該條件并不能唯一確定過(guò)渡幾率。所以，過(guò)渡幾率的選擇有很大的自由度。不同的選取即是不同的方法；在Metropolis方法中一般采用一個(gè)簡(jiǎn)單的選擇過(guò)渡幾率的方法：第31頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)游動(dòng)到了點(diǎn)，以下的具體操作步驟為：（1）首先選取一個(gè)試探位置，假定該點(diǎn)位置為：，其中為在間隔內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。（2）計(jì)算的數(shù)值。（3）如果不等式滿足，那么進(jìn)行這一游動(dòng)，并取，返回（1）開始對(duì)游動(dòng)到點(diǎn)的試探。（4）如果，產(chǎn)生一個(gè)區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。第32頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

（5）如果此時(shí)，那么還接受這步游動(dòng)，并取這步游動(dòng)所到達(dá)的點(diǎn)為，然后返回到步驟（1），開始下一步到達(dá)點(diǎn)的游動(dòng)。（6）如果此時(shí)，就拒絕游動(dòng)，仍留在的位置不變。（7）返回到步驟（1），重新開始對(duì)游動(dòng)到點(diǎn)的又一次試探。第33頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

必須指出：采用這樣的游動(dòng)過(guò)程，只有在產(chǎn)生了大量的點(diǎn)后．才能得到收斂到滿足分布的集。這里有一個(gè)明顯的重要問(wèn)題，就是如何選擇的大小，才能提高游動(dòng)的效率?如果選得太大，那么絕大部分試探的步子都將會(huì)被舍棄，就很難達(dá)到平衡分布：反之，如果取得太小，那么絕大部分試探步子都會(huì)被接受，這同樣難以達(dá)到所要求的平衡分布。根據(jù)實(shí)際應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)，選取的一個(gè)粗略標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)是：選擇適當(dāng)大小的原則是要在游動(dòng)的試探過(guò)程中，有1／3到1／2的試探步子將被接受。按照這樣的標(biāo)準(zhǔn)選擇得到的，就可以大大提高游動(dòng)的效率。第34頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四另一個(gè)在Metropolis方法中的問(wèn)題是：進(jìn)行這樣的隨機(jī)游動(dòng)，從哪一點(diǎn)出發(fā)才可以比較快地達(dá)到平衡分布呢?原則上講，從任何一個(gè)初始位置出發(fā)均可達(dá)到平衡分布，但是為了盡快地達(dá)到平衡分布，我們最好是要選擇一個(gè)合適的初始位置．這個(gè)初始位置應(yīng)當(dāng)是在游動(dòng)范圍內(nèi)所要求的幾率分布密度最大的區(qū)域。第35頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四四、例子---一維簡(jiǎn)諧振子假定有一個(gè)質(zhì)量為m的粒子，在一維簡(jiǎn)單簡(jiǎn)諧勢(shì)中運(yùn)動(dòng)。取為長(zhǎng)度單位，為時(shí)間中的單位。有第36頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四首先，選擇任意的、連接個(gè)時(shí)間間隔、且的一條路徑，計(jì)算上式的能量，然后再選一系列路徑，每條路徑與前條路徑最多只有在一個(gè)時(shí)刻（例如），有不相同的空間點(diǎn)（見圖）。采用Metropolis方法來(lái)確定滿足上面要求的新徑跡。其中將隨機(jī)定下的坐標(biāo)改變到的過(guò)渡幾率為，為分別包括在時(shí)刻坐標(biāo)為和的兩條徑跡的能量差，可由上式算出。這樣的隨機(jī)游動(dòng)抽樣得到的徑跡也許會(huì)與前一個(gè)徑跡相同。每當(dāng)新徑跡選出后，就利用前式計(jì)算被積函數(shù)的估計(jì)值，并累加到求和之中。最終該求和所得的值與抽樣路徑的總數(shù)相除所得到平均值．就得到的數(shù)值結(jié)果。按上述方法，游動(dòng)足夠多的步數(shù)后，找們就可以得到x點(diǎn)上的值。第37頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第38頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第39頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四五、變分量子MonteCarlo方法通過(guò)薛定諤方程求解基態(tài)本征能量和本征波函數(shù)選擇試探波函數(shù)計(jì)算試探能量其中，可看作局域能量。第40頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

可看作空間點(diǎn)出現(xiàn)的幾率。由哈密頓，有采用Metropolis隨機(jī)游動(dòng)方法產(chǎn)生滿足分布的個(gè)點(diǎn)，則第41頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四不斷改變?cè)囂讲ê瘮?shù)的值，并計(jì)算試探能量的平均值，直到取得最小值，這時(shí)得到的試探波函數(shù)和能量平均值就是基態(tài)波函數(shù)和基態(tài)能量本征值。

下面我們以一個(gè)一維的量子體系的變分蒙特卡洛模擬步驟作為示范：（1）選擇一個(gè)物理上合理的近似基態(tài)波函數(shù)作為試探波函數(shù)；（2）采用Metropolis方法，按照分布密度函數(shù)隨機(jī)抽取個(gè)點(diǎn)用上述公式計(jì)算能量平均值。（3）改變?cè)囂讲ê瘮?shù)的值，使得的值在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)變化一個(gè)小量即，重復(fù)（2）中能量平均值的計(jì)算得到。

第42頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（4）計(jì)算能量平均值的改變值，如果則接受這一變化，否則，便拒絕這個(gè)改變，回到第（3）步，重新選擇試探波函數(shù)的改變值。（5）返回到第二步，反復(fù)循環(huán)直到能量平均值不再有明顯的改變?yōu)橹埂?/p>

第43頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四六、格林函數(shù)Monte

Carlo方法考慮坐標(biāo)空間的薛定諤方程進(jìn)行能量零點(diǎn)的移動(dòng)使得最低的能量本征值大于零第44頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四于是，對(duì)于可定義格林函數(shù)而這個(gè)格林函數(shù)是非負(fù)的。這樣，薛定諤方程可寫成積分方程的形式我們可以積分這個(gè)方程得到一個(gè)函數(shù)序列第45頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四我們可以設(shè)定這個(gè)序列的初始函數(shù)從概率論的基本原則可以證明：如果（a）從波函數(shù)隨機(jī)抽樣產(chǎn)生出的一系列數(shù)值；（b）從每一個(gè)根據(jù)作為從到的過(guò)渡密度的隨機(jī)產(chǎn)生出的一系列數(shù)值，則這一系列數(shù)值的密度就是。第46頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第二步之所以可行是因?yàn)?。用這個(gè)方法我們可以生成一系列坐標(biāo)使其滿足分布。注意到有關(guān)這一分布函數(shù)的所有知識(shí)都包含在這一座標(biāo)集合中。如，以下的數(shù)值積分可化成求和的形式：注意到最關(guān)鍵的一步是以為條件從生成的一系列數(shù)值。第47頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一般來(lái)說(shuō)，盡管不知道，但可以通過(guò)局部幾率無(wú)規(guī)行走的方法得到所需的數(shù)值集合。我們來(lái)分析一下從開始如何產(chǎn)生序列。用本征函數(shù)展開，有于是，上面的迭代成為第48頁(yè)，共63頁(yè)，2023年，2月20日，星期四上面最后一個(gè)方程說(shuō)明了三個(gè)要點(diǎn):

1)數(shù)值集合的分布密度漸進(jìn)地趨向于，與初始的集合無(wú)關(guān)。

2）這一漸進(jìn)行為與無(wú)關(guān)。

3）在中的分布在漸進(jìn)分布中的貢獻(xiàn)具有正比于的系數(shù)。

對(duì)Monte

Carlo計(jì)算來(lái)說(shuō)，如果某個(gè)集合的一個(gè)結(jié)構(gòu)對(duì)所計(jì)算的結(jié)果具有的貢獻(xiàn)，那么對(duì)的積分方程的計(jì)算將比對(duì)初始密度的方程的計(jì)算具有更小的統(tǒng)計(jì)誤差。因此，